1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 30
Текст из файла (страница 30)
8.3). Теорема 6. Пусть измеримы по Жордану множества Х в й~, 1 в 14~ и Х'(г) в Й для любого г б 1, пусть функция Г(х; у; г) интегрируема на множестве Х, а как функция от (х;у) интпегрирусема на мнолсестве Х'(г) для любого г Е 1. Тогда ~Д(хбу; г) дхдуд. = Х = / дг / Д(х:у;х)с1хду. (20) Рис. 8.3 .Х'(з) Аналогичное равенство при соответствующих предположениях можно получить, если вместо оси Ог выделить другую координатную ось.
Равенства, подобные (18) — (20), имеют место и для и-кратных интегралов. уд. Кратный интеграл римана и гго свойства Здесь ди1 '" диа (22) д(и) = ' ' = с)е1~р'(и) = дра дро диз дио лнобиан огпойражения сз, заданного непрерывно дифуврвнцирувмыми функциями х, = ос,(зл) = дц(иы ...,и„), з = 1, ...,п. (23) Замену переменных можно рассматринать и как переход на множестве Х С Й" от прямоугольных координат (хз, ...,ха) к криволинейным координатам (иы ..., и„) по формулам (23).
Если отображение задано обратной системой функций и = фг(Х) = щг(ХЫ "~хп) г = 1 ""П то якобиан отображения в точке ио = ф(хо) можно найти по формуле з (ио) ( ~ 1, 'а (хо)) — (дев ~~(хо)) — з (24) если уу(хо) существует. Для полярных координат па плоскости х = гсовуз, д = гагик, В пространстве для цилиндрических координат х = гсовсс, д = гв1пвз, з = з, д = г; для сферических координат х = гсовузсовт, д = гв1пусовзр, з =гв1пдь д = г совф ( В 3, пример 1Ц. Замену переменных используют как для упрощения подьштегральпой функции, так и для упрощения вида области интегрирования.
4. Несобственные кратные интегралы. Пусть С --. открытое множество в й". Последовательность открытых измеримых множеств Сг, й = 1,2,..., называют исчерпывающей множество С (исчерпанием С), если: Ц Ся С Сьч.ы й = 1,2, ...; 2) () Сь = С. г=1 Далее будем рассматривать такие функции на С, которые интегрируегяы на любом открытом измеримогя множестве Й таком, что Й=С. Определение. Пусть для любой последовательности исчерпывающих С множеств Сг, (г = 1,2, ..., существует предел 1нп / 1(х) дх, 166 го.
2. Кратные, криоолинейньге и поверхностные интегралы не зависящий от выбора последовательности Сь, й = 1, 2, ...; тогда этот предел называют несобственньгм интегралом от Г" на С и обо- ~~(х) й:с = 1цп / 1(х) дх, (25) а ао а функцию 1 называют интегрируемой в несобственнолг смысле на С. Если символ интеграла / г"(х) дх, употребляемый часто для пров извольных 1 и С, в том числе и для неограниченных, определен со- гласно (25), то его называют сходящимся интегралом, в противном случае расходящимся.
Сходящиеся несобственные интегралы обладают свойствами ли- нейности, аддитивности по множествам, сохраняют знак неравенства при интегрировании, для них справедлива в обычном виде формула замены переменного и т. д. Если функция 1 неотрицательна на С, то для любой последова- тельности Сео к = 1,2, ..., исчерпывающей С, существует конечный или бесконечный предел Ппг 1 г" (х) дх, и он не зависит от выбора в, последовательности Сь, к, = 1,2,... Иначе говоря, длн неотрицатель- ных функций при исследовании на сходимость несобственного интег- рала и вычислении его значения достаточно использовать какую-либо одну последовательность исчерпывающих множеств.
Признак сравнения. Пусть 0 < Д(х) < д(х) на С. Тогда из сходимости интеграла / д(х) дх следует сходимость интеграла а г(х) дх, а из расходимости интеграла / ((х) е1х следует расходи- мость интеграла ~д(х) Йх. а Несобственный интеграл ( 1(х)йх называют абсолютно сходя- в щимся, если сходитсн интеграл ( [1(х)[ах. в Теорема 8. Если кратный (п > 2) интеграл / г(х) дх сходится, то он и абсолютно сходится. а ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ П р и м е р 1.
Найти с погрешностью не более 0,1 приближенное значение интег ала р дх гол ,/ 1+0,25хгхг ' '=.о' х квадрат [О; Ц х [О; Ц. где Х 48. Кратный интеграл Рилгана и ого соойстоа 167 а Исколюе приближенное значение возьмем равным Х* = (К, + +а )г2, где Я, и а, --- суммы Дарбу от данной функции по Х. Поскольку а„< Х < Я,, для погрешности справедлива оценка [Х вЂ” Х*[ < < (В, — «,)гг2. Разбиение т получим делением данного квадрата Х на гг- равных квадратов прямыми хг — — пуггп, хз — — Х(п, г, г = 1, ...,и — 1.
Число и определим из условия (Я, — а,)гг2 < 0 1. (26) Нетрудно установить, что на каждом квадрате разбиения Хо — — [(г — 1)гггг; г'.Хп~) х [Ц вЂ” 1)Хп; Х'(п[, г',Х' = 1, ..., и, для данной функции Х(хг,хг) = (1+ 0 25хгхз) ( гг' ) г ( (г — 1)Ог — Ц) По теореме Лагранжа ЛХ, — гпг = — ( — (~) + — (4)) — =— /дХ дХ У 1 1 бг;-Хг (,дхг дхг ) и 4п (1ж0,256гбг)г ' где с = (сг, сг) - некоторая точка квадрата Х, Исследование функции (сг + сз)(1+ 0,25 сгсг) ~ на экстремум в этом квадрате показывает, что она имеет ыаксимУм в гРаничной точке 4г = г,гп, сг = ХХп, г,1 = 1, ...,и.
Значит, для любых г, г = 1, ...,гг 1 32 8 ЛХг — т, <— 4п 25 25п Используя эти неравенства, получаем 1, 1 и 1 8 г 4 — (Я, — а,) = —, лу (ЛХ; — гп„,;) < —, . п 2 2пг гг г 2пг 25п 2ои ' но=1 и теперь, исходя из (26), находим 4,г(25п) < 0,1, п > 1,6, т. е. достаточно взять п = 2. В этом случае [Х вЂ” Х*[ < (В, — а,)/2 < 2гг25 = 0,08. Отсюда видно, что погрешность вычислений а, и Я, не должна превышать 0,02. Это условие заведомо будет выполнено, если, например, вычисление т,. и ЛХг вести с тремя знаками после запятой с последующим округлением до двух знаков.
Вычисления (например, с помощью мини- ЭВМ, таблиц и др.) дают г з 1 хг 1 хг 4 4 2 2 1 ли =— + Р 4 ~-~ 1+гХХ16 ~-~ 16жу 17 9 9 5 ьг=г чг=г - 0,235+ 2. 0,222+ 0,200 = 0,879, г 1 К,=-1 ~ 4 ~-~ 1 ж (г — 1)(г — 1)716 ~-~ 16 ж гХ го=1 ги=о 168 Гл. 2, Кратные, криволинейные и ноеерхноетные интегралы = — + — + — + — 3.
0,25+ 0,235 = 0,985, 1 1 1 4 4 4 4 17 1* = (0,879+ 0,985)/2 = 0,932 - 0,9. Учитывая погрешность последнего округления и то, что погрешность вычислений е, и 5, не превышает 0,005, оцениваем истинную погрешность 1 [1 — 1*[ < (0,985 — 0,879)/2+ 0,005+ 0,033 = 0,091 < 0,1. Ответ: 1 ге 0,9. л П ример 2. Пусть Хп = [и — 1;п[ х [О; п[, п Е И. Доказать, что 2 1ш1 О е ' 'ЙхгЙхз = О. (27) Хи А Пусть О < 6 < 1; Л п 6 = [п — 1: п) х [О; 6), п Е И; Л „' = Хп 11 Хи,б, и Е И. Очевидно, р(Хил) = 6, р(Л,',) = и — 6 и 0 < е *"г < 1 при (х1, .хз) Е Хп б, а хбх22 3 (п — 1)62 и е *"и < е 1" ~1~ при (х1., хз) Е е Х,',. В силу аддитивности интеграла 2 г о с ' 'Йхбйхи+ // е '*2Йх1Йх2, п Е И, Хил // где 1п интеграл из (27). По свойствам 6), 1) и 4) интеграла имеем О е кт~ Йхб Йхз ( // 1ЙхгЙхз = 6, п Е И, (28) Х,б' ,6 / е '"" ЙхгЙх: < О е 1п О ЙхгЙхз = (и, — 6)е 1п О, п е И.
х„' (29) Из (28) и (29) следует, что ( 6 + (П 6)Š— 1и — 116 6(1 Š— 1и — 116 ) + ПŠ— 1и — 116 ( <6+пе 1п и', пЕ И. Пусть е > О. Возьмем 6 < е/2, а по выберем так, чтобы для любого п > по было пг — 1п — 116' ( е/2 Зто возможно, так ьак для фиксированного 6 1шг пе 1п ~1~ = О. И вЂ” 6ОО Тогда для любого и, > по 1п < е/2+ е/2 = е, а это означает, что 11пг 1п = О.
и Пример 3. На квадрате Х = [О; Ц х [О; Ц определена функция 1 так, что .6 (х) 2 (х1 х2) 1!Ч1 + 1!Чз если х1 и х рациональны и х1 —— р1/Чы хз = Рг/Чг, где Р1/Ч1 и рз/Ч2 . несократимые дроби, рырз,д„дг Е И, и 7(х) = 0 48. Кратний интеграл Римана и его свойства 169 э остальных точках Х, Доказать, что / интегрируема на Х, и вычислить интеграл от / по Х.
я Пусть т = ~Хнн г, ) = 1, ...., н) разбиение Х на равные кэадраты Х, прямыми л1 =1/и, хг = ~/п., г, г Е л, п Е 'т'. Пусть Х е 1Ч, У > 2. Сначала обратим ннимание на точки вида (р1/Ч1,.рг/Чг) из кэадрата Х, э которых 1(Р1 /Чд'Рг/Чг) = 1/Ч1 + 1/Чэ > 1Я. Покажем, что хотя таких точек и бесконечно много, но мера объединения квадратов разбиения т, содержащих такие точки, будет достаточно малой при достаточно больших и. Со знаменателем Ч~ < т" имеетсн не более чем Ч1 — 1 рациональных чисел л~ — — р~/Ч1 Е (О, Ц. Учитывая еще л1 = 1, получаем, что всего рациональных чисел гн со знаменателями Ч1 < Х имеется не более чем ж 1+ ~ '(Ч, — 1) = 1+ — Д (1У вЂ” 1).
1 2 т=э Каждое из таких чисел принадлежит не более чем двум отрезкам вида [(г — 1)/и; 1/и), г = 1, ..., н. Значит, мера объединения эсех этих отрезков, содержащих точки л1 = Р~/Ч1 с Ч1 > т', не превосходит 2(1/н)(1+ Х(дс — 1)/2) = (2+ 1У(М вЂ” 1))/и. Из разбиения т выделим совокупность Я всех квадратов, содержащих точки вида (Р1/Ч~, .лг), где Ч1 < Х (каждый из указанных выше отрезков дает полоску длины 1 из таких квадратов).
Мера объединения квадратов этой совокупности не превосходит (2+ Х(Х вЂ” 1))/н. В каждом оставшемся квадрате из разбиения т для точек вида (Р1/ЧЫ та) будет выполнено неравенстэо Ч, > Дс. Из этих оставшихся квадратов выделим совокупность ь/г всех квадРатов, содеРжащих точки нида (л~,рг/Чг) с Чг < 1У. РассУждан аналогично, получим, что мера их объединения также не преэосходит (2+ Х(т" — 1))/н. Пусть е произвольное положительное число. Возьмем Дс Е И так, чтобы 1У > 2, К > 4/е, а затем возьмем п Е 0 так, чтобы (2+ 1н'(1У вЂ” 1))/н < е/4. Оценим верхнюю сумму Дарбу от / по Х для выбранного эыше разбиения т. На каждом кнадрате разбиения., входящем э ~)~ или Цг, зпр / < 1.
Совокупность нсех остаэшихся квадратов т обозначим т' = = т '1 (Щ 0 Яг). На каждом из них по условию /1т) = О, если лг или ла неРациональное число, а в точке вида (Р1/Ч~,.рг/Чг) имеем 11Р1/ЧПРг/Чэ) — 1/Ф + 1/Чг < 1/Дс+ 1/Дс — 2/Дс 170 Гл. 2. Кратные, нриеолинейные и поеерхностные интегралы и, значит, зпрй < 2/Х. Мера объединения квадратов из т' це превосходит 1. Отсюда п В.(.1) = Е Лй~и(Х1) = ь1=1 Лйо.11(ХО) + ~ М„.11(Х1,) + ~ ЛТОгл(ХО) < ХоЕЯг Х Е(') Х,гяи < ~ д(Х11)+ ~ д(ХО)+ — ~ д(ХО) < гоЕЯ~ х„ес1. Х., ег' < — (2 + 1У(1й — 1)) + — (2 + Лг(дг — 1)) + —, < — + — + — = Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
