1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 32
Текст из файла (страница 32)
3) Зададим параметрически плоскость, проходящую через ось Ог; з = гсоя9г, д = гяшсе, г > > О, се фиксировано (рис. 8.19). Сечение тора Лз этой плоскостью определпетсл неравенством (гх + га + 6~ — аг)г < 46 гг. Оно равносильно следующим: х 9 г +ее 4-Ьз — а < 26г, Рис. 8Д9 (г 6)2+зз < аз Значит, сечение круг радиуса а с пентром в точке, где г = Ь, г = О.
В этом круге введем полярные координаты г — Ь = рсояф, г = ряшяй О < ф < 2п. Окончательно совершим замену по формулам ш = (6+ рсояу~) свесе, р = (6+ рсоягр) 81п~р, з = ряшф, где р>0, 0<р<2п, 0<у~<2н. Прообразом тора является параллелепипед 11я = <О < р < а, О < р < 2гг, О < щ < 2х). Находим лкобиан: ,1 = ' ' ' = р(6+ рсояф). 00;юг) д<р;у; И Вычисляем интеграл; 1з = Я~ р яш гй ~ р( Ь + р соя ф ) ар сйр с116 = 98. Кратный интеграл Рилгана и ого овойстеа 179 2л а = / йгр~р йр~ (гг+ Рсовф)1 91пй йгр = о о о а л а = 2я~рг йр 2/ (6+ рсоа ф) вги Ы йт = 8д12 ~р йр = — лбов. 3 о о 4) Сначала введем координаты й=х — У, 21=У вЂ” 2, (ЗЦ в которых множество интегрирования является цилиндром К2 + 02 < Лз 0 < С < Ч Якобиан этой замены найдем по формуле (2Ц; Π— 1 1 3 1 — 1 0 1 1 1 д(х;у,г) (д(б,гг,~) ) ' = даг1,'О =~д(х,у:.)~ Теперь введем цилиндрические координаты й = г сов 92, 21 = г.в1п92, (32) с якобианом зо = г.
Множеством интегрирования в этих координатах будет параллелепипед (Гл = (О < г < Л, О < гр < 2к, О < ~ < Ь). Якобиан замены х, у, г на г, 92, г, равен произведению йг . йг = г,гЗ. Из (ЗЦ и (32) находилг Гл(х У; 2) = 2 = (г, — С вЂ” 271)ГгЗ = (( — г(сов 92+ 2в1пво))73. Теперь вычисляем интеграл: 12 = (Π— (Ь вЂ” г(сов92+ 2в1п92)) — гйгйвойЬ = 1 1 В Я 2 6 и = — ~й( ) г йг ~ (С вЂ” г(сов 92 + 2 Мп 92)) г192 = — / ( йС ~г йг = о о о о о = — л пз.
18 Гзл П р и м е р 12. Доказать сходимость интеграла г 1 = / е ~а +и гг1хйд и найти его значение. Ег а Подынтегральная функция е г* +и г положительна. Рассмотрим последовательность множеств Сь = (хг+ уз < гг2), й = 1,2, ..., исчерпывающую 117. Переходя к полярным координатам, находим ь 1г = / е г* ~и гйхйу =2я~г "г й =л(1 — е" ). г)г о 180 Гл. 2. Кратные, нриеолинейные и поеерхноотные интегралы Отсюда 1= 11ш 1г = л. Как отмечено выше, таков же будет предел и Й-ого 3 для любой другой последовательности множеств, исчерпывающей Й .
Поэтому интеграл 1 сходится и равен я. а чх Пример 13. Вычислить интеграл / е' * г1х. А В условиях предыдушего примера возьгием последовательность квадратов Т1ь = ~~х~ < и, (у~ < н), исчерпывающую й~. Тогда ь ь 1 = 11ш ~~с 1' ~и ~~бхай= 1пп (~е * Йх) Це " Йр) ог — ь — л ь г 1пп (/е ' ггх) = (/ е ' г1х) Отсюда / е ' г1х =,ггж а Притлер 14. Исследовать на сходимость интегралы: а Подынтегральная функция положительна, поэтому можно рассмотреть наиболее удобные здесь последовательности исчерпываюших множеств: 2 а'„=((1+11~) < .з+рз+ '<~') .
1), С". =11/нз < ха+уз+за < (1 — 1гг1г)~) для 2) 1г = 2 3 ... Переходя к сферическим координатам, получаем: ь 1 — г/ь йг Нг 1) Ггь=4я / —,,; 2) Гзь=4я / то — г ) 1~-~!ь 1,'ь Теперь видно, что предел 1ш1 1г ь существует, если а— — 2 > 1, т.
е. а > 3, и не существует при а < 3. Предел 1пп Гзь существует, если а — 2 < 1, т. е. а < 3, и не сушествует при а > 3. Таким образом, интеграл Т1 сходится при а > 3, расходится при а < 3, интеграл Гг сходится при а < 3, расходится при а > 3. а П р и м е р 15. Доказать, что интеграл .О расходится. ег А Исследуем на сходнмость интеграл .О ег р8. Кратний интеграл Рилгана и ого соойстеа 181 в котором подынтегральная функция неотрицательна. Пусть Сь = (ха+у ( Ьа), Ь= 1,2,..4 тогда 1 111 = О [гйп(х + р ) [йхйу = 2я11 [з1пг [гг1г = — 11 11й и Г [з1пг[ 2 1 нгг Сгь а о Как известно, интеграл ~ 111 расходитсн к +ж, поэтому г [зга Л о 1пп 11ь = +со, и, значит, интеграл 11 расходится. Если бы данный ь-нж интеграл 1 сходился, то сходился бы по теореме и интеграл 11.
Значит, из его расходимости следует расходимость данного интеграла. А ЗАДАЧИ 1. Пусть Х = [О, :а) х [О; Ь], Хг, = ~ (' ); — ~ х ~ (~ и и и и центр прямоугольника Хг, Кг = 1, ...,и; т„= (Х,, 1,1 = = 1, ..., и) разбиение Х; О,„= (С1Ь11, 1, 1 = 1, ..., и). Вычислить О г(х) дх как предел сумм Римана о,„(1;0,„), есх ли (х = (х1,хг)): 1) гг(Х) = рХ1+ 11ХП, Х й Х; 2) Лг(Х) = Х1Ха, Х й Х; 3) 1(х) = е" 'н ггг, х и Х, рс1 ф 0; 4) 1(х) = рх1 -~- с1хз, х е Х. 2. Пусть Х = [ — 2;2) х [ — 1;Ц, т„разбиение Х на равные прямоугольники прямыми х1 = 211и, хг = «/и, 1, 1 Е л.
Найти ниж- нюю а,„и верхнюю Я,„суммы Дарбу от 1 по Х и их предел 1 при и — 1 оо, если (х = (х1, .хз)): Ц г( )-2х, ха, хЕХ: 2)1(х)=е" *', хеХ' 3) 1(х) =х1хз, хйХ; 4) 1(х) =х1+хг, хеХ. П1сть Х = ((т,;хо): 0(х, (1, 0(х, (1, 0(х1+хз (1), разбиение т(Х) состоит из четырех равных треугольников, получен- ных разделением Х прямыь|и х1 = 1/2, хг = 112, х1+ ха = 1/2, набор О, состоит из точек пересечения медиан этих треугольников. Найти приближенное значение интеграла / 1(х)с1х (вычисления вести с тремя знаками после запятой), приняв за него: а) сумму Римана а = а,(110г); полусумму Я верхней и ниж- ней сумм Дарбу и оценить погрешность 11 результатов, если (х = = (х1' з)): 1) 1(х) = 8*'н ", х Е Х; (2,228):, 2) 1(х) = созя(хг+ ха), х й Х; ( — 0,203); 182 рл.
2. Кратные, нриеолинейные и поеерхностные интегралы 3) т(х) = 1п(1+ хг + ха), х 6 Х:, (0,250); 4) ('(х) = зг% + из, х Е Х; (0,400). Сравнить результаты со значением интеграла, указанным в скоб- ках (с тремя знаками после запятой). 4. Выполнить такое же задание, как в задаче 3, если (х = (х~, .хз)) Х = ((хм ха): хг )~ О, хз ~ )О, х, + хг ~ (Ц, разбиение т получено разделением Х на четыре части окружностями радиусов 1гг4, 1/2 и 3/4 с центром в начале координат, точка набо- ра О„, соответствующая элементу из т, является серединой отрезка, по которому прямая тз = хг пересекает этот элемент, и: 1) У(х) = ггхз + хз, х 6 Х; (0,524); 2) 1(х) = (1 + х~ + х~~) ~; х Е Х; (0,544); 3) 1(х) = е *~ 'г, х 6 Х; (0,496).
Сравнить результаты со значением интеграла, указанным в скоб- ках (с тремя знаками после запятой). 5. Пусть Х = ((хм хо): хз + х~г < 1), т --. разбиение Х, О, --. соответствующий ему набор точек, е > О. Указать такое б > О, что- бы для любого разбиения с мелкостью [т[ < б и любого набора О, выполнялось неравенство -.аО,)-Ца.) ' <е, если (х = (х~',хз)): х 1) ((х) = аш(рхг + ухз), х Е Х: 2) 1(х) = е""""'"', х 6 Л'; 3) 1(х) = 1п(2+ рх, + дхз), х Е Х, где ьгрз + 4з < 2; 4) т'(х) = еи лг, х Е Х, 5) ((х) = (1+ Зх~+ х~~) ~, х Е Х.
6. 1) Пусть Х = [а; Ь) х [с;д], Р(х) = ((хг), х Е Х, х = (х~.,хз), где функция ((х~) интегрируема на [и; 5[. Доказать, что Е интегрируема на Х и ~ Г(х) йх = (д — с) ~ ~(х~) Дх,. х о 2) Пусть Л' измеримое множество в й" х = (хг:..Кх„), х = (хм..дх„г), Х = Х' х [с; д) С Й", Р(х) = Е(х';хп) = 1" (х') х Е Х, где 1(х') ограниченная и интегрируемая на Х' функция. Доказать, что Р интегрируема на Х и ( 1(х) Йх = (д — с) / 1(х') г1х'. и Х' 3) Пусть Л' -- измерилюе мно кество в й~, Хо - - измеримое множество в Й, х = (хм ...,.хь), хн = (хьь,, ..лхвы), Л = Л' х Х" = (х = (х'; хо) е Яьм: х' е Л"', хн е Лн).
хи. Кратний интеграл Рилгана и ого соойстеа Пусть Г(х) = Г(х',хо) = 1(х'), х Е Х, где Г'(х') -- ограниченная и интегрируемая на Х' функция. Доказать, что Г интегрируема на Х и / Г(х) йх = иг(Хн) / ((х') йх'. 7. 1) Пусть функции г'(х1) интегрируема на (о:,Ь), функция д(х ) интегрируема на (с; й), Х = (а; Ь) х (с; й), Г(х) = Г(х~,'ха) = ~(хг)д(хз), х Е Л. Доказать, что Г интегрируема на Х и / Г(х) йх = /1(хг) йхг / д(хз) йхг. 2) Пусть Х' измеримое множество в й~, Х" измеримое множество в й~, х' = (хм...,хь), хн = (хь.ы,...,.хьл~)., Х' х Хн = = Л. Пусть функция )(х') ограничена и интегрируема на Х', функция д(хн) ограничена и интегрируема на Х", Г(х) = Г(х: хн) = 1(х')д(х ), х е Х. Доказать, что Г интегрируема на Х и / Г(х) йх = / ((х') йх' / д(хн)йх".
х х' Хп 8. Сформулировать отрицание критерия Коши интегрируемости функции по измеримому множеству. 9. 1) Сформулировать критерий интегрируемости 1; а) в терминах с -б; б) в терминах последовательностей; 2) доказать равносильность утверждений из а) и б) в п. 1). 10. 1) Сформулировать критерий интегрируемости П: а) в терминах а — б: б) в терминах последовательностей; 2) доказать равносильность утверждений из а) и б) в п. 1). 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
