1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Доказатгч что 1 ай»-'-~ А» д ' ' ' '»2' 2)' 1 1 О 1 где .7 = / [~[1 — х))" д~. е 99. Доказать, что формула замены переменного в интеграле по отрезку [саь [2» 2 6)) является частным случаем формулы замены переменных в кратном интеграле. В интеграле 0 1[х; у)»тх»1у перейти к полярным координатам и О записать его в виде повторных интегралов, расставив пределы интегрирования в разных порядках, если [100 — 102) все параметры положительны. 100. 1) С=1а (ха+у~(Ь), 0<а<Ь; 2) С=1хг+уз<ог, у>х); 3) С = 1а ( хг + уг < 4аг» [х[ — д > 0); 4) С = 1хг + уг ( 2ау); 5) С = 1[та + дг)2 ( аг [ха — дг), х > 0); 6) С=1хг+уг(2ох, у>х), 7) С=1ог(ха+уз(2ау); 8) С = 1[ха + уг)г ( ау[3хг — уа), х > О, у > О); 9) С вЂ” 1хг -»- уг < иг х + у .., '— а < О); 10) С = 1хг + дг < аг» д > »,»[х[).
101. Ц С = 1хг + уг ( 2ах» хг + уг ( 2Ьд); 2) С = 1[х — а)2 + уг < 4аг); 3) С = 10 < х < о, О < у < х); 4) С=( — 2(х(0, хг(у(2 — т) 5) С = 1х, > у > О, х + у < 2а); 6) С = ЕО < у < 1, д — 2 < х < — ь,у); 7) С = (ха+уз < 2, у < хг, х > 0). 102. 1) С = [О;а) х [О;а~1: 2) С = 1хг -Ь уг ( 2ад ( 2аг» х > 0); лвл Гл.2, Кратные, криволинейные и пееерхноетные интегралы 3) С=(0<х<а, 0<у<а — х); 4) С=(ха+у <а ха+у <2ах) 5) С=(2х<х'+у'<2). б) С=(2аУ<хз+Уз<4ар, У>(х!)1 7) С=(хзсс4 — 1<У<х). Перейдя к полнрным координатам, .свести интегралы к однократ ным (103,104). 103.
Ц Ц~(,сх + уз) йхс1у, С = (ха+ уз < х, хо+ уз < у); 2) ЦХ(1, У ) с1 'Ь С=(ЪГТх( <. у <1)' 3) ЦГ" (хз + у~) Дх с(у, С = (О < х < 1, — < у < ьсЗх); 3 в 4) Ц ('~ — ) с1хссу, С многкество, ограниченное петлей декар/уд х а това листа хз + уз = Зху; 5) Ц,(( †" ) Йх с1у, С = (х~ + у < тСбх, (хз + уа)з < 9(х' — у')).
а Н'ае — а" 1 1 4. ) Г У ~(,7'гл 91~),, ) Г.Г~(*) „, — а о о ,/л:у'-' а ас аг — гг 3) /,Цу / )'( У ) 11х. 4) / Щх / Г(хз + уз)с1у. — 1сз~и~ О а — а е а а 1 а о) ~йх~~(,lР+у)йу 6) ~йх~~( ' )йу. о о 1!на 105. Доказать, что ЦГ(У) ссхслу = /,, 7'(1)сУ, где 11 — 1!йз Р = (4 < (х' + у')' < 4(х' — у'), х ) О). Вычислить интегралы, перейдя к полярным координатам (106 †1).
106. Ц Ц сов(п~/к~+ уз)с1хс(у, С = (ха+уз < 1); а 2) Ц а гр, С=(9(х~+Уз<25); а 3) Ц(хр(асхиу, С = (а < ха+ у~ < 4аз); а 28. Кратный интеграл Рил)ана и ега свейстеа 203 4) Ц хуг йхйу С = ~ха+ уг < йа х > 0). 5) Цу2е +" йхйу, С=1хг+дг<1, х>О, у>О); у О) Ц "~*, +"., йе у, а = 11 < х'+ уг < '-', у > О); гн гг 7) Ц ууах + Ьу) йх йду С = 1ухг -)- дг < В2, х — у < О); 8) Ц~х+у) у а — 1хг+дг< 2, д — А >О); 9) Ц егд)1 д йх йу, а = 1хг + уг < 1, у — Их > 0). 107.
1) 11 „у, йхйр, С = ~ха+де < ах), а > 0; /./ хг -)- уг 2) Цу йх йд, а = ~хе + уг ( 2х, х > у); У йг йу а 1х2 + уг ( 1 с' 4) Ц( — ) йхйуу а=)1<хг+дг<2х); в 5) Цх йх йгу, а = 1ах ( х2 + уг ( 2ах, у > 0), а > О; 6) Ч/т:е:у г*гу,а=)уг.'+у' ',у У..г ° ), а>0; 7) Цуг йхйу, а = ~2х < ха + уг < ох, у < х), 1 ъгг- г 1о8. 1) 1 1 «+ 24 уг)йу;; 1 о 2 уггг — гг у) )г* ) еу-е-гугу; у) " ),',гу; — 1 у/~ г2 о о 1 1г-ч'1 — г-' 4) /йх ~ йуйу. угг гг 204 Гл.й, Кратные, криволинейные и поеерхноетные интегралы Их йу 109. Ц /~ „' ~... С ограничено линиями хи — дз =6, х= 3; Л~ ( г + де)г ' О~*у~а йд, С=» '+дз)з< ' — д'.
>О); 3) О хз Дх е)1г, С = »хз + уз)2 < 2хд, х > О); с 4) О у дх е1у, С = (О ( х < (х~ + дз)згз < 1, у > О); с о) О " йхйу., С=(-'ау<х'<аз-у'~, а>О:, с ,/хг „уе ' 2 6) О тггхд+1гздхду, С = (ах < х'+уз < а(х+;газ+уз)), а > О. 110. 1) Вычислить интеграл ~~с гл 4и ~ ахну. С = (хз + уз < <Л-, х>0, д>0); 2) доказать неравенстна а .2 2 2 е — ог - /е г2х < — ' 1 е — зег.
2 о г 3) вычислить несобственный интеграл / е ' е1х. 0 1 111. Найти 1нп гт „... где сумма составлена по всем цен — еоо не+44+ гг лым значениям 4 и 4 таким, что г > О, 4 > О, Р+у < тР. 112. Пусть функция Г"(х;у) непрерывна в круге хе + уз ( Лз и 2е Ф(г) = / Я(г соа иг: г гйп р) е(р, 0 < г < Л. 0 Доказать, что функция Ф(г) непрерывна на (О; Л). 113.
Пусть функция Г"(х;д) непрерывна ца Яз и С(г) = (хе+ уз ( г ), Г(~) = О ((х:у) е(хйу, г > О. с® Доказать, что: Р(г) 1) 11гп ., = 4(0;0); 2) Р(г) дифференцируема, и найти Р'(г) г-ло ге го 3) если 1пп г~2 (х:у) = а ф- 0 где г =,ггхз+ уз то Р'(г 1 1пп ' ' =2ка; г — ге-ео 1П Г 48. Кратный интеграл Рнл)оно н его оеойетеа 205 где г = у/хг + уг о < 2, то 4) если 1пп г~/1х; у) = а ф О, ) — 4-~-С ) Г1г) 1пп е — 44-ж гг 2аа ) 2 — а 5) если 11ш 4 /1х;у)=а~О, где г= „/хе+уз, гл>2, тосуг — 4-~-оо шествуют !пп Г(г) = Г1+оо) и 11ш г" 1Е(г) — г'1+со)) =— ).— ), ы) 2 — а 2) О /(ах+ Ьу+ с) йхг1у, аз+ Ь' ~ 0; г~ ег<яг 114. Совершив заданную замену, записать данный интеграл в ви- де повторного: дг 1) ~йх /' /(х; у) йу, где 0 < а < Ь, о <,31 и = х, о = д; о ог й лене 2) ~йд / /(х;д)йх, гдес<й) а<Ь; а=х — Иу) и=д; г ье.~.о 3) Д /1х; у) йхйу, где область С ограничена прямыми х = ту, О х=пу, у=а, 0<пь<п, а>0:, и=х+д, у=ни; 4) О /(х;у) йхйу, где область С ограничеаа прямыми х = 2у, д=2х, х+2у='2, 2х+д=4; и=у/х, о=у/(2 — х), 1 2 — г 5) /йх /' /ьх;у)йу; и=о+у, и=х — у; о 6) ОДх;у)йхйу, где область С ограничена линиями у = ах"; О у=Ьх, хд=р) ху=)2, 0<а<Ь, 0<у<)1: и=ху, и=у/хз; г 7) ОДх;у)йх.йу, где С = ( —, + д,, < 1~; х = ассов)р, у = О = Ьге1пео; 8) О /1х; у) йх йу, где область С ограничена линиями х = О, у = = О, 4/х + /у = н/а, а > 0; х = г спел )р) у = г ешл )Р.
115. Производя соответствующую замену, свести данный интег- рал к однократному: 1) О У(х — у)ь1х йу) где С = 1)0 < х < а, О < у < а — х), лес рл. 2. Кратные, нриеслинейные и пааерхнсстные интегралы 3) 0,!( — ) с1хсру, где область С, расположенная в 1 квадранте, ограничена линиями хд = о, хд = Ь, ад = т, Ьд = х, 0 < а < Ь; 2 а — г 4) / г!х / Яхд) с!д; 5) ~~ [х — д)г)[х+ д) с1хс!д, С = [О;1] х [О; Ц.
о и 116. Указать такис формулы перехода к новым координатам, чтобы область С стала в новых переменных прямоугольником, если С ограничена линиями: 1) д=йх, д=йх — Ь, д=О, д=а, .где!с>0, Ь>0, а>0; 2) х — 2д=О, 2х — д=О, д=1, д=2;. 3) Ьх — д=О,. д=О, х=а, где Ь>0, а>0; 4) х = О, д = О, х + д = о, где а, > 0; 5) хд = ае хд = Ь, х — д + с = О., х — д + с! = О, где 0 < а < Ь, с < е1; б) д = рхз, д = ухе, д = ох, д = Ьх, где 0 < р < у, О < а < Ь. 117.
Показать, что криволинейный четырехугольник, расположенный в первом квадранте и ограниченный софокусцыми эллипсами и перпендикулярными им гиперболами г г г сйг.+ .. —.= „гь+ Ь Ь= О<а<' — — 1,, — „— 1, 0<о<8< —, соег о ешг о созе д зш Д 2' в эллиптических координатах и и уг: х = с1тисозсс, д = з1~иашус, о, Е Й, уг б [О:2п), является прямоугольником. 118. Пусть новые координаты [и;с) заданы уравнениями ус[х,д: и) = О, ф[х:д;о) = О. дх;, Доказать что д(и~ о) Сслфе — уг~~грд ' 119. Доказать, что при переходе к обобщенным полярным координатам х = г соа ус, д = г а1п" уг якобиан отображения равен Д = ос[сов ус гйп ~р) с 120.
Пусть функция ! интегрируема по множеству С, симметричному относительно оси Ох, и пусть ) [х; — д) = — 1[х: д) для ляы бых [хдд) Е С. Доказать, что гЧ ! [х; д) е!х с1д = О. и 121. Пусть функция 1 интегрируема по множеству С, симметричнолгу относительно начала координат, и пусть р[ — х; — д) = = — 1 [х; д). Доказать, что 0 ! [х; д) с!х с!д = О. 48. Кратный интеграл Рильана и его сеойстеа гот 122. Доказать, что ('( [соз(х, +д)[41хс(у — О[сов(х — д)[ь4хь4у, где С = [О;л) х [О;л).
Для заданных функции ( и мнолкестна С с помощью подходящей замены вычислить интеграл О 4"(х;д) ь(хе(у (123 — 125). и 123. 1) 7(х;у) = ху, С = ([х+ 2у[ < Зь [х — у[ < 3); 2) ((х, д) ( г уг)г С ([х[ < д < Ц. 3) 1(с;у) = 17'(х д ), С ограничено прямыми Зу = х, д = 3х, у = =4 — 5х,р=4 — х; 4) 2(х;у)=е'с*"и4, С=(О<х<1, О<у<1 — х); 5) 7(х: д) = (хг — у ) зиял(х — у), С = ([у[ < х < 1 — [у[). 124. 1) 7" (хы47) = х+д, С ограни гено линиями ху = а, ху = Ь, у=т,, у=х — с, где О<и<Ь, 0<с; 2) Дх;у) = уг, С = (1 < хд < 3, 0 < х < у < 2х); 3) 2(х; д) = е* 7е, С ограничено линиями д = х, у = 2х, у = х-'; 4) У(х; р) = х7'у, С ограничено параболами у =хг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
