1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 40
Текст из файла (страница 40)
4. 1) а) ст = 0,515, сл = 0,197; б) 8 = 0,515, Ь = 0,099; 2) а) ст = 0,549, сб = 0,111.; б) Я = 0,548, 21 = 0,056; 3) а) ст = 0,502, Ь = 0,147; б) 5 = 0,501, сл = 0,074. 3) ур +О (1 г7е) 4) Е ) 8е 21. 1) 0; 2) 0,3; 3) 102г/21; 4) 0; 5) О. 68. 4) / /(х) дх. 2! Ок0, 71. /10; 0). 75. 1) 0; 2) — (е — 5е ')/2; 3) 1/9; 4) /8!пх!з/3; 5) 8тг. 85. 1) 8/15; 2) 2; 3) азс 4 г!/2(о+ 1): 4) 1/!о+ 1)!о+ 2); 5) 2/15; 6) н/28 — 16/2205. 90.
1) пз/4; 2) 1/15; 3) 4/27; 4) 2аз/15; 5) 4Лз/15; 6) 76/3; 7) 14ал; 8) 31/30; 9) — 145тг — 10)/16тгз). 91. 1) 2с51 — 2; 2) 0; 3) 135/4; 4) 1/зсс2; 5) 255/4; 6) 0; 7) !!422)/6. 92. 1) ггз/32; 2) 1е — 1)/2; 3) !соз1 — 1)/3: 4) !псоз11/4); 5) (е — 1)/2; 6) и/6. 93. 1) 8(бл — ал)/3; 2) 20:, 3) 7п; 4) 154 — а4)/2; 5) 110+ Зн)/6. 94. 1) аз/3; 2) 8; 3) аз/2; 4) 42г/3+ 4!п12+ 4/3). 96. 1) тгаб/8; 2) 0: 3) 5паз/2; 4) тгазб/4; 5) — 243/70; 6) 0; 7) 16/45. Г!Оз 103. 1) / (агссозт — агсзгпт)т//т) йт; о Зл,с» 1 /' соз2со /(егп2р) й нс'4 зс'4с З 2 3) — / т/Стз) сгт+ / ( — — агссоз — )т/(тз) с1т; о 2!~З лаз о 48. Кратный интеграл Роллана и его овойетоа — ало ало 5) — / /(181р) со62рйср+ 3 / /(48р) со62 грй1р+ — л 774 — л 776 л774 + — / /(481р) соя 21рйгр.
9 л76 а ллг т/6 104. 1) 77/т/(т) йт: 2) 2 1 ., йср' 3) 2 / 7(487р) йр; о л74 — 77776 а 4) 2 / т/(тг) агссоо ( — ) йг", т,/2 а 72 а4сг 5) — ( т/(т) йт — 2 I т/(т) агссоо — йт; 2 2 ,с 7' о а 1 6) — /, 1(соа р) йгр. о 106. 1) — 4/х; 2) н1п3: 3) 15а4/2, 4) 2ао/15: 5) т~/8; 6) 771пг а: 7) — (Ь вЂ” а)412; 8) Лг; 9) агссс8)й!. 4с2 2 2(1 — у) з ' з/Г+л'- 107. 1) наа/16; 2) — 1/6:, 3) (8 — 34/3)/3; 4) (27г — Зъ/3)/2; 5) 77гаг/16:, 6) 2ал/9; 7) (4577+ 20)/3.
108. 1) гг(1п4 — Ц/2; 2) гг/3; 3) Згг/8; 4) 16ъ 2/15. 109. 1) (34/3 — гг)/108; 2) 1/24; 3) гс/32:, 4) 1/5; 5) (24/3 — 9)ал/6; 6) (1577 — 4)аг/9 110. 1) х(1 — е лс )/4; 3) 4/х/2. 111. (г1п2)/4. 113. 2) / / /(т соа р, т аш р) й р. о а 115. 1) — / (а — !и!)/(лл) йгл; — а Е 2) — / 4/ег — иг/(и+ с) йи, е = Въ ал + 52; е Е л 2 3) / йю; 4) / /(и) 1п йгл; а о 2 5) — 7 (1 ~1 и1)2/(и) йи 3 2 о 116.1) Их — у=и, у=и; 2) у=их, у=и; 3) х=и, у=их; 4) х=и(1 — и), у=ив; 5) и=ху7 и=у — х; 6) у=их, у=их. 230 Гл. 2.
Кратные, нриеолинейные и пооерхностные интегралы 123. Ц 4; 2) 8/45; 3) (4+ 1п3)/2; 4) (е' — Ц/2а; 5) 1/(4зт). 124. Ц с(Ь вЂ” а); 2) 4; 3) 7(е — Ц/6: 4) 135/8; 5) 3/4. 125. Ц 2тгаЬ/3; 2) 2аосг/15; 3) 7/60; 4) 8аоЬ/105. 128. Ц -', ЦЬ)т 2) 2 // с с 129. Ц / Я; у) с4у + //(х; 1) т4х; 2) — / /(1; в) с4о. о о 130 8(ъ~2 Ц/3 132. Ц 20. 2) 2/9 3) 0 х т 135. Ц вЂ” / (х — ()-'/(с,) ссс,; 2) — / (1 — исг)/(со) йсо; о о 1 г 3) — /(2 — гс)/(х) с4х+ — /(2 — х)~Я(х) туг; 41 4,т о 1 1 4) —,'/'(~ - -')'~'У( ) ~ о 136.
Ц аЬс(аз+ Ьа+ с')/3; 2) са(е' — Ц(1 — сои Ь)/2; 3) с(ае" -~- Ье ~ — (а+ Ь)е' ~). 137. Ц 0: 2) 3/4; 3) — 8. 138. Ц зг/2; 2) 28; 3) 1/126. 139. Ц 16/3; 2) (81п 2 — 5)/16; 3) 5/12; 4) — 4/15; 5) 1/8; 6) 1/48; 7) зг/6; 8) 1/364; 9) 1/96. 144. Ц 63п; 2) (зг1п2)/4; 3) 31зг/15; 4) Ло/15; 5) тгаоЛз/(3(аа+ Ь~)); 6) тг/10. ,са е,се 145.
Ц тг(2 — ус2) / хг/(т) с4т; 2) ~™ / /(т8з(с) сое~ог4сы о — л.тл 146. Ц нЛоН(ЗЛа + 2Но)/12; 2) 7зг/4; 3) 16х/Зт 4) стал/12. 148. Ц 4ттаЬс/5; 2) 4зтаЬс(аз + Ьз)/15; 3) п~аЬс/4. Ы~. ) — „( Л,Л вЂ” (Ло — Л')1 ~'+Л); 0 4) 2п / (Ло т Л)" о — (Ло — Л)» 2 — а 4 — а )Ло (Л Л)з — з (Л Л)з — о ~ 3 — а 150. Ц (4тг1пЗ)/3: 2) нЛгйо/4; 3) 0; 4) 4згЛ"/3; 5) — згЛл/8; 6) (1пЗ вЂ” Ц/16:, 7) ал/10; 8) 59пЛо/480; 9) (З~т2 — 4)/3. 151. Ц зг/40; 2) 128/525; 3) 8тг/5; 4) 7зг/96. 152. Ц (!пЗ)!п5; 2) 55/72; 3) 27/32; ') А(+ — ~)(-.'- )""а 43.
Кратний интеграл Рилгана и его свойства 231 5) — ~ —, — — )(Ь вЂ” а )( —, — —, + ~3 — сг + 21п — ). 8 8 1 1 42 2 32 ( пгг и') (,огу о 153. 1) 6/5; 2) 3(е — 2). 154. " " ",еслит,пир четтп+ и+р+ 3 (т+ 44+р+ 1)!! ные числа; О -- в остальных случаях. Г(р-Ь 1)Г(д+ 1)Г(г+ 1)Г(8 + 1) Г(р -Ь ц -1- г 4- в -1- 4) 157. /(из, 62, сг) — /(а1, 62; сз) — /(аг; 61, сз) — /(аг, 'Ьз, с1) -ь + /(а,; 61, с ) -ь /(а1, Ьг,. с1) + /(аз, Ь,; с1) — /(а1, Ь,; с1).
159. 4.т12/(1). 160. )) /(х; у;1) 4(х йу. г — -/-д-<4— 161. О /(х; у; 1 — х — у) йх гну, где й(1) = (х > О, у > О, х + у < 1). п141 162. /(х;у;г). 164. 1) а4/4ь, 2) а"тл/6(се+4). 165. 2) аг/24. 166. 2) аг/24. 167. 1) аз/384; 2) ав/40. 168. 1) 4хНЛз/3; 2) 4лНЛ (9Л2+ 5Н2)/45. 169 1) пазН4/3. 2) 2пагН8 1о 170. 1) х242262; 2) пза262(ах+ 6-')/2. 175.
1) апти/(р-~-1); 2) паат1/2; 3) ггантр/(р+ 1): а" оаь ) к(-)". — )" „„„;„„., - й'; 6) аа/2. 176 1) и"п!; 2) агп/(2п)!!; 3) апт~/(2 (п — 1)!). 177. 1) и"/п'.; 2) па" ь1/(и+ 1)ь, 3) 2па" '2/(и+ 2)!; 2а" ' а" " 4) ; 5) (п — Ц!(2п -Ь 1) ' (и. — 1)!(и + р) 178. 2о6162...6п~ с1е1(аг )! '. 179. а1 аг...а„/п!. огЛгпг 2"' 4итЛ "' ' 182. НЪ'„1(Л), где 14„1(Л) из задачи 181. 183.
— Н(гп,(аН), где Ъ'„1(Л) из задачи 181. 184. — НзЪп 1(Л), где 1'„1(Л) из задачи 181. 3 185. и1аз...а„(го(1), где 1' (Л) из задачи 181. 1 186. — е'„4.1(Л), где 1'„4.1(Л) из задачи 181. 2 187. п1ги(1) )' г" /(/) Ж, где 1'„(Л) из задачи 181. о 188. /(х). 189. (гп/п)аа. 199. 1) Не сходится; 2) х/2; 3) т:/2. 232 Гл. 2. Кратные, нриоолинейные и поверхностные интегралы 200. 1) Не сходится; 2) л/4; 3) л/4; 4) О. 203. 1) Сходится при о > 2, расходится при о < 2; 2) сходится при а > 1, расходится при а < 1; 3) сходится при а > 1/2, расходитса при о < 1/2.
204. 1) Сходится, если только о > 1 и 8 > 1; расходится в остальиых случаях; 2) сходится, если 1/о + 1/Д < 1; расходится, если 1/а + 1/д > 1; 3) сходится, если р > О, 1/а+ 1/Д < р; расходится, если р < 0 или р > О., 1/а + 1/,1 > р; 4) сходится при р > 3/2, расходится при р < 3/2; 5) сходитсл при р > 3/2, расходится при р < 3/2; 6) сходится при р > 2, расходитсл при р < 2.
205. 1) Сходится при о > 1, расходится при о < 1: 2) сходится при о > 1/4, расходится при о < 1/4; 3) сходится при о > 1/2, расходится при о < 1/2. 206. Расходится при любом р. 207. Расходится. 208. Сходится при о < — 1, расходится при а > — 1. 209. 1) Сходится при а < 2, расходится при о > 2; 2) сходитсл при о < 1, расходится при о > 1; 3) сходится при сг < 1, расходится при а > 1; 4) сходится, если о < 1 и 6 < 1; расходится при остальных о и 8. 210.
1) Сходится при 1/о +1//! > 1, расходится при 1/о + 1ф < 1; 2) сходится при 1/а+ 1/8 > р, расходится при 1/о+ 1ф < р; 3) сходится при р < 1, расходится при р > 1. 211. 1) Сходится при р < 1, расходится при р > 1; 2) сходится при р < 1, расходитсл при р > 1; 3) сходитсн при р < 1, расходится при р > 1. 213.
Сходитсн при о < 3/2, расходится при о > 3/2. 214. Сходитсл при а < 2, расходится, при о > 2. 215. Сходится при а < 3, расходитсл при о > 3. 216. 1) Не сходится; 2) пе сходится; 3) сходится. 217. Сходится при любых о.
219. л. 220. г/(р — 1), р > 1. 221. 1/(ц — 1) (р — д), р > д > 1. 222,, р>1, рф2; 1пь/3/2, р=2 (3/2) " — 1 223. лъ/2~Г2 — 2. 224. 1/2. 225. л/2. 226. х/2. 227. лаб/е, 228. 2л/ъ'3. 229. — лаиоге/(2(1 — яо)гга). 232. л/2. 233. л/(1 — о). 234. раб/2. 235. 4. 236. т/2. 237.
па. 238. — — !п2, 239. ла/(1 — о). 2 240. 1) 2о(!1+ 1) < 1; р 9. Приложения кратных интегралов 2) — ) ! и + х/аз + 1 — тсЪз + 1) . 3 ( сал /ах+1)о 4 2ка 1ае + бе + пе) и е 248. 1) Сходится при р > 3/2, расходится при р < 3/2; 2) сходится, если 1/р -~- 1/а + 1/г < 1, расходится, если 1/р + -~- 1/д + 1/г > 1. 249. 1) Сходится при р < 3/2, расходится при р > 3/2; 2) сходитсн при р < 1, расходится при р > 1.; 3) сходится при р < 1, расходится при р > 1; 4) сходитсн при р < 1, расходится при р > 1. 251.
1/(1 — р) (1 — с1) (1 — г), р < 1, 9 < 1, г < 1. 252. 4л/12р — 3), р > 3/2. 253. 4л/(3 — 2р), р < 3/2. 254. лала. 255. Се — 2)/2. 256. а~а ...а„;лайз. 257. 1лн с1еь(а, ))г~-'. 258. 1) Гср+ 2); 2) — Г(р+ 1); 3) — Г( — ); 4) — В(р+ 1;9+ 1); 5) 2нтз — а„В( 1 р) 3 9. Геометрические и физические приложения кратных интегралов СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ Геометрические приложения кратных интегралов. Мера 1лС измеримого по Жордану множества С вычисляется по формуле 1хсЙ ) В Й это площадь, а в Й объем: Й= Одх Ь, (2) а 1с= Яд,ярд.
(3) с: Пусть в Йз задана поверхность Й как график непрерывно дифференцируемой на замкнутом измеримом множестве С Е Й функции х = /(х; у), (х; д) Е С. Площадь а такой поверхности вычисляют по формуле (4) и Коли поверхность Й задана неявно уравнением г'Сх;р;х) = О, дК где Й непрерывно дифференцируемая функция, и — 1х; рн х) ~ О дх 99.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
