1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Приложения кратных интегралов 235 (15) И и (16) где гХаг, расстояние от точки (х;у;г) тела до точки ЛХо. В частности, если ЛХо совпадает с началом координат О, то Хо = ~~~(х +у'+г")р(х;у;г)йхдуПг. (17) 3. Некоторые приложения к физике. Пусть на плоской области Й задана функция р(~;ц). Лагарифмичеснилв потенциалом в точке ЛХ(х; у) называют интеграл 2 Х1 (18) Величины ЛХ„, = ЛХ.„ЛХя, = ЛХя„ЛХла = М„ (11) называют статическими моментами тела С относительно координатных плоскостей Оуг, Огх и Охд. Для плоской фигуры аналогично определяют статические моменты относительно осей координат. Молеентом инерции тела С относительно оси 1 называют вели- И (12) нп где д~ = 4(х; у; г) расстояние от точки (х; д; г) тела до оси 1, р = = р(х:д;г) плотность тела. В частности, момент инерции относительно координатной оси Ох вычисляют по формуле Х, = ~О (уз + гг)р(х;у; г) Пхдддг.
(13) и Формулы длн Х„„и Х,я аналогичны (13). По формуле, аналогичной (12), определяют и моменты инерции плоской фигуры, например, О'дг (14) ЛХоменти инерции Х,,'„, Х„'„Х,'л относительно координатных плоскостей Оху, Оуг, Огх определяют по формулам П ~~~ггр л лд л П ~~~ гр,Х С и . = 111~9'р~™ ~-.. с Момент инерции тела относительно точки ЛХо(то,'до, 'го) (полярный момент инерции) опрсделнют по формуле Гл. 2. Кратные, нриоолинейнь(е и поверхностные интегралы 236 =ЛГ- )'-'-(г — г)' ор""" го""" '" "" ' ("- пример, плотность масс, электрического заряда). Пусть ца пространственной области С задана функция рф)1;~).
Ньютоновым потенциалол в точке Л1(х;у;г) называют интеграл и(х: у;е) = Ь~~~ Р~~(~(~) дЯй1дС, С' (10) где г = (( — х) + ()1 — у)э+ 1(, — з), й= сонет (далее 1 =1). Функцию р называют плотностью 1папример, плотность масс, электрического заряда). Если р "- плотность масс, то ньютонов потенциал --. это потенциал гравитационного поля материального тела С. Если ньютонов потенциал и1х;у(з) определен в области Й, то говорят также, что в Й задано поле с ньютоновым потенциалом и(х; у; г).
Напряженностью этого полн в точке ЛЦх; у; з) называют вектор Е(х~ у(з) = ЛЯ вЂ” е рЯ гй О ~К (1у дС~ (20) а здесь Л) = Л(фгКЬ), М.)'" = (С вЂ” х; у — у; С вЂ” г), Р = тЕ(хо; 'уо, 'зо), Р = ЧЕ(хо, 'уо, 'го). (22) ~МЛ'~ = 11 — )г+ ~й — у)з+ 1С вЂ” )з. Длл нахождения составляющих нектара Е следует брать соответствующие составляющие вектора .МХ под интегралом. Пусть потенциал определен плотностью рф гд(,), заданной на области С, и пусть в поле с этим потонциалом находится область Сг с заданной на ней плотностью Рг(~г,)1г, .~г).
Силой, действУющей на Сы называют вектор Е = ЯЕЯ Л: Ьг)рЛЛ; уЕ Г() дЬ «Ч ( Г21) а, здесь, как и выше, следует одноврел(енно брать в левой и правой частях одноименные компоненты векторов. Стягивая область С) к ее внУтРенней точке 1хо,.Уо,го) и изменЯЯ пРи этом плотность рг((~,.))г,(,')) так, чтобы интеграл о = ~~~ргЖ;Ъ;Сг)(16 4(1) СКг О) имел постоянное значение, приходим к обобщенным понятиям типа материальной точки ЛХо(хо,уо, го) с массой и( = о или точечного заряда величины (1 = о и т. д. В этих случаях формула 130) для силы упрощается: например, в гравитационном или электростатическом поле соответственно имеем 99. Приложения кратных интегралов 237 ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ П р и м е р 1.
Доказать, что логарифмический потенциал постоянен в полости кругового кольца, если его плотность равна Х»1г)., где г расстояние до центра кольца. А Пусть В» и Вг внутренний и внешний радиусы кольца, пусть точка ЛХ расположена в полости кольца ца расстоянии р от его центра, 0 ( р < В». За начало координат возьмем центр кольца, ось Ох направим через точку ЛХ, тогда ее координаты будут ЛХ»р:0). Пусть фг») --- точка кольца. Имеем »н»= Х)н»'»> й»» и ~Ф г»гк где т = хг»Ез +»1-', Х» = 1В» ( Е + 71з ( Вг). В полярных координатах нг к "»и»= — »н»» г Х н 7»хтеь-'~" егн 2к г и» к Обозначив внутренний интеграл Х, преобразуем его: Х = / 1п»гг + рг — 2ргсоз7»)»Х»р = 2л1»»г+ / 1п»ах+ 1 — 2асозно) а»»р, о о где а = р7», 0 < а < 1. Согласно результатам примера 7 из ~ 8, пос- ледний интеграл равен нулю, поэтому Х = 27»1п» и и7ЛХ) = /»»1г)7'1пг»Хг., и» т.
е. и»ЛХ) не зависит от выбора точки ЛХ в полости кольца. Л П р и м е р 2. Гравитационное поле создано полым шаром С с внут- ренним и внешним радиусами В» и Вг, имеющим плотность р1»х») = = ро,»г, где г расстояние от центра »пара до точки »у, ро = сова». Найти силу, действующую на материальную точку ЛХ массы т, уда- ленную на расстояние Д от центра шара, В > Вг, й Начало системы координат поместим в центр шара, ось Ох направим через данную точку М. Тогда эта точка имеет координа- ты ЛХ10; 0;В), шар С задастсн неравенствами я, е,/р+~'+рея,, -Г-- е=н», -"=Л'~~'~Р Пусть Л»(Е» Еб Е) точка шара, тогда ЛХ»Л = (Е»0;( — В), ~Мн»~г нег +, г + нгз + Дг 2нгд»,г + Д' 2~В составляющие вектора силы в соответствии с»22), »20) находим по формулам Гл.
2. Кратные, нриеолинейные и пооерхноетные интегралы 238 б Вб йпйС " И <о+юг-2СЛ)'12 ' = ""'".)О)У„- пйдйпйС П1т(гг -~- Кг — 2СВ)"12 су цр «-К)йрйт2ВС ~'П I тр 2+ Лг — 2СЛ)грг' (" Ясно, что первый и второй интегралы равны нулю, т. е. В' = Ги —— О. После перехода к сферическим координатам получим г„л12 яг Г (те!пд — Л)тсоедйрйдйт Е„- = Второ г 1 .I .I (тг+ йг — 2тйьшд)212 о 12йг Яг Л/2 Г (т е1и д — й) сое д ад =2лд ра~ йт ~' .I 2 (те+ Кг — 2з Ке1пВ)"12 я1 — е12 Совершив во внутреннем интеграле замену т'+ 112 — 2т118шд = ~, найдем и (н~-т) лт, и~тире ) ил ) (( 2 дз) й — 312 ~ — 212) щ ~п~тггре (П2 112) яг |,и — т~ 2 Итак, сила направлена от точки к пентру шара и имеет величину 2лИтаро(Л., '— Й,')(Гьо.
Л ЗАДАЧИ И = ~~~р(х; д) ах йу. (25) и 2. Пусть промежуток 1 является проекцией на ось Оха измеримого множества С С Я", й(хп) сечение С гиперплоскостью хо = = Сенат, т. Е. (Х' = (Хй ..., Ха 2)) й( „)=тХ Ео": (Х; '„)ЕС)Со 1. Пусть многкество С элементарно относительно оси 02, т. е. С = Цх:у;2); (х;у) б й, дг(х;д) < 2 < ~(х;д)), (23) где й -- замкнутое измеримое множество в й, функции дг и ф непрерывны на й. Доказать, что для объема С верна формула Ц Уг .. у) ргх.
у)),г лд (24) В частности, если ф(х;у) > О, а р(х:у) = О на й (т. е. й нвляется основанием цилиндрического множества С, а график ф "крышкой'), то 99. Приложения кратных интегралов 229 измеримо в Йн и пусть для любого х„Е 1 множество й(дм) Доказать, что рС = / рй(х„) дх„. 7 В частности, для Я~, обозначая рС = 1; (25) 7лй(хз) = Я(х), имеем (26) *) Балыпое иаличество ввдвч о вычислении плошадей плоских фигур, объемов тел, плагдвдей поверхностей имеетсн в )2, 17].
3. Пусть А и В такие измеримые множества в 7х'", что для любого х„их сечениЯ йл(х„) и йв(х„) измеРимы в Яп ' и Рйл(х„) = = рйв(х„). Доказать. что рА = рВ (принцип Кавальери). 4*) . Найти площадь области, ограниченной кривыми: 1) 49=ха — 4х х=у+3 2) уз=10х+25 уз=9 — бгг 3) г72=2р*+уз уз=уз — 29х р>0 9>0. 1) хз + дз = 4 д' = 4 — 4х д < 1. 5) уг = 2хч уз = 4х — хг, 2х < дг; 6) у = сов х, у = сов 2х, 0 < х < 27г/3; 7) 2хз+ 2уз = 2х+ 1, ха + уг = 1, хг + уг > 1; 8) /х+ /у =;/о, х+у = а:, 9) (х+у)2+хз = в,'.
5. Пусть К' — образ квадрата К = [а;а+ 5) х ~Ь;Ь+ 5], Ь > О, при отображении и = зт1х;у), и = у,'(х;у), пусть Я и Я' -- плошади К и К'. Изобразить множество К', найти отношение В'/Я и его предел при Ь вЂ” ь О, если: 1) и=ху, и=у/х; о>0, Ь>0; 2) и + и = х., о = ху; о = О, Ь = 1, О < Ь < 1.
6. Найти плошадь области, ограниченной кривыми (можно использовать полярные координаты): 1) хв + дз = 2ах, хг + ув = 2Ьх, у = х, д = О, Ь > о > 0; 2) (хз + уз)2 = 2аз(хз — дг) хз + уз = ав (~х~ + уз > о > 0) 3) (хз + уг — ох)г = аг(хз + уг)., хг + уг = ат/3 у (область вне кардиоиды, но внутри окружности); 4) ( ' + дв)2 = о'х' — Ьгд' 5) Мз + у')' = оз(х" + д') 6) (хг + уз) о(хз 3д.д ) о > О. 7) (хз + уз)з о(тз й уз) Т.
Найти площадь области, заданной на декартовой плоскости в полярных координатах: 1) г < 1 — гйп со; 2) 3 соз х < г < 2 — соз уи 8. Найти площадь области, ограниченной кривыми (зиожно воспользоваться обобщенными полярными координатами; см, задачу 119, ~ 8): 240 рл. 2. Кратные, нриеолинейные и поверхностные интегралы 1) хз/аз+ уз/Ьз = 1. 2) (х-'/аз+ ух(Ьг)з = у'/сз; 3) х~7а + уз/Ьх = х/р+д!у, р > О, ц > 0; 4) (х+ у)4 = 6хдз (площадь петли); 5) (х + у)~ = аз(хз + у~), х = О., у = 0 (х > О, у > 0); 6) ~4(х~~а+ 4/у(Ь=1, х=О у=О а>0 Ь>0. 7) х4 + у4 = 2азту; 8) хз + дз = ахд (площадь петли). 9. Найти площадь области, ограниченной данными линиями, используя подходящую замену координат: 1) х=2у, у=Зх, Зх=2 — д, т,=4 — 2д; 2) х+у=а, х+у=Ь, у=ах, у=Ох, 0<а<Ь, 0<а<6: 3) ху=а, ху=Ь-, х=ру, х=уу (х>0), Ь>а>0, д>р; 4) уз=ах, уз=Ьх, х=ру, х=дд, Ь>а>0, д>р>0; 5) у~=ах, уз=Ьх х~=ру., хд=ду, Ь>а>0, д>р>0; 6) ту=ил, ху=Ь-', хг=ру., х"=ду, Ь>а>0, д>р>0; 7) х~=ау, хв=Ьд, хв=ру-', хз=ду-', Ь>а>0, д>р>0: 8) хггх/а +,/у7Ь = 1, хггхгга, + т/у/6 = 2, х/а = у/Ь, х(а = Оу(Ь, а>0, Ь>0; 9) 2/в + уз/3 аг/3, з/в + 2/3 Ьз/3 х 8 Ь ) ) 0 10.
Найти площадь фигуры, ограниченной кривой (а~т+Ь у+с )з+(а х+Ь у+с )г =1, если Ь = а1Ьз — Ьгас т'- О. 11. Найти площадь расположенной в 1 квадранте фигуры, ограни- ченной двумя эллипсами, +, = 1 и двумя ортогональныд сйга. вйга ми им гиперболами ', —,, = 1, где 7' = 1,2, 0 < а1 < аз, д сов'Ь. сйп Ь. О<5| <Ьв. Указание.
Можно воспользоваться заменой х = с1тисовс, д = вйив1пи. Найти объемы тел, ограниченных поверхностнми (см. формулы (24), (25)) (12, 13). 12. 1) ~х+ у( < х/2, з = совх сов у, з = О, ~х — у~ < х/2; 2) пя < ха+да < 1п+ 1)и, г = в|п(хи+ уз), г = 0; 3) хи+уз=ах, з=хз-ьу-, с=О; 4) у = х~, у = 1, - = О, г = хв + у~; 5) х+ у + з = а, 4х+ у = а, 4х+ Зу = За, д = О, з = О, а > 0; 6) хи+уз=ли'-, х+у+з=а, х+д+ = — а; 7) хз/аз + зз,1сз = 1, у = Ьх/а., у = О, г = О, а > О, Ь > О, с > 0 (х > 0); 8) хи+уз=ау, з=ху, с=О (х>0); 99.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
