1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Формулу (1Ц можно записать в векторной форме: / (е',дг) = / (х'(г(в)), т(е)) Йе, (12) г о где Нг = (ах,йу;дг). Если Я = Л = О, то формулу (11) записывают в виде в / Р дх = /Р(х(я); у(в); з(я)) соя о(я) Лв. !' о (10) (13) Аналогично, /Яиу = /(гсоя(1ав, /Лдх = ~Лсоя )дя.
(14) г о г о Аналогично, если гладкая плоская кривая Г задана уравнением х=)р(у), с<у(д, то 410. Криволинейные интегрольг или (19) 17 Под ред. Л.д.кудрявцева, т.З Свойства криволинейного интеграла второго рода. 1) При изменении ориентации кривой на противоположную кри- волинейный интеграл второго рода меняет знак. 2) Если гладкая криван 1' задана уравнением 14), а вектор-функ- ция Е = (Р; ьй'; Л) непрерывна на Г, то ~(ЕЛ ) = /(Е, '~1))а, (15) г а (),о,()) ( г а + Ех(1); Р(1); д(Хну'(1) + Л(хи); у(1); з(1))з'(1)) си.
<16) В случае, когда Г плоская гладкая кривая, заданнан уравнени- ем (6), из формулы (16) следует, что ~Р(х;у) г1х = ~Р(х; Дх)) г1х, (17) г а Ь ~ Я х: у) 1у = ~ Ях; Я х) )1 ' Я г1 . (18) г а 3. Формула Грина. Пусть граница Г плоской ограниченной об- ласти С состоит из конечного набора кусочно гладких кривых. Тогда, ОР дг2 если функции Р, .Я, —, — непрерывны на С, то справедлива форду ' д* мула Грина дЯ дР 11(Х-К) "=1Р '~'у: и г где контур Г ориентирован так, что при его обходе область С оста- ется слева. Из формулы (19) при Я = х, Р = — у получаем 5 = — 1 хну — угу, 1 г 2,/ (20) г где Я = О г1хду †.- площадь области С, ограниченной контуром Г и (при обходе контура Г область С остается слева).
4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрировании. Если функции Р(х;у) и Я(х;у) непрерыв- ны в плоской области С, то криволинейный интеграл / Рд)х+ Яг1у (21) 1 АВ Звз Рл. 2. Кратные, краеолинейные и поверхностные интегралы не зависит от пути интегрирования Глв (кривая Глв лежит в области С, Л "- ее начало, В --. конец) тогда и только тогда, когда выражение Р ах + О ау является полным дифференциалом некоторой функции и = и(х: у), т.
е. в области С выполняется условие да = Рйх+ Яду или — = Р, — = О.. (22) дх ' ду При этом / Р йх + СХ йу = и(В) — и(А). (23) Здесь и(х;у) = / Рс1х+ Яду, (24) г мам где Глг,м некоторая кривая с началом в фиксированной точке ЛХо(хо,.уо) и концом в точке ЛХ(х;у), лежап1ая в области С. дР дО Пусть функции Р, Я, — и — непрерывны в плоской обласду дх ти С. Тогда для того чтобы криволинейный интеграл (21) не зависел от пути интегрирования, необходимо, а в случае, когда С односвнзная область, то и достаточно, чтобы в области С выполнялось условие (25) 5.
Некоторые приложении криволинейных интегралов. Пусть на кусочно гладкой кривой Г распределена масса с линейной плоскостью р(х;у;х) (или р(х:, у) для плоской кривой). Массу кривой вычисляют по формуле т = / р(х;у; з) сХв, г координаты центра масс по формулам 1 Г 1 1 хс = — ~ хрйж ус = — ~ урйж зс = — ~ храв, (27) т,l г г г лголгенты инерции относипгвльно осей Ох, Оу и Ог — по формулам Х, = /(у'+гз)рйе, Хр — — /(з'+х')рйв, Х, = /(х'+у')реХв.
г г г (26) (28) г (29) Пусть на области Н задана вектор-функция У(г), где г -- радиус- вектор точки из Й, тогда говорят, что на Й задано векторное (силовое) поле. Пусть Г кусочно гладкая ориентированная кривая в Я и векторное поле Р непрерывно на Г. Работой поля Р вдоль Г называют интеграл 910. Лриеалинейные интегралы 259 ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ П р и м е р 1.
Вычислить криволинейный интеграл 1 = / (х + р) де, г где Г .-- граница треугольника (рис. 10.1) с вершинами О(0;О), А11;О), В(1; Ц. 9 а Пусть 11, 12, 1з криволинейные интег- 1 ----------- и ралы от функции х+д по отрезкам АВ, ВО и ОА соответственно. Так как отрезок АВ задается уравнением х = 1, 0 < у < 1, то по формуле (8) получаем А =3 О 1 1, = 1'(у+1)1р= —. о Отрезки ВО и ОА задаются соответственно уравнениями у = х, 0<х(1, и у=0, 0<х<1. Поформуле(7) находим 1 11 = /2х"~ 2 Йх = ъ'2, 1з — — / х дх = —. 1 2 о о Следовательно, 1 = 11 + 12 -ь 1з = 2+ + у/2. а П р и м е р 2. Вычислить криволинейный интеграл 1 = / ре1х+ хе1у г по кривой Г с началом О(0:О) и концом А(1, Ц, если (рис.
10.2): 1) Г отрезок ОА; 2) Г дуга параболы у = хз; Рис. 10.2 3) Г дуга окружности радиуса 1 с центром в точке (1;О). л 1) Так как отрезок ОА задается уравнением у = х, 0 < х < 1, то, применяя формулы (17) и (18), находим 1 1 = ~х 1х+ ~х 1х = 1.
о о 2) Если à — дуга параболы, то 1 1 1 ~„,1х = ~х',1х г о г е о 3) Так как уравнение дуги окружности можно записать в виде х = 1+ соа1, у = а1п1, 17* 260 Гл.2, Кратные, нриеолинейные и пооерхноетные интегралы гг,42, то по формуле (16) получаем пг'2 (1 + соя|) сояййг = л г'2 = / (сояй+ соя 21) Ф1 = 1, а л где 1 меняется от х до П р и м е р 3.
Вычислить с помощью формулы Грина криволинейный интеграл Г = /х йггх —.тр г)44, и где Г - окружность хг + 92 = Л2, пробегаемая стрелки. д Воспользуемся формулой (19), где Р=х р, Я= — хр, — = — д, 2 2 дГг дх против хода часовой дР— = х". ду Тогда Г = — Д(х'+ р )г(хг1у, где Р— круг радиуса Л с центром в точке (О; О). Переходя к поляр- ным координатам, получаем зе Я Л4 о о Пример 4. Пользуясь формулой (20), найти площадь Я, ограниченную астроидой х = асояз1, д = аягп 1, 0 ( 1( 2х. а Применяя формулы (20) и (16), получаем 1 ("( (1)рг(1) р(1)х (1)) йо 3" /'(соя41ягп21+ ягг441соя2 1),Ц 22 2 2 о „2е о ., 2л = — I я14422тдй = — I (1 — соя41) М = . а 82 162 8 о о П р и м е р 5. Показать, что криволинейный интеграл Г= / (Зх у+у)г1х+(х +х)41у, где А(1; — 2), 5(2;3), не зависит от пути интегрирования, и вычислить зтот интеграл. 410.
Криволинейные интегралы 261 А Так как функции Р = Зх у + у, 1„) = х' + х, — и — непре- дР дг2 дх ду рынны в Яа и выполняется условие (25), то интеграл не зависит от пути интегрирования и выражается формулой (23). Функцию и(х; у) можно найти по формуле (24). Заметим, однако,. что подынтегральное выражение являетсн полным дифференциалом, так как (Зхг + у) )1х + (х) + х) )1у = ) 3 азу Йх+ хз )1у) 1- (у )1х + х )1у) = )1(х у) + )1(ху) = Й(х у + ау) = )1и. Следовательно, и = хе у + ху, и по формуле (23) находим 1 = и(В) — и(А) = ЗΠ— ( — 4) = 34.
А ЗАДАЧИ 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по плоской кривой Г: 1) / )Ь, Г -- отрезок с концами (О;0) и (1;2); г 2) / (2х+у))Ь, Г ломаная.АВОА, где А(1;О), В(0,2), 0(0;О); г 3) ( (х+ у) еЬ, Г граница треугольника с вершинами (О; 0); д (1; 0) и (О; 1); г йе 4) 1 ', Г - отрезок с концами (О; — 2) и (4:,0); г йв ю) 1 , ю' р ) ° ;ю) )ю;2). Ю. ю»,р р иг р. )*угрй г 1) Г граница квадрата с вершинами (1;0), (О:Ц, ( — 1;0), (О; — 1);. 2) Г --.
четверть эллипса хз,)аз+ уз))ог = 1р лежашая в 1 квадранте; 3) Г граница прямоутольника с вершинами (О;0), (4;0), (4;2), (О; 2). 3. Пусть Г гладкая кривая, заданная в полярных координата)е (г;)Р) УРавнением г = Р()Р)р )Р1 < и) < хз, а фУнкЦиЯ Е(х; У) непрерывна на Г. Доказать, что Кю )г),;р)Р. = 1г)р)р)н р;р)р) „,р) р')р) р)р)р))1 гр, )юю) 262 Гл. 2, Кратные, нриеолинейные и пооерхноетные интегралы Вычислить криволинейный интеграл по плоской кривой Г (4 .11). 4. /хааа, Г дута окружности ха+уз = и, д > О. г 5. /(хз-гуз)псЬ, Г окружность ха+уз = аз. г 6. /Дх,у) г1х, Г окружность хг Ч-уз = ах, если: г 1) ((х;у) =х — у; 2) ((х;у) =,/х~+у'. Т.
( Дх; у) де, Г -- правый лепесток лемнискаты, заданной в пог лярных координатах уравнением га = а' сов 2у, если; 1) Я 'д) = '+у: 2) 1(х'д) =' /хз — дз 8. / ~у~ сЬ, Г лемниската га = аз сов 2иг. г 9. / (х~~з + у~~~) сЬ, Г астроида хз~з+ узгз = а21з. г 10. /2'(х;д)сЬ, Г арка циклоиды х = а(1 — вш1), д = а(1— г — сове), 0 < г < 2п., если: 1) Дх;д) = у, 2) Дх;у) = у-'.
11. / 2'(х; д) йе, Г дуга развертки окружности г х = а(сов1+1гйп1), у = а(вшр — 1созг), 0 < 1 < 2п, если 1) Ех; у) = хз + у', 2) У(х: д) = ~lхг + д' Вычислить криволинейный интеграл по пространственной кривой Г (12 — 18). 12. ( Дх; д; г) де, Г первый виток винтовой линии х = асое1, у = аяп1, е = Ы, если: 1) Х(х'д ) = гаях'+д') 2) Г(х у:-) =1Пхз+уз+ 2) 3) Дх;д;е) = хз+ у + е .
13. / У(х; у; е) де, Г . - дуга конической винтовой линии г х=1соа1, у=2ешт, а=2, О <1< 2п, если: 1) Дх;д;г) = е; 2) Д(х:д:е) = тг'ха + уа + ж 410. Ариввлинеаные интегралы 14. / тгг2ус+езде, Г окружность хе+у~+а~ = а-', х = у. !' 15. / хула, Г -- четверть окружности ха + уг + зз = аз, х = у, г распологкенная в 1 октанте. 16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
