1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 49
Текст из файла (страница 49)
зао Гл. 2. Кратные, нриаолинейньсе и поверхностные интегралы 2. Поверхностные интегралы второго рода *) . Пусть поверхность Я задана параметрически: х = х(и:и), у = у(и;и), г = г(и;и), (и;и) б Р, (1) функции х(и;и), у(и;и), г(и;и) непрерывно дифференцируемы в Р, причем ранг матрицы г г с хи Уи ги У равен '2. В каждой точке (и; и) такой поверхности существуют два противоположно направленных единичных нормальных вектора, каждый из которых является непрерывной функцией точки (и; и) поверхности 5.
Выбор одного из них называют ориентацией поверхности. Если поверхность Я является границей ограниченной области, то говорят, что ее можно ориентировать внешней или внутренней (по отношению к этой области) нормалями. Поверхность Я, ориентированную внешней нормалью, называют ее внешней стороной, а ориентированную внутренней нормалью, ее внутренней стороной. Для ориентированной поверхности 5 определяют поверхностный интеграл второго рода. Пусть созе, свао, соз1 направляющие косинусы нормали 1 1 1с Хи уи Хи l Хи уи к поверхности (Ц (см. ~6, (7)).
Пусть поверхность 5 ориентирована единичным вектором нормали (сов ой сов с); соа с), и пусть на поверхности 5 заданы функции Р(х;у;х), сис(х;у;г), Л(х;у; ). Поверхностный интеграл второго рода ЦРс1ус1г+ сгахс1х+ 1тс1хс1у (6) определяется через поверхностный интеграл первого рода формулой ЦРйуде+ 1,) сщдх+ Яйхс1У = в = Д(Рсозсх+ Ясов,З+71соз у)сБ. (7) Если поверхность Я ориентирована противоположным образом, т. е, нормалью ( — сова; — созд; — созт), то у поверхностного интеграла изменяется только знак.
Для интеграла (6) имеет место следующая формула; с1и сЬ. (8) ! хи Уи ги *) В этом и следующих пунктах испольэуютсн толысо правые системы каордииат. г11. Поверхностные интегр лы В частном случае Р = О, Ц = 0 формула (8) имеет вид 0 Пс1хду = 0 11(х(и;и);у(и; о);г(и;и)) ' дис1и. (9) 5 В Аналогично записывают формулы для интегралов Если поверхность Я задается явно, то формула (9) упрощается. Пусть, например, поверхность 5 задана уравнением г = г(х: у), (х: у) Е Р, (10) где г(х;у) непрерывно дифференцируемая в ьг функция. Тогда ЦКс1хс1у = хЦЛ(х:,у;г(х,у))с1хс1у, (11) л и где ьг -- проекция поверхности Я на плоскость г = О.
Перед двойным интегралом н формуле (11) берется знак плюс, если поверхность Я ориентирована нормалями, составлнющими с осью г острый угол,и знак минус, если поверхность Я ориентирована нормалями, образующими с осью г тупой угол. В первом случае говорят, что интеграл берется по верхней стороне поверхности, во втором по ее нижней стороне. Если поверхность Я не представима в виде (10) или (1), но ее удается разбить на конечное число частей, каждая из которых предста- вима в таком виде, то под поверхностным интегралом второго рода по поверхности Я понимают сумму интегралов по ее частям.
3. Теорема Гаусса — Остроградского. Пусть С Е й~ элементарная область (слг. ~ 8, п. 2), ограниченная кусочно гладкой поверхностью, и пусть функции Р(х; у; г), Ц(х; у; г), Л(х; у; г) вместе со д дд дл своими производными —, —, — непрерывны в С. Тогда дх ' ду ' дг П """С "'""'= Ш(т'4" —..) "и'у'г (12) где Я - внешняя сторона поверхности, ограничивающей область С.
Формулу (12) называют фортулой Гаусса — Остроградского. Иногда ее записывают в виде 0 (Рсоасг+ Ясоз13+ Псов у) Й$ = ~~~ ( — + — + — ) НхйусЬ, 5 и (13) где соло, соа,д, соз 1 направляющие косинусы внешней нормали к поверхности 5. Формула Гаусса — Остроградского может быть записана в векторной форме (ель ~ 12). 41й Поверхностные интегр лы Н -Ь /т'- + Не = 2яг!н Пример 2. Вычислить интеграл 1 = О 22 с15, где Я полная а поверхность конуса ЬГхз+ рз < 2 < 2. а Пусть Я» .. боковая поверхность конуса, Я . его основание; тогда О 2ц~ + О 2 К первому интегралу применим фореиулу (4). 11а боковой поверхности конуса Ух2 + рз Ое Следовательно, д~ ц оУ тУхи + уе 2 ~~ 2~с182 = Ц (х + уз)ъ'2с)хабр = х/2 / / г с4г йр = 8ч'2х.
Н1 веете<4 о о На основании конуса 2 = 2, поэтому второй интеграл равен учетверенной площади основания конуса 42г22. Итак, 1 = 8я(2+ ъс2), а Пример 3. Вычислить интеграл О здхду, где Я нижняя Н сторона части конической поверхности 22 =,г, + рз, О < 2 < Н. а Поверхность Я ориентирована нормалями, составляющими тупой угол с осью 2. По формуле (11), взяв в ней знак "минус", сводим интеграл к двойному, который вычисляем, переходя к полярным координатам: 2е Н Ц,5 + р 4х 4р ~ Ьр~г 4г, О .
а 22-' ие(Н2 о о Пример 4. Вычислить интегралы: а) О з~дхдр;. б) О еоьсдр; я Я где Я полусфера хе+ уз+ 22 = В~., у > О, ориентированная внешней нормалью. а а) Разобьем поверхность Я на части Я1 и Яз, расположенные соответственно выше и ниже плоскости 2 = О. Тогда 284 Гл. 2. Кратные, нраеолинейные и поаерхностные интегралы лг и так как внешняя нормаль к поверхности Яз образует тупой угол с осью г. Следовательно, О'.' 1х йу = О. б) Как и в случае а), разбивая поверхность Я на части Яг и Яз и применяя формулу (11), получаем //*ге ге =//, еь — *' — „'г*гг лг о //*г*гу =-//(-,и' — Р-гчг.гь.
Яг и Следовательно, /.г,гу =г// и —, -г г,гт =г -'е'= — "л', 3 3 так как последний интеграл равен объему четвертой части шара ра- диуса Й. А ГГ йуйг агах йхйу Пример 5. Вычислить интеграл К = Π— + — + —, х у г где Я --. часть зллипсоида х = асоаисози, у = Ьяписози, з = айпи, и Е [л/4;я/3), и Е [я/б;п/4[, ориентированного внешней нормалью. Л Заметим, что функции 1/х, 1/у, 1/а положительные, а углы, образованные внешней нормалью с осями координат, острые, поэ- тому К > О. Воспользуемся формулой (8). Так как х~ = — аашисоаи.
у'„=Ьсоаисоаи, е~, =О, х~о = — асоаиЯпи, Уе = — Ьаши шли, з„', = ссоаи., то 1 1 1 х у г г г г Хо уа Ха Ьяписоео Ьсозисози — Ьашияпи сяпи = р сов и, ссози а сое и сое е — аяписоаи — а сов ияли г х, уа Поверхности 31 и Яз имеют одну и ту же проекцию 1О на плоскость г = О. Согласно формуле (11) получаем Ц з, ~„О' (11з г 81 и так как внешняя нормаль к поверхности 51 образует с осью е острый угол; .О .О Ь11. Поверхностные интегр лы где аЬ ас Ьс р= — + — + —. с Ь а Поэтому по формуле (8) получаем е/3 е/4 1 1 =П~~Я Я вЂ” ~~~ ( + а'+ ') о/4 и/6 П р и м е р б.
Вычислить интеграл Ц зд д „адских+ зд где 5 внешняя сторона боковой поверхности конуса С: хз + дз < <зз,0<с<1. л Обозначим через 11 интеграл по внешней стороне полной поверхности Я~ конуса, через 1з -- интеграл по верхней стороне его основания Яз. Тогда 1 = 1з — 1з. К интегралу 11 применим формулу Гаусса †Остроградско Ш ' с Переходя к цилиндрическим координатам, вычислим полученный тройной интеграл 1 гн 11 = 3 ~ сЬ ~ сдр ~ (г + х ) г а~ = Б л в о о Вычислим интеграл по основанию конуса: Ц Зао о +„Зио аХ+ З ~,~д О'ао яе я Следовательно, 1 = -л/10. л П р и м е р 7.
Вычислить интеграл А = / (д — з ) е)х + (з — х, ) Ид + (х — дз) дз, где 1 кривая пересечения параболоида хз + дз + з = 3 с плоскостью х+ д + х = 2, ориентированная положительно относительно вектора (1; 0; О). л Применим формулу Стокса. За поверхность 5, ограниченную кривой Ти примем часть секущей плоскости х+ д+ з = 2, лежащей внутри параболоида. Единичным вектором нормали к Я, направленным соответственно направлению кривой А, является вектор (1/./3:1/АЗ; 1~зсЗ).
Так как Р = дз — зз, Ц = зз — хз, Л = хз— ,з дЛ дс2 дР дЛ вЂ” — — = -2(х+ д), — — — = -2(х+ х), д„ д. д. дх дО дР— — — = -2(д+ х). д* дд лва Гл. л, Кратные, нриоолинейные и пооерхноетные интегралы Применяя формулу (15), получаем .4 = — — Ц (х + у + г) е15 = — — О ЙБ.
Так как г = 2 — х — у на поверхности Я, то По формуле (4) находим А=-ЗДй йу, гг проекция Я на плоскость хОу. Исключая г из уравнений хг+уг+с=3, х+у+е=2, где Р получаем (х — 1/2) + (у — 1/2) = 3/2, т. е. Р . — есть круг радиуса хггЗ/2. Следонательно, ~г1х ду = — я, А = — 12.г, А 3 и ЗАДАЧИ Вычислить интегралы (1 — 13).
1. О (х + у + е) сБ, где: 1) Я .-- часть плоскости х+ 2у+4е = 4, .выделяемая условиями х>0, у>0, е>0; 2) Я часть сферы хг + уе + еа = 1, ныделяемая условием е > О. 2. О (хг + уа) е1Я, где. 1) 5 сфера х~+уа+ее =Л~; 2) Я -- поверхность конуса хггхг+ уг < е < 1. 3.
Ц(х ч- уг + гг) д5, где: 1) Я --- сферах х'+ у-+ г~ = Л', 2) Я поверхность куба ~х( < а, ~у( < а, Ц < а; 3) 5 поверхность октаэдра )х(+ (у(+ ф < а; 4) Я полная поверхность цилиндра ха+ уа < гл, 0 < г < Н. (Б 4. У,, Я вЂ”.- поверхность тетраэдра х+ у+ л < 1, х > уй (1+ х ч- у)г >О, у>0, г>0. р(й Поверхностные ннтегр лы 5. 1) бахуса(Я; 2) О ~ху~еИЯ; где 5 часть параболоида е = = ха + у~, выделяемая условием г < 1.
6. 1) ~~(х +уз)(1Я; 2) ~~,/х'+уз(1$; где Я .-- часть кони- в 5 ческой поверхности з = ь(хз + уз, выделяемая условием з < 1. 7. 1) О (ху+ уз+ лх) ИЯ; 2) О (хну~+ у-е~ + захе) (Б; где в в я часть конической поверхности з = Ь(хе + уз, расположенная внутри цилиндра х" + уз = 2х. 8. 1) О ((х;у;з)((Я; 2) О Я ь' д е е х и х у где (" = — + — ' + —, Я вЂ” эллипсоид —, + —, + — = 1.
л4 ор Ье с' 9. О (х~+ у~+ (е — а)а) "(~63, и Е И, 5 сфера ха+ уз+ + за — Ла 10. О за с(Я, Я часть конической поверхности 5 х = исоасяпо, у = ияпияпо, е = исоэо, о = сонат, о й (О; л,(2), выделяемая условиями и и (О;1), и е (О; 2л). 11. О е дЯ, Я поверхность х = исоаю, у= из|по, з =ю, ие (О;Ц, и е (О;2л). 12. (((оня, = Рте +Р, ле= (1 — г' г<1 в Я плоскость х + у + — = а. ( 13. О 1(тра) с(о', где г= „~Р+ уз, 1(ггя) = (( ' ' 5 ~0, г>з, сфера ха+уз+ а = Лз. 14.
Доказать форо(улу Пуассона ((~(Н'+ 'е ". )ее = е./ Л, —.~~-+ "нес в — 1 ЛЕ, ~ое РтеЗ', ее е(ае,е е- 288 Рл. 2. Кратные, нриеалинейные и пааерхнаетные интегралы ра ха+ рг+гг = 1. 15. Определить массу, распределенную: 1) поповерхности куба 0<х<а, 0<р<а, 0<г(а споверхностной плотностью р = рохуг; 2) по сфере хг + рг + ' = Лг с плотностью: а) р = ро „гхг + р', б) р = до[ха + рг)' 3) по части эллиптического параболоида хг + рг = 2г, г < 1 с плотностью р = рог: 4) по части гиперболического параболоида хг — рг = 2г, вырезаемой цилиндром хг + рг = 1, с плотностью р = ре]г], ро = сопяг. 16. Определить статический момент относительно плоскости г = = 0 однородной [р = ро = сопя1) поверхности: 1) х+р+г=а, х>0, р>0, гхО; 2) хг+рг+гг=Лг «>О. 17.
Определить аппликату центра масс полусферы хг + рг + гг = = Лг., г > 0 с поверхностной плотностью: 1) р = ро' 2) р = роъгхг + р'; 3) р = ро[хг + рг), ро = сопяг. 18. Определить координаты центра масс однородных поверхностей: 1) хг + рг + гг = Лг, х > О, р > О, г > О; 2) *=,,Л' —,, -У', .Рг, УЗ °, н~у(Л; 3) Ухг +рг г + „г < , л) 2 [, г + уг) г2 > О. 5) х = и соя а, р = и яш и, г = и, и е [О; 1], а е [О; х]. 19. Вычислить моменты инерции относительно координатных плоскостей однородной [р = ре — — сопяг ) поверхности; 1) х+р+г=1, х>0, р>0, г>0; 2) г = — тггхг + рг хг + рг < гг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
