1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 51
Текст из файла (страница 51)
4нротттйг/т'-, если с ) Л; О, если т < й; 2кротп, если с = Л; с --- расстояние точки от центра сферы. 23. 1) — лроггсь~и~ + сг; 2) 2кро т л/3 — — ) аз. 3 Зl а 2) 4тг1ртйт + ройг), если и < Лт, .4ст ' + р~йг), если Лт < Е ртй1 и Е Елок '— 'те,пт+еелтт.
° Раеч ° =етГЗЦ+*;. и 25. 1) 2лрой1п нтйе + ле — е (1+ — „„), если ф < Л. 26. — 8л. 27. 128/3. 28. 1) — 1/24; 2) О. 29. г/тга) — /г10))Ьс+ 1/г/Ь) — /ггО))ас+ (/згтт) — /з10))итг. 30. 1) 4кйз/3; 2) О. 31. 1) — 2кйт/7; 2) — 2кйт/105. 32. — лйл, 33. 8л(и+ Ь+ с)йз/3. 34. — кйл/2. 35.
— 2л/5. 36. 1) 0; 2) 4тгаЬс/3; 3) 0; 4) 4паЬ/г.. 37. 1) ттаЬсг/4: 2) 2л1аз+ Ьг)аЬс/э. 38. — З.тН" /2. 39. О. 40. — нго/6. 41. ткХХ/8 — с/3)сзН. 42. — х/3. 43. — ал/3. 44. 1) ЗаЬс/2; 2) — Заз. 45. 1) 128тг; 2) — 48тг; 3) 56н. 46. 1) (а+ Ь+ с)иЬс; 2) ттаЬса/2. 47. 1) Зао/20; 2) 12лйа/б. 48. 1) О; 2) лйе/3. 50. 1) 2аз/9; 2) 2наазЬ; 3) 2к(2аг -~- Ьз)/с//3. 51. 1) 12тг; 2) к(24+ 7я)/2. 52.
1) — лйл/2; 2) яал/12; 3) — кНл/2. 53. О. 54. — Ло/3. 55. О. 57. 2) 4л, сели (х;у; ) Е 0; О, если 1х;ут е) ф С. 61. — каЬ. 62. — аз. 63. 1) кхГЗЛ2; 2) 2к. 64. — 45аз/8. 65. 1) 2х/2ла~ атц(я/4 — тр); 2) 2(а+ с)атг. 66. 2тга-'. 67. 2каЬ . 68 Зкйл/2 69 лаа 70 0 71 0 72 Ьз 9 12. Скалярные и векторные поля СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1.
Скалярное и векторное поле. Пусть П --- область в трехмерном пространстве. Ска.тарным полем на й называют числовую функцито ит,ЛХ), заданную на точках ЛХ е РЕ Векторным полем на й называют векторную функцию а(ЛХ), заданную на точках ЛХ Е Й. 296 Гл. 2. Кратные, крввелинейные и поверхностные интегралы Если в пространстве введена какая-либо декартова система ко- ординат, то скалярное поле и(ЛХ) или векторное поле а(М) на О становятся функциями координат точек: и(х; у; г), а(х; у; г) = (а,(х; у; г); аа(х; гу; г); аа(х: у; г)). При выборе другой декартовой системы координат меняются, вооб- ще говори, координаты точек ЛХ(х;у;з) на М(х',.у',г'), но значения скалярного или векторного поля н точках не меняются, т. е. гй(х;у:, ') = и,(х;у;з), а'(х;у;г') = а(х;у;г).
Множество точек ЛХ, задаваемое уравнением и(ЛХ) = сопла, на- зывают поверхностью уровня скалярного полн и. Векторной или силовой линией векторного поля а называют глад- кую кривую, которая в каждой сноей точке ЛХ касаетсл вектора по- лн а(ЛХ). Если г = (х; у; г) - радиус-вектор переменной точки век- торной линии полн а = (а: агд а,), то (Х) (дифференииальные уравнения силовых линий). Пусть у плоскан кусочно гладкая простая *) замкнутал кривая, нигде не касающаяся векторных линий поля а.
Поверхность, образо- наннуго векторными лининми, пересекающими т., называют вектор- ной трубкой поля а. 2. Символ гг. Операции иад полями. Векторный дифферен- циальный символ гг называют нобла по обозначающей его букве, а также символом или оператором Гамильтона. В прнмоугольпой декартовой системе координат ~7 =1 +; +1с д . д д (2) дх ду дг ' где Е т, 1с - ортонормированный базис. Воординатные символы этод д д го оператора —, —, — — символы частных производных — при дх' ду' дг замене одного ортонормированного базиса на другой ортонврмирован- ный меняются по тем же правилам, что и координаты векторов. Сам же оператор '~ не меняет своего нида (2) *") .
Градиентом дифференцируемого на О скалярного поля ХХ н точке М Е й называют вектор, обозначаемый атас(ХХ или г7ХХ и задаваемый в прямоугольной декартовой системе координат формулой йгас1Гг = '7ХГ = г — +т — + 1с —, . дгг . дГг ди дх дх дв ' (3) где производные поля ХХ вычислены в точке ЛХ(х; у; г). Значе- ние йгай Г(ЛХ) в точке ЛХ не зависит от выбора прямоугольной сис- темы координат, т. е.
вектор-функцин йгайХг' является векторным полем на й. *) Простой называют кривую, не имеютую точек самеаересечений. **) детальнее см. (9, ч. 2]. 41г. Скалярные и векторные наля 297 (5) Для производной дифференцируемого поля 17 в точке ЛХ ив на- правлению произвольного единичного вектора 1 верна формула — = (1, Кгае1 17). д17 д1 (4) Вводя скалярный дифференциальный символ (1, х7), имеющий в пря- еноугольной декартовой системе координат вид (1, ~7) = 1 — +19 — +1л —, дх "дл 'де' где 1= (1,;1гд1л), равенство (4) записывают в ниде — = (1, х7) и. (6) Градиент полн в точке ЛХ направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через ЛХ, в сторону возрастания поля, и его мо- дуль ~8гае(и~ = ~17и~ равен наибольшей производной по направлению в этой точке.
Кроме символа (5) используют аналогичный скалярный диффе- ренциальный символ, имеющий в прямоугольной системе координат вид д д д (Ь,т7) =б,— +б„— +б,—, (7) где Ь = (б,;бе,бл) --- произвольное векторное поле. Результат его применения к дифференцируемому векторному полю а (Ь, T) а = б — + бе — + бл —, (8) 'дх У др л де ' нвляющийся вектор-функцией, называют иногда градиентом а нв Ь. Дивергенцией или расхвдимостью дифференцируемого на й век- торного поля а в точке М е Г1 называют число, обозначаемое е11т а или (хг,а) и задаваемое в прямоугольной декартовой системе коор- динат формчлои д д Йха=(T,а) = ' + "+ Ж д* ди де где а = (а,; ае, а ) и производные вычислены в точке М(х; д; г).
Значения числовой функции сйха в точках Г1 не зависят от вы- бора пряеноугольной системы координат, т. е. гйха — скалярное поле на Й. Ротором (говорят также - вихрем, ротацией) дифференцируемо- го на Г1 векторного полн а в точке ЛХ е 11 называют вектор, обозна- чаемый гота или (17,а) (а иногда х х а) и задаваемый в прямоуголь- ной положительно ориентированной (правой) системе координат формулой гога=(ч'.а)=з( "— ") — т( — ")+1с( "— "), (10) где а = (а„ае, а ) и производные вычислены в точке ЛХ(х; р; г). Зла Гл.
2. Кратные, нрнеолпнейньге и пооерхноетные интегралы 1с д д д дт ду дг аг ар ал гог а = ['и, а[ = [11) При раскрытии определителя по первой строке результатом "умножения" символов второй строки на элементы третьей является дифференцирование, например, д даду ' ду Формулы [3), [9), [10) определяют над скалярными н векторными полями три основные дифференциальные операции первого порядка действия и на скаляр или вектор. Для этих операций используют такие же обозначения, как и для произведений вектора на скаляр или вектор, и обладают эти операции такими же свойствами, как и эти произведения.
Но последнее -- с учетом, во-первых, невозможности перестановки символа ~7 с тем скаляром или вектором, на который он действует, и, во-вторых, дифференциального характера символа ~7. Операции [3), [9), [10) линейны. Результатом их применения к произведению двух сомножителей является сумма двух слагаемых, в каждом из которых ~7 действует только на один из сомножителей. После отметки этого сомножителя [здесь будет использована вертикальная стрелка сверху) к получившемуся выражению применимы все те преобразования, что и для векторных выражений.
В итоге преобразований символ сг и отмеченный сомножитель должны быть совмещены под знаком одной из операций [3), [9), [10), [7). После этого метку можно снять. Символ ~7 может встречаться в выражении не раз, создавая дифференциальные символы второго и более высоких порядков. Для скалярного символа сйз ягас1 = [н, 7~) = ~7з [12) вводят обозначение Ь и называют его оператором Лапласа или лапласианом.
Легко надеть, что гли = с7 и = с11г ягас) и = —, + —,, + —, . ди ди ди д'г ду- д.г [13) Символ [и', ~7[, как нетрудно проверить, нулевой, что естественно с точки зрения векторной алгебры. Имеем гос ягас) и = [~7, с7и[ = [и, 17] и = О, [14) сйу соса = [~7, ['7, а[) = [[7', т7[,а) = О. [15) Значения векторной функции гос а в точках Й не зависят от выбора прямоугольных систем координат одинаковой ориентации, но го1 а меняет знак при смене ориентации системы координат. Для записи го1а используют такой же символический определитель,как и для векторного произведения векторов: 4 12.
Скплнрные и векторные палл 299 (18) *) В этом пернгрвфе рнссмвтрнввнзтсн поверхнастн, ограниченные нэн множестве в пространстве. 3. Циркуляция и поток векторного поля. Пусть а .- непрерывное векторное поле в области (1, .Г .-- кусочно гладкая ориентированная кривая в Х1. Линейным интегралом от а по Г (работой полн вдоль Г) называют интеграл / (а, йг) = / а, йк + глв йр + а йг.
(16) г г Если Г замкнутая кривая, то этот интеграл называют циркуляцией поля а по Г. Пусть В кусочно гладкая ориентированная поверхностье) в й, и -- единичный вектор нормали к понерхности, задающий ее ориентацию, и = (созебсов(т';сову). Потокол векторного полн а через 5' в направлении и называют интеграл // (а, и) йВ = Д (аэ соз сг + а.„соз В + ал сов у) йЯ. (17) в в 4. Интегральные формулы. Пусть и непрерывно дифференцируемое скалярное поле в 11, à —. кусочно гладкан ориентированная кривая в И с началом А и концом В.
Тогда / (бгас1и,йг) = / (17и,йг) = и(В) — и(А). г г Если кривая Г лезкит на поверхности уровня поля и, то работа поля дгЫи вдоль Г равна нулю. Пусть а непрерывно дифференцируемое векторное поле в области Й, Я вЂ” кусочно гладкая ориентированная единичным вектором нормали и поверхность в Й с краем ВВ, ориентированным согласованно с ориентацией поверхности (2 11). Тогда по форлейле Стокса (формула (14) 211 с учетом формулы (10)) ~ аиг = //и готайЯ = //(п,(17,а)) ПЯ. (19) вв в Таким образом, циркуляция поля а по краю поверхности В ранна потоку ротора поля а через эту поверхность.
Пусть точка ЛХ Е Х1, и единичный вектор. В плоскости, проходящей через ЛХ перпендикулярно и, рассмотрим те ее области В, которые содерлсат ЛХ и длн которых верна формула (19). Обозначим и(Я) . - диаметр, ПЯ площадь Я. Справедлива формула го1„а(ЛХ) = Пщ —, / айг. 1 г (20) щл~- о р5' Х ов Здесь го1„а = (соса,п) .-. проекция гога на вектор и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
