1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 55
Текст из файла (страница 55)
99. Магнитное поле прямого бесконечного проводника постоянного тока 1 (1 > 0) задается как поле вектора напряженности Н. Если ось Оз совместить с проводником по направлению тока, то Н 21 -У!+ хй хе+де 1) Убедиться, что гоСН = 0 (в отличие от гоги из задачи 64). 412.
Скалярные а аенасарные наля 317 2) Найти пиркуляцию поля Н по окружности радиуса Л с центром на оси Ог: а) лежащей в плоскости, перпендикулярной оси Ог; б) лежащей в плоскости, которан составлнет угол а с осью Ог. 3) Взяв такие же, как и в задаче 98, область С с границей 7, цилиндр Ц и кривую Г на его поверхности и допустив, что ось Ог не является образующей цилиндра Ц, доказать, что циркуляция Н по Г ранна циркуляции Н по у.
4) Допустив, что 0 е С, и взяв окружность с центром О, лежащую в С, доказать, что циркуляции Н по "? и по атой окружности равны. 5) Доказать, что если контур Г (из 3)) не охватывает ось Ог, т. е. проводник с током, то циркуляция Н по Г равна нулю, а если Г охватывает ось Ог, то циркуляция Н по Г такая же, как и по окружности из п. 2).
100. Найти с точностью до слег)абсолютную величину циркуляции поля а по окружности (х — 1)а + (у — 1)г + (г — 1) = г~, х+ +у+ г = 3, если: 1 ° 1 ° 1 у . х 1) а= — 1+ — 1+ — 1; 2) а= — ' — — 3+ ху1. у г х 101. Доказать формулу 1) (20) 2) (21) 3) (22) 102.
Пусть и и а непрерывно дифференцируемые поля в й, М Е й. Рассмотрим совокупность содержащих М областей С С й, для которых справедлива формула (23). Пусть с?(С) диаметр, д(С) --- объем С. Доказать, что: 1) ягас)и(М) = 1пп О ипсБ; ща1- о и(С) ап 2) гога(М) = 1пп — ~~ [п,а)с?Н. щп)- о р(О) ап 103. Какие из указанных полей потенциальны в 1?': з, 1) а = хг 1+ уг3+ гг 1с; 2) а = хг1+ зуд+ ух1с; 3) а = (ах Ч- у + уг) 1+ (2х + сд -~- с?г) 3 + (Ьх + с?у + сг) 1с; 4) а = угсозху1+ хг созху3+ з1пхд1с? 104. Потенциально ли поле Н = 21 ~, ',~, (х; у) ф (О; О): хе+ уг 1) в полупространстве х > О; 2) во всем пространстве без оси Огу 105. Проверить, что поле Н = 21( — дс+ х3)?(хг+ дг) потенциаль- но в полупространстве у > О, и найти его потенциал.
106. Проверить потенциальность и найти потенциал поля: 1) а = (у + г) 1+ (г + х)1+ (х + у) 1с; З18 Гл. 2. Кратные, нрноолннейно~е и пооерхноетные интегралы 2) а= " ',,', 3) а=у(+хй+е'1с; уе1ч- ехХ-'г хд1с 1 Ч хоуп 2 4) а = г?г; 5) а = гг (г = х 1 + у 1 + з 1с, г = ~г~). 107. Пусть Х(г), г > О, "-. дифференцируемая функция. Доказать, что поле (центральное) а = Х(г)г потенциально при г > 0 (г = х1+ +у)+ з1с, г = ~г)). Найти потенциал а. 108. Доказать., что потенциал и непрерывно дифференцируемого поля а удовлетворяет уравнению Ли = сйс а.
109. Доказать, что если поле а потенциально в звездной (см. задачу 30) относительно точки ЛХо(го) области й, то его потенциал в точке ЛХ(г) определяется формулой 1 и(г) = / (а(го + Х(г — го)), г — го) с?1 + сопзг. о 110. Доказать, что положения устойчивого равновесия частицы в потенциальном силовом поле г' = — ягас1и находится в точках минимума потенциала и. 111. Доказать, что потенциальное поле не имеет замкнутых векторных линий. 112.
Является ли поле а потенциальным, соленоидальным, осли (г = х1+ уз+ з1с, г = ~г~): 1) а = г/гз; 2) а = г)г ? 113. Является ли поле а соленоидальным, если: 1) а = х(зз — уз) 1+ у(хз — зз) 1+ з(у~ + хз) 1с; 2) а = (1+ 2ху)1 — уззй+ (озу — 2уз+ 1) 1с; 3) а = хзуз1+ еу~з с — хузз1с, 4) а = ( — у1+ хй)((и~ + уз) + ху1с. 114. Доказать, что условие (34) необходимо и достаточно для соленоидальности поля. 115. Найти такую дифференцируемую функцию Ф, чтобы поле а = Ф(г)г, г = х1+ дт+ е1с, г = ~г~, было соленоидальным.
116. Поток поля а = г/гз, с = ~г~, определенного в области г > О, через сферу г = 1 равен 4я, Означает ли это, что данное поле несоленоидально при том определении соленоидальпости, котороо принято в этом параграфе? 117. 1) Пусть Ас и Аз векторные потенциалы поля а; доказать, что поле Ь = А1 — Аз безвихревое, 2) пусть А векторный потенциал поля а, поле Ь безвихревое; доказать, что А + Ь также векторный потенциал поля а. 118. Проверить соленоидальность поля а и найти его векторный потенциал, если: 1) а = с, с постоянный вектор; 2) а = 2ух 1с; Х 12. Скалярные и нектарные наля зьв 3) а = з1+ х,1; 4) а = у1+ з3+ х1с; 5) а = Зуд 1 — Зхзд — (уз + 2х) 1с; 6) а = уел 1+ зе'3+ хе" 1с.
119. Доказать, что если векторное поле а непрерывно дифференцируемо и соленоидально в области С, звездной (см. задачу 30) относительно точки ЛХо(ге) с С, то 1 А(ЛХ) = / [а(го +1(г — го)),г) 1с1с е один из его векторных потенциалов (ге и г — радиус-векторы точек ЛХе и ЛХ).
120. Найти векторный потенциал магнитного полн бесконечного прямого проводника постоянного тока Х (ось Ое направить по проводнику, см, задачу 99). 121. Электрический заряд у, движущийся с постонпной скоростью ч, создает в пространстве (вакууме) в фиксированный момент времени магнитное поле напряженности Н(ЛХ) = ~ 4яте где г вектор с началом в заряде, а концом в ЛХ, т = ~г~.
Найти векторный потенциал этого поля. 122. Доказать, что векторные линии соленоидального поля либо замкнуты, либо оканчиваются на границе области определения поля. 123. Доказать, что поток соленоидального поля через поперечное сечение его векторной трубки одинаков вдоль всей трубки. 124. Пусть и дважды непрерывно дифференцируемое поле в Х1, а и Ь дифференцируемые поля в й, а = Ь+ йгаби.
Доказать, что для того, чтобы поле Ь было соленоидальпым, необходимо и достаточно, чтобы поле и удовлетворяло уравнению хи = Йн а. 125. Доказать гармоничность плоского поля а = г!те, г = (х;у), т = ~г). 126. Доказать гармоничность поля сил тяготения точечной массы и поля кулоновых сил точечного зарнда. 127. Доказать, что потенциал гармонического поля есть функция гармоническая, т. е. с3и = О.
128. Пусть ограниченная область С имеет кусочно гладкую границу дС, функция и, определенная в С, гармонична в С, а бгас1и непрерывен в С. Доказать, что: тг ди 1) д — сад = О, где п нормаль к дС; П д эс 2) если и = О на дС, то и = 0 в С, т. о. гармоническая функция однозначно определяется своими значениями на границе; Гл. 2. Кратные, криоолинейные и поаерхноетные интегралы 320 ди 3) если — = О на дС., то и = сопит в С, т. е.
гармоническая дп функция определяется с точностью до постоянной значениями своей нормальной производной на границе. 129. В условиях задачи 128 пусть х Е С, йе(х) шар с центром х и радиусом я, лежащий в С. Взяв 1 и=, уЕС, р~х, 4к~х — р( ' и применив формулу Грина (28) к области С 1 11,(х), доказать, что и(х) = — / (и(9)'ии — йи(у) и(д)) йЯю ап где нижний символ у указывает переменную точку., п(у) -- единич- ная внешняя нормаль к границе в точке у.
130. Пусть функция и гармонична в окрестности точки х б Я', Ян(х) и Йн(х) -- сфера и шар радиуса Л с центром х, лежащие в этой окрестности. Доказать теоремы о среднем для гармонических функций: 1) и(х) =, ~~ и(9)<13; 2) и(х) =, Ц~ и(у)й1'. дп1х1 Пп1х) 131. Из уравнений элсктростатики (й, Е) = р/ео, (и, Е) = О, где Е поле электрической напряженности, р плотность распре- деления зарядов, ео = сопа1 ) О, вывести закон Гаусса О (п,Е)лЯ=†эс о пропорциональности потока напряженности через границу облас- ти С (с внешней нормалью и) и полного заряда с1, находяШегося в этой области.
132. Пусть поле скоростей и движущейся сплошной среды потенциально. Доказать, что если среда несжимаема, то потенциал и поля и гармоничен (можно воспользоваться тем, что объемный расход среды через любую замкнутую поверхность равен нулю). ОТВЕТЫ 1. а) хз — уз + хз = 1; б) хз — уз + хз = — 2. 2. х — 2 = у — 2 = (х + 2) /2. 3. 1) Объединение двух плоскостей (а — СЬ,г) =О, (Ь,г) ~О, С= сонат; 2) плоскость (а, Ь, г) = сонат. 412. Скалярные и еекясорные наля 321 4. (и=2) - отрезок у=я=О, — 1<х<1; (и=соггв1>2)-- эллипсоиды (4хг)/[иг) + 4(уз + зг)/(иг — 4) = 1; шахи = 2д/1+ ЕР.
5. Однополостные конусы с вершиной (О,:0;0) и осью Ог; шахи = = сов(гг/12) = [т/6 + ъ'2)/4, гпш и = вш(п/12) = (т/6 — т/2)/4. 6. Ц (2;2;2): 2) (2/3;2/3; — 2/3); 3) (4;1; Ц; 4) (О;0;Ц, 7. а) ху = 18гг:, б) х = 2уг; г = 1/(Зу), у ~ О, д ф 1; в) (2;1; 1/3). 8. Ц 0; 2) атосов( — 1/3); 3) агссов( — 8/9):, 4) д/2. 9. 1/9. 10. шГ[8гас1и[ = О, вар [8гас1и[ = 1/2. 15.
Ц г/г; 2) 2г; 3) — г/гг; 4) г/гг; 5) а; 6) [а, Ь[: 7) а(Ь, г) + Ь(а, г); 8) 2[а, [г, а[[. 17. в/[ Згас1 и(ЛХо) [. 21. Ц вЂ” ее+ — — е. + — е„-; ди 1 ди ди дг г дсе дд ди 1 ди 1ди 2) — е„+, — е,, + — — е„,. дг " г соей дсд г д9 24. Ц сов(г, и) = (г,и)/г; 2) — (г, и)/гз: 3) (п,а); 4) /'(г)(п,г)/г.
25.2Н = Йгв+*' 26. [8гас1 и, дт ад и) / [ 8гас1 и [. 27.а) в=О; у=хг, хЕ(0;Ц;б) а=1/х, у=хг, хб(0;1[. 28.Ц ху=С; 2) хг — дг=С; 3) у=Схг их=О, хг+угфО; 4) 2хд + уз = С, х ф О. 29. Ц (ав",Ьвг;св), з > 0:, 2) (ав:Ьв;с/и), в > 0; 3) хг — 2=С, 31. Ц х = ав, у = б, з = сз. з > О; 2) х = а, уг + гз = Ь-'; 3) х = ав-', у = бз, г = с, з > О; 4) х = аз, у = б/з, г = с, з > О; 5) 1/х — 1/у = Сы г = Сг. 32. Ц г = зго, в > О; 2) г = го+аз, а = (ашаг,аз); 3) = вго, > 0; 4) гг = ссгггв1, (с, ) = с~ж1; 5) = го+~1; 6) хг+ уг+ ад = Лг х+ д+ г = С: 7) х=ав, у=бег, г=св, в>0. 33. Ц т = совб, у = вшз, г = сб, 2) 1/х — 1/г = 1, 1/х+ 1/(2уз) = 4; 3) д = х, гз = 2(хг — Ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
