1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Таккак / е 'сбс= Еос -бб е и а > 6, то неравенство О < ( е '* сбт « в для каждого в > 0 Ь выполняется при всех а Е Е, если ( > (1/Ь) 1п(1/оЬ). Обозначим б = щах(сг,;О), где а; = (2/6) 1п(1/Ьв). Тогда неравенство (2) для дан- ного интеграла справедливо при всех 6 Е [О,:+ос) и при всех а Е Е, т. е. интеграл сходится равномерно. б) Для произвольного числа б > 0 выберем (б = 1 Ч- 6, аб = = 1/(1+ 6). Тогда е е б б е ' бс1Ф= =(1+6)е ' >е '., соб об т. е. неравенство (3) выполняется при во = е '.
Следовательно, ин- теграл сходится неравномерно на множестве (О;+ос), а Ч- о 11и П р и м е р 2. Доказать, что интеграл / — сходится неравномер- ,1 хо но на множестве Е = (1:+ос). 1 У ьо1 — а яь1 — О й Так как Л(~) = зпр / — = впр = 1пп = +со, осн и аен а — 1 о 11бо а — 1 5. Непрерывность равномерно сходящегося интеграла по параметру.
Если функция /(ода) непрерывна ца множестве Р = ((ац а): а < Ф < +ос, а < а < аа) и если интеграл 1(а) = / /(аца) ибт сходится равномерно по а на отрезке [аь,аг), то функция Г(а) непрерывна на отрезке [аь,аг). 4 Ц. Раенолсерная сходи ность несобственных интегралоо 337 то условие (4) не выполннетсн, и позтому интеграл., сходящийся при каждом а > 1, сходится неравномерно на множестве Е. а П р и м е р 3. Доказать равномерную сходимость интеграла 1[а) на множестве Е, если: 1) 1(а) = /, г!х, Е = й; 2) 1[а) = / — с!х, Е = [О!2), о 3 слп ах ! А 1) Так как ~ ' '; <,, для всех а Е Я интеграл 1-Ь хд ~ 1-Ь хд ' есе 1 „с!х сходится, то по признаку Вейерштрасса данный интег1+ хо о рал сходится равномерно на множестве й.
2) Если а Е [О;2), х Е [3;+со), то 0 < !пах < !п х, и поэтому О ос г!пх Из сходимости интеграла 1! дх следует равномерная сходи- / .П масть данного интеграла на множестве Е. а сйп ах Пример 4. Доказать, что интеграл 1[а) = 1! ' г!х сходится о равномерно по а на мнолсестве Е = [6;+ос), где 6 > О. А Пусть Е(х;а) = / а!71агй; тогда о соя ох — ! и [Г[х;а)[ < 276 для всех х Е [О;+се) и для всех а > 6. Кроме того, 17'х — ь 0 при х -+ +ос, причем функция 1/х не зависит от а.
По признаку Дирихле данный интеграл сходится равномерно по а на множестве [6:+се), где 6 > О, а Пример о. Доказать, что интеграл 1[а) сходится неравномерно на множестве Е, если: 1) 1[ох) = / е * г!х, Е = [О!+ос); о ~-од 2) 1[а)= / с!х, Е=[0;Ц. о а 1) Для любого д > 0 выберем ад = 17'[1+ д)2, 63 — — 6, (б —— д -!- 1. Тогда 22 Под ред. Л.Д.Кудрявцева, т.з ЗЗЗ Гл. 3.
Интегр льу зависящие ет параметра. Интеграл Фурье ~сс ь е — аьл с1х > е — азссз У (Рп ~~) е — 1 16 (сс гд2д) грг сйпдх 1 еьиа х п,с(ЗБ) я12 Е1П Огх ЗАДАЧИ Доказать, что интеграл 1(сл) сходится равномерно на множестве Е (1 5). -~-се <Ь. / — „, Е = [гло;+~), оо > 1; х" Их — Е = (О; оо), гло < 1; о сзх Š— [сьо + о)с 110 > 1~ х!п х' 112 Е = [оо'+со), оо > 1' с1Х х[1их[" о -г се е "' азх, Е = [ссо,+ос), оо > О; о л ссс х" е "" с1х, Е = [1; 3[. 1 -~-се )' е ' сов 2хйх, Е = [оо, '+сю), оо > 0; о 1и х - ези Зх с1х, Е = [оо'+сю), сто > 1; (х 1)а 2 Их, Е=Е; хе+о 1 1.
1) 1(ст) 2) 1(о) = 3) 1(о) = 4) 1(гл) = 5) 1(сс) = 6) 1(гл) = 2. 1) 1(о) 2) 1(гл) = 3) 1(сс) = т. е. выполняется условие (5). Следовательно, данный интеграл, сходя1дийся при каждом гл Е Е, сходится неравномерно на множестве Е. 2) ДлЯ любого д > 0 выбеРем ог = 6, 5г — — лзз(3б), ~л —— лзс(2б).
Тогда 4 Ц. Раенолсерная сходимость несобственных интегралов 339 4) 1(а)= /,, Е=(-сю:,а), а>0:, о 5) 1(а) = /х '1и хс1х, Е= [ао;+ее), ао >0; о 6) ( ) = 1'"('+х)',,'""' " *, = -;, О. ха о 3. 1) 1(а)= 1 а, с1х, Е=Я; д 4+ха а 2)1(а)= I сх, Е=( — —;-)1 ' Фб — его — ) 1 3) 1(а) = / ~, с1х, Е = [012]; о 4) 1(а) = / — ' йх, Е = [ао1+аа), ао > 0; 1 о) 1(а) = / "* с1х, Е = [ао,'+ее), ао > О; нгх 2 6) 1(а) = 1 ', дх, Е = [ио,'+со), ао > О. l (х + 1) 1иг х 2 4. 1) 1(а) = / е адх, Е = [О;+ее)1 о -)-х 2) 1(а) — 1 .а е *<1х Е = [01 +ос)1 3) 1(а) = 1 , *,, с1х, Е = Я1 З (аа 4- хг)г а -еж 4) 1(а) = / ' с1х, Е = [ао,'+се), ао > 0; о 5) 1(а) = / сов(ах') с(х, Е = [1;+~)1 о 6) 1(а) = / а1и(аяЬх)с1х, Е= [ —:,+со).
о 22* 340 Гл. 3. Интегралы, зависящие от паралзетра. Интеграл Фурье 5. 1) 1(сз) = / созх дх, Е'= [гло,+ос), оо > 1; о 2) 1(о)= / ( ) йх, Е=[3,6]; о 3) 1(сь) = / аш2х аш — с(х, Е = [О; — ~; о 4) 1(о) = 1 ' „Их, Е = [1;+ос); у х-~-ог о 6) 1( ) / ( 5+ 3) — слл з Е [1.,4]. о 6) 1(о) = / х"е г" с1х, Е = [1;2]. 2 6.
Доказать, что интеграл 1(сь) сходится равномерно на множестве Ез и сходится неравномерно на множестве Ез. ) () / ., Е,=~-1;Ц, Е,=[-;):, 2) 1(о) = / , Ез = [3; +ос), Е = (1; +со): (х + 1) о 3)1() / 4Е(0]Е[0+) о 4) 1(о) = / е 0' 'з ь1х, Е, = [0;2], Е = [0;+. ); о 6) 1(сл) = / хае ™с)х, .Ез = [гло...+."с), оо > 0; Ез = (О;+со); о а 6) 1(о) = / ашхс1х, Еь = [О;1], Ег = [1;+со). Исследовать интеграл 1(сь) на равномерную сходимость на множестве Е (7,8). -~-ее 7.
1) 1(о) = /, Е = (1;+ос); о Г Ц. Равнвлеернвя схвдиивсть несобственных интегрвлвв 344 / ае '™ е1х, Е = [О; Ц; о / луае * Ы, Е= [О;+со); о / Дх, Е = [О;+ос), 1 л 4 2 ява е '*Олв~с1х, Е=й; о 1 / вш — . —, Е = [О; 2). о 2) 1[а) = 3) 1[а) = 4) 1(а) = 5) 1[а) = 6) 1[а) = 8.
1) 1[а) = / Х~с е1х, Е = [О; -~: о 1 2) 1[а) = / дх, Е = [О;1[; о о 3) 1[~)= / „с)х, Е= [ —; — ~; 2я 4) 1[а) = / „ е1х, Е = [О; 1); о 5) 1[а) = / с~х, Е = (О; +со); о 4-ж О) 1[а) = I а е еде' ~Дх Е = [1'жсс), д хе 9. Пусть интеграл / 1[х) йх сходится. Доказать, что на мнов, жестве [О; +со) равномерно сходятся интегралы / е — ее [х) с1х и / е — вв Г [х) г)х -~-еэ 10. Доказать, что если интеграл / 1[х) дх сходится, а функ- в ция д[х,а) монотонна по х на множестве Й = [а;+со) для каждо- 342 Гл. 3.
Интегр льи зависящие от параметра. Интеграл Фурье го о б Е и равномерно ограничена на множестве С = ((х;о): х б В, о б Е), т. е. существует число ЛХ > 0 такое, что [д(х;о)[< ЛХ для всех (х;о) б б С, то интеграл / Г(х)д(х;о) дх сходится равномерно по о на множестве Е. а .~. ее 11. Доказать, что интеграл / г(х;о)д(х;о)дх сходится равномерно по о на множестве Е, если функция Г"(х; о) интегрируема по х на отрезке [а;А) для любого А > а и интеграл / г"(х;сг) Йх сходится равномерно относительно о на множестве Е, а функция д(х; о) равномерно ограничена на множестве С = ((х; о); о < х < +со, о б Е).
12. Пусть функция г"(х) интегрируема по Риману на отрезке [О;а[ длн любого а > О, и пусть существует число оо такое, что функции Е(А) = / е "У(х) Их ограничена на множестве [О;+ос). о -~-ее Доказать, что интеграл / е 'Г(х) дх сходится равномерно на о множестве [по+ 6;+со), где б > О. 13.
Пусть функция Г'(х) определена на промежутке [О;+со), интегрируема по Риману на отрезке [О;А) для любого А > О, и пусть существует число сьо такое., что сходится интеграл / е ь* Г'(х) дх. -Ь аз о Доказать, что интеграл / е *1(х)пх сходится равномерно ца множестве [оо, +ос). о 14. Исследовать на равномерную сходимость на мнозкестве Е интеграл Е(о): 1) Г(о) = / ' ., агсод(ох) дх, Е = (ет [о[ > 1); 1 2)Г(о)= / '...
Е=й; 1 осе 3) 1(о) = / с~х, Е = (2;3): о 4 Ц. Равнолсерноя сходислость несобственных интегралов 343 4) 1(а)= / сКх, Е=(а: — ос<а< — — ~; о Х+ 1'Х 5) 7(а) = / совхз агс48(ах) 11х, Е = Я; о 1 6) 7(а) = ~ — яп — 2"' Дх, Е = ( — со: 1) . г1 . 1 о 15.
Доказать равенство: е -~-со ц И с дх 1 2) д ~ сова дх ш 1 „, ш о 1 1 3) 1пп 31 е х с1х=1; 4) 1пп ~ а япхе ос Й:с= —; о — еь ос о — 14-ос ) о о е о 5) 1пп ' е 11х = — ':, 6) 1ш1 1 азашхе о х 11х = О. о' — 14-со хго'хо — 1 2 ' о — г~-о,/ о 16. Доказать, что функция Е(а) непрерывна на множестве Е, если; 1) Е(а)= / е с* 111х, Е=Я; о -~-со 2) Е(а) = / о с(х, Е=47; о -~-ос 3) Е(а) = / Яп(ахо) с(хс Е = [1;+со); о 1 4) Е(а) = / 11х, Е = [О;1); о 5) Е(а) = / яп —,лг1пххс1х, Е = Я. хе 1 Исследовать функцию Е(а) на непрерывность на множестве Е (17, 18).
17. 1) Г(а) = / о, Е = (2,+ос), о 4-ос 2) Г(а) = / ' е охс1х, Е = [О;+ос); о 344 Гл. 3. Интегр льс, зависящие от иаралсетра. Интеграл Фурье 3) Е(сс)= / 1 г с1х, Е=Я; (л — о)г+4 о 4-х 4) Е(о) = / — с1х, Е = (О;+со); 1 а 5) Р(о) = /,, Е = [О: 1): о св 6) Е(о) = / х с1х, Е= й. о 18. 1) Е(о) = / пе ' *дх, Е = й; о -~-се 2) Е(о) = / е ассозхзНх, Е = [О;+со); о н-~ 3) Е(о) = / ', 41х, Е = (О;1); о 4) К(о) = /, с1х, Е = (О;2). о -~-се -~-се 19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
