1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 61
Текст из файла (страница 61)
у 1+х о а — ь й Обозначим 11 — — 1 ' йх, 1 = 1 ' йх. Пусть 0 <х< 1; / 1Чх " у 1+х тогда е 1 Г(р)= / х" е ейх, (1) е сходящийся при р > О, называют гамма-функцией, а интеграл 1 В ~ Р ч ) 1 х ь 1 х ) ь й х е сходящийся при р > 0 и у > О, называют бета-функцией. Интегралы (1) и (2) называют также эйлеровыми интегралами второго и первого рода соответственно. Отметим основные формулы для интеграла (1): а) формула понижения Г(р+1) =рг(р), р>0; (3) б) формула дополнения Г(р)Г11 — р) = О < р < 1 (4) е1пяр ' Так как Г(1) = / е *Их = 1, то из формулы (3) следует, что о ГГп + 1) = ть!, и Е Й.
Связь между бета-функцией и гамма-функцией выражается форву у) = ~'р)~~'), р > о, у > о. (б) г(р ь у) ' у 16. Эялероеы и некоторые другие интегралы оо — ( — 1) х~~ ' 1 -~- х и=о Если о — 1 е — г а 6 (О; 1), х 6 (О; 1), 1(х; а) =, 7о(х; гг) = ~~г ( 1) "х"~ л=о то (6) Следовательно, 1=1+1+ — +~ (1)( ' + ' ) ь=г Воспользуемся известным разложением функции 1/з1п на простые дроби: 1 япе г ' — ~ л г — Йгг г Чйя) Полаган е = ая, где 0 < а < 1, получаем я 1 у л( 1 1 = — +У(-Ц ( + япая а ~~ Ла — й а+й) ь=г Из равенств (7) и (8) следует, что З "о а — г — ггх= , О<а<1.4 1+ х япагг ' о (7) (см.
[6]) (8) (9) 1 1 Так как / х" г г1х = — — л 0 при и — л со, то ряд (6) можно почленно о интегрировать на отрезке [О; Ц. Поэтому ою 1Ь 1 ео 1Ь 1)и~хо,ь г 1 ~ ( — 1) 1 +~ ( — 1) а+й а гела у=о о ь=-о ь=.г Преобразуя интеграл 1 с помощью подстановки х = 1ггй получаем о г 1 М 1 Г-адг 1а — г(1 Ь 1/1) Гг / г о Интегрируя почленно на отрезке [О; Ц ряд, получаемый из ряда (6) заменой а — 1 на — а, найдем ( ць ~ ( 1)ь Зол Гл. 3.
Интегр льо зависящие вт иаральетра. Интеграл Фурье Пример 2. Доказать формулу (5). а Полагая х = (1+ 1)у (где 1 > 0) в формуле (1) Г(о) = / ха е *Их, о получаем Г(о) Г, — ь — Оейи 1 ( ).— у-е- у. о Пусть о=р+д, гдер>0, о>0. Тогда 1(у+й) ( рта — з -Оэйи,( (1+г)те о Умножая обе части этого равенства на 1Р ~ и интегрируя по 1 от 0 до +со, получаем -~-сю все Г(р+ч) ) с11 = 1 1 сззь 1 у е ~ лйис1ц, (10) у (1+ г)яее о о о Преобразуем интеграл в левой части равенства (10), полагая = хД1 — х); получим жсе / с11 = ~хл ~(1 — х)а ' дх = В(р;у).
(11) о о Меняя в правой части равенства (10) порядок интегрирования и используя формулу (11), находим -~-сс -~-сю Г(р+ у)В(р:у) = / циье ~е и Иу / 1Р ~е сис1ь = о о = 1у" ' ' " ) = (р)Г(ч) ул о откуда следует формула (5). Обоснование перестановки порядка интегрирования в правой части (10) проводится аналогично тому, как это делалось в примере 3 315. А П ример 3. Доказать формулы (3) и (4). ,а а) В интеграле (1) заменяем р на р+ 1, а затем, интегрируя по частям, получаем Г(р + 1) = / хяе дх = — х~е ~ + р / хл ~е ' дх = р Г(р).
о о б) Полагая в формуле (11) о = 1 — р, где 0 < р < 1, и используя формулу (9), получаем 416. Эалеровы и некоторые другие интегралы г г —— о о А а) Применяя подстановку хгг(2 — х) = 1, получаем 21 1 — г дх дг х= —, 1 — х=— 1-Ь1' 1-Ь1 ' (х — 2)г 2 Следовательно, 1 1 — 1 ) — 713(1 1)713 Щ 2К2 / о Используя формулы (2), (5), (3)., (4) и учитынаяг что Г(2) = 1, находим 1 В1'2.4'1 1 (3) (3) 2К2 773' 37 2и372 Г(2) 1 1 7'11 7'21 1 гг 2Я 3 х3.7 (,3/ 6772 31П(я773) ЗЛ4 2 ЗЛ08 б) Полагая хз = А получаем 1 )' 1 — 1 52 = 117179. 4 2' 1+1 о Воспользуемся формулой (12).
Из этой формулы рал 1 равен произнодной от функции -~-Ог гр(р) = — / 711 о в точке р = 1774. Следовательно, 71 ( гг 1 ~ гг соьЯР 3 др,437пирг ~р=г,гл 431п .гр р=г,гл следует, что интег- 'Л = — —. А 4 ЗАДАЧИ 1. Доказать раненстно; (и — Ц! (т, — 1)! 1) В(то)= ' ' ', гпЕИ пЕИ; (гп -Ь 77 — 1)~ р В(р;1 — р) = / агх = (12) о С друтой стороны, из равенства (5) находим В(р;1- р) = г(р)г(1- р), (13) так как Г(1) = 1. Из равенств (12) и (13) следует формула (4). А Пример 4.
С помощью эйлеровых интегралов вычислить интеграл: Зал Гл. 3. Интегр льь, зависящие от параметра. Интеграл Фурье 2) Г1а + п) = 1а + п — 1) 1а + и — 2)...1а + 1) а . Г1а), и Е IЧ; 3) В(1Н у) = В(д; р), р > О, Ч > 0; 4) Г(1/2) = Гл; 5) В( —; — ) = л; 6) Г(п+ — ) = "зги, п Е РУ. 2. Доказать, что Г1р) -- бесконечно дифференцируемая функция, причем -~-ьс Гь '1 (р) = / х" ~ 11п х) '" е с с1х. о 3. Доказать, что Г1сг) 1/сь при о — + +О 4. Доказать формулу Г.
= (ць Г1 )=~„„' и Г1о) + +ос при о — 1 +со. / ха — ~е — л 4х 1 сь > О. Используя эйлеровы интегралы, вычислить интеграл 17 12). 2 г 7. 1) / ; 2) 1 у -'(г-е ' ', уа:)(~+')' ' г 2 3) / 4) Л оооь*)я' — ') ' озгг — г ь з ) 1" отг='т и - о *; е 1" . 1 о 5. Доказать, что функция Г1сь) является строго выпуклой вверх на интервале 10; + ж) . 6.
Выразить через значения гамма-функции интегралы: 1) / х" ~е с1х р>0 о>0; 2) / е' с1х, о>0; о о 3) /х"е ' с1х, сь> — 1, Д>0; о З-сс 4) у1 е уа* дх., сь>0, гьее1; 1 аг хнь 1 о 1 а — 1 -~-сс 4х 5) / (1п — ) хд 'с1х, о > О,,'3 > О; 6) / (1пх)Р—,, р > — 1; х о 1 1 е-' еь.,ъ р>0 3) 1 „> с1х 1 11+ хг) ' 2 — ьь о ярз 3) / з Ых, 0<се< (япх -Ь соех)з о га Щ 1 г*, е В; 6) узг-*з З вЂ” 1 7) / ' зе1тз 0<ез<1; 8) о лрз 9) / 182~ 1тдх, О < о < 1. о 1; 4) / х~/Т вЂ” хз дх: о хат 11+ тз)з: о в/2 яп т созе х Их; о Выразить через значения бета-функции интеграл (13, 14). 1 13.
1) ~ „, сз > О; о 2) ~х" 11 — ха)тйх, сз > — 1, 3 > О, 3 > — 1; о 3) / х '(а — х)~ ' 11х, а > О, сз > О, ,3 > 0; о — | зо 4) / ' Их, 0<сз<Д; 5) /, ' с)х, ел> — —; о о -~-ьз 6) 1 а дт, а>0, .Ь>О, )з>0, 0« р. ,1 (а+ Ьта)Р о 14. 1) ~ дх, р>1; 1-Ь сое т о г/2 ,1 (япт+соах)" р о з З аз яп т -Ь Ьз сове х)" а о я 12 ( звзпз.
-Ььзс взх)о о я12 5) / яп хсозатйх, сз > — 1, Д > — 1; о З66 Гл. 3. Интегралы, зависящие вт иаралзетра. Интеграл Фурье 476. Эулероеег и некоторые другие интегралы 367 6) 1(,"", ', О Р! 1, О; о 1 7) ( . . . О, (1 ж хг)о 'Д 8) у о(х, 0<а<Ь, с>0, о> — 1,,3> — 1.
г' (х — а) о (Ь вЂ” х) ~ (х+ с)о+дог 15. Доказать равенство; 1 гхе го хе 1)В(р;у)= / ' с(х, р>0, д>0; о 2) В(р; р) =,, В ( —; р), р > 0; 8) В(р; 2) = ' ' В(р; у — 1),. р > О, у > 1. р + я 16. Выразить через гамма-функцию интеграл х"е 1пхо(х сг > О р > — 1 о 17.
Доказать равенство: дх Г (1/4) ~/1 — х" 4ъ'2я о дВ 2) 71 = — Гг~ — ) (Указание. Положить соей = I игЗ вЂ” саед 4,/х (,4! о = 1 — 2т7х); : И<1 П ) ' е1пд 1 дд 1 1+ гаазу/ 1+ г соеу (1 гг)о! р(о) о В ГГчУказание. Положить 18 — = ~ 'х) 2 ~/1 — г 1 1 -~- оо -~- оо '1) / и7) — — —;/ ™л = —; 5) / е ' еЬх/ х'с "о(х= о 6) Ц / х е " о(х = ( — ) (2я)(о — 07а и=7 О (Указание. Воспользоваться формулой дополнения (4) и ран — ~ н — 1 ъ-г венством = П(г — е ' и")).
г — 1 Заз Гл. 3. Интегр лы, зависящие от параметра. Интеграл Фурье 18. Используя равенство — = у1 1р 'е "111 1х>0, р>0), 1 1 хп Г1р) найти интеграл: о -~-са 1) 1 азх, о>0., 0<р<1; хр о 2) 1 ' ох, 0<р<2, о>0. хп о 19. Вычислить интеграл: 1 ХР 1 Г Р 1) 11р) = / ' " сх, 0 < р < 1 1У казан ие. 1(р) о 1пп ~В1р; Л) — В11 — р; Л))); л — ьз-о 2) г1 с1х, 0 < о < д 1Ука за ни е, е гв* = 1); вЬ ох з вЬЗх о 1 3) 1 = / 1пГ(х) дх (Указание. Использовать равенство 1 = 1 о = / 1п Г11 — х) 11х и формулу дополнения 14)); о а-~-1 4) 11а) = / 1пГ1х)11х, а > 0 1Указание. Продифференцироа вать интеграл Х(а) по параметру и использовать формулу понижения 13)); 1 1 5) / 1пГ(х)взпзсхс1х„б) / 1пГ(х)сов2хззхс1х, и Е вз.
о о 20. Доказать формулы Э "лера: -1-аа 1) / Г 1е м"'а сов(Л1взпо) а11 = совах Г1х) Лх о е взп(Л1в'п о) с11 = Л. Г1х) о !о! < лз12. ОТВЕТЫ 6. 1); 2) — Г( — ), 3) — Г( ); 4) 2агз 1а азгГ( — ); 516. Эйлероеы и некоторые другие интегралы 369 7. 1) —; 2) ггвГ2; 3) д;Г2; 4) .; 5); 6) з взп12л/5) ' ддГЗ ' я|п12л/5) 6) згт2ваз/4 2л гГЗ 2) ~ъ 2 3) да' 4) л лГ2 5) л 9 ' 4 ' 16 ' 4 ' Эвзп7оп/Я 2а ~ла11 — а) вгп тгл 10. 1) О; 2) О; 3) ~ ~; 4) п,~ ! ); 5) (ъГ31п2+гт); 2)а! ' 4совг1ав/2) ' 3 6) †. 4) л 1 + вш'1ал/2) 5) 2лв 6) Зп 7) лг сов ая 8 сове(ал/2) ' 27 ' 32дГ2 вш тиг л 11 4-сов гиг) вш ал п11 — а) 2) лр 3) л а 4) 2л'/3 яп сел ' 4яп1лр/2) ' яд оп ' 27 гг 1 4..43п — 5)13п — 2) 2ллГЗ гг Зл дГЗ 3" гг! 27 ' 2япал ' 512 ' 9) 2 яп сит 13.
1) — В( —; 1 — — ): 2) — В(;"!+ 1); 3) аог д ~В1а;т6); 4) В(Д вЂ” а;а); 5) -В(а+ —:, — ); 1 7 1 21 З 1 3'3)' 14. 1) 2" 'В(р; р ); 2) В1а;/4); 3) 2агоЬгтг ' 2(аЬ)о ' 2 1, 2 ' 2 !' (1 — /дг)о/г г,2 2!' а-д 7) 2 "'' В1а;/3); 8) г ) В1а+1;/)+15 1а -> с)д "г15 -~- с)"" '! /Г/р+1) ) 16. 1) ™ . 2) ™ Йр ( оя ' ! 2Г/р) сов(рл/2) ' 2Г/р) яп(рл/2) 19. 1) ггс18лр; 2) — 18 / — ): 3) 1пъ/2п; 4) 1пд/2гг+ а(1гта — 1): 29 (2Э)г ' —.'('.'(-;)) Г 6 Ь 24 Под ред.
ЛЭККудрявцева, в.З Зте Гл. 3. Интегр лы, зависящие от параметра. Интеграл Фурье 2 17. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ а в точках разрыва функции 7" левую часть равенства (1) следует заменить на 1(х + О) + )Тх — О) 2 Если непрерывнан, абсолютно интегрируемал на 17 функция Г' имеет в каждой точке х Е гт конечные односторонние производные, то в случае, когда зта функция является четной, справедливо равенство 7'(х) = / о(у) созхзуйу, (2) о о(у) = — / 71г) соеу1Ж, (3) о а в случае., когда 7' -- нечетная функции, выполняется раненство 7"(х) = / о(у) гйпхуду, (4) о в(у) = — 1 У(Г) з1п ус й.
(б) о где где Фор~улу (1) можно записать в комплексной форме; -~-оо г-ж гсх) /',1у ~ 7®езв1г-О л1 2г у где внешний интеграл понимается в смысле главного значения. 2. Преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье. Функцию 7", определяемую формулой Еоо Ду) = г.р. / Гас)е '" е1с, (7) называют преооразованием Фурье функции Г и обозначают также и 1. Интеграл Фурье. Пусть функция Г'(х) кусочно непрерывна на любом отрезке действительной прямой, абсолютно интегрируема на Л и имеет в каждой точке х Е Й конечные односторонние производные. Тогда в точках непрерывности функция Г представляется в виде интеграла Фурье -~- оо -~- оо 1(х) = — / сру / ГЯсоау(х — г) сгго (1) о З17.
Пнтеерал Фурье. Преобразование Фурье 371 ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ П р и мер 1. Представить функцию 7'(х) интегралом Фурье, если — 1, если — 1<х<0, 2) Дх)= 1, если 0<х<1, О, если [х] > 1. 1) 7" (х) = е "~, а > 0; через г [1], а функцию 7', определяемую формулой -~-ж 7(у) = т.р. / 1(1)е™У й1, (8) называют обратным преобразованием Фурье функции Г и обозначают Е ~[7]. Если функция 7' абсолютно интегрируема на Й, то интегралы (7) и (8) существуют как несобственные, а не только в смысле главного значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
