1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Отметим следующие свойства преобразования Фурье и обратного преобразовании Фурье. 1) Форлзула обращения. Если непрерывная функция 7' абсолютно интегрируел1а на Й и имеет в каждой точке х Е Й конечные односторонние производные, то Н '[Е[П=ПТ 'Ы]=У 2) Линейность. Если существуют преобразования Фурье функций 7" и д, то при любых комплексных о и П справедливо равенство ЕИ+Пд] = ПИ+НЕ[у]. Аналогичное утверждение справедливо и для обратного преобразования Фурье. 3) Непрерывность.
Если функция Г' абсолютно интегрируема на Й, то ее преобразование Фурье 7'(у) непрерывная и ограниченная на Й функция, причел| 1цп Ду) = 1цп 7(у) = О. 4) Преобразование Фурье производной. Если функция 7 и ее производные до и-го порядка включительно непрерывны и абсолютно интегрируемы на Й, то Н[71ьз] = (1у)ьГ[7], й = 1,2,...,п.
(О) 5) Производнап преобразованип Фурье. Если функция Г' непрерывна на Й, а функции 7(х), х7(х), ..., х" 1(х) абсолютно интегрируемы на Й, то функция г'(у) = К[у] имеет на Й производные до и-го порядка включительно, причем ~~ь~(у) = ( — г)~Н[хь7"(х)], й = 1,2, ...,п. (10) Зтз Гл. 3.
Интегр льГ, зависящие от параметра. Интеграл Фурье а 1) Так как Г" - — непрерывная на Я четная функции, то, используя формулы (2), (3) и формулу (4) 2 15, получаем а(у) е — а. сов у1Я и з' п(аз+ уг) о -~-се 2о г сов ух 7Г О -~- У о 2) Функция 1 нвлнется нечетной и непрерывной на й, кроме точек х = — 1, х = О, х = 1. Используя формулы (3) и (4), находим Г Ь(17) = — 1г е1пу1711 = 7Г,Г 7ГУ о Д(х) = — / япхуозу, о если х ф О, х ф х1. При х = 1 должно выполнятьсн равенство -~-ГС 1'(1 — 0) -~- 1" (1 -Г 0) 1 2 Г 1 — сов у яп у ду.
2 2 77 „7' у о (11) Полагая у = 21, отсюда находим яп' 1сов1 о Если в (11) положить х = 1772, то ГЙ = 16 1'( — ) = 1 = — / яп — ду. о Полагая здесь у = 21, найдем -Г- х '— Й= —. А 4 о Пример 2. Найти преобразование Фурье функции г'(х), если: 4 Г 1 1) Д(х) = е а~а~7 о ) О; 2) 1" (х) = хге "~; 3) 1" (х) = —.„(, ). 47 1) Так как функция Г' абсолютно интегрируема на Л, то ее преобразование Фурье существует и выражается формулой ГД) = 1 е ~*'е '*"71х.
(12) ьГ2п / Преобразуя интеграл (12) и используя формулу (4) 2 15, получаем 417. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье -~-ьо ьз2л- l 2 о -~-ьо = ~ — / е "" соахуе(х =,/— л о" +у О Таким образом (.—. )=Л,..., . в аз+ уз (13) 2) Применяя формулы (10) и (13), находим Ь" *'~=-Ю "П"=-(~Р„' ь)е= ~,',,'~,', 3) Использун формулу (9), получаем Р(/) = (зу)з~[ где ЗАДАЧИ Представить функцию /(х) интегралом Фурье (1 — 4). ) 1, если ~х~ <т, '(О, если )х( > т; 1 — )х//а, если (х! < а, О, если (х! > а; 3) /(х) = з1дп(х — а) — а1дп(х — Ь), Ь > а:, 4) /(х) = 1/(хе + а ), а 7': О. а~О; 2) /(х)= 0 1 совх, если ~х~ < х/2, О, если ~х( > я/2; а1пизх, если ~х~ < 2лп/оз, О, если ~х( > 2лп/ы, 3.
1) /(х) = е ~~з~ в1п,'зх, о > О, 2) /(х) = е 3) /(х) е — х .,1) /(х) хе — х если /х/ < я, если /х! > л", из >О. сов Дх, а > 0; -~- ы . СО ~1-Ь х'-'~,/2г,l 1-Ь х' ~/ 1 2 1+ хз 2 / совху „ /я ~и~ я р е о (см. Л 1оь, формула (15)). Следовательно, Г(Я = — г1/ —" узе ~и~, й 374 Гл. 3. Интегр льг, зависящие вт паралгетра. Интеграл Фурье 4 ц г[ ) е '", если х>0, .о>0; О,.
если х<0; /е "аашщх, если х>0, о>0; О, если х<0:, [ згпх, если 0 < х < ггп, О, если х<0 или х>лп, пЕИ. 5. Представить интегралом Фурье функцию Дх), продолжив ее нечетным образом на интервал [-со;0), если: ) ашх, если 0<х<зг, О, если х >л; 2 — Зх, если О < х < 2гг3, О, если х > 2гг3. 6. Представить интегралом Фурье функцию Г'[х), продолжив ее четным образом на интервал [ — со; 0), если: 1) Г[х) =е ", х>О, о>0; 2) у[ ) 1, если 0<т<1, ) О, если х>1. Найти преобразование Фурье функции Г[х) [7 — 9). ) 1, если [х[<1, ) О, если [х[> 1; е'*, если [х[ < л, О, если [х[ > л-, соах, если [х[ < л, О, если [х[ > л; ыпх, если [х[ < л, О,. если [х[ > л; [е", если т Е [О;л[, О, если х ф [О;л); соах, если х Е [О;зг), О, если х ф [О;к) 8. 1) )'[х) = хе а~л~, о > О; 2) Дх) = е 3) Г[х) = е ' ге совах; 4) у[х) = — [хе >г<); игх 5) Г[х) = — [хге ~г~); 6) 1(х) = — [хе >~з~).
9 1) Г"(х) = О, если [х[ > л-, 417. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье 375 (1, если 1 < [х[< 2, (О, если [х[>2 и [х[<1; 3) У(х) = .[ ' ' [ О, если [х[>1: тг созх, если [х[ < зг., О, если [х[ > и; 2 — хз, если [х[ < 1, б) г'(х) = 1, если 1 < [х[ < 2, О, если [х[ > 2. 10. Пусть 1"(д) = Р'[Г"(х)[. Доказать, что: 1) Р[е'~ 1(х)[ = У(д — а), а Е Й; 2) х [У(х — а)[ = е ' и7" (д), а Е Й; 3) х [совах 7'(х)[ = " ", а Е Й; 4) Р[зшах.
У(х)[ =, а Е Й. 2з 11. Пусть функция г непрерывна на Й, абсолютно интегрируема на Й и удонлетворяет условию ьз(х) = / 7'(1)сМ -+ О при [х[ — + +ос. о Доказать, что Е[зр[ = — —,((д), где (Ь) = ПИ. у 12. Доказать, что преобразование Фурье функции 7'(х) 1 имеет непрерывную производную десятого порядка.
1 + х"'-' ~е 13. Доказать, что преобразование Фурье функции г(х) = хе есть бесконечно дифференцируемая функция. 14. ПУсть г" (д) пРеобРазование ФУРье фУнкции 1зз(1+ [х[5). Доказать, что: 1) г"(д) изиеет непрерывную на Й производную третьего порядка, 2) ((д) = 0(1гздь) при д -+ оо; 3) Дд) = о(1,1да) при д — Ь со. 13.
Пусть функции г" (х) непрерывна на Й, абсолютно интегрируема на Й и имеет в каждой точке х Е Й конечные односторонние производные. Доказать, что ч-:е -~-ье У [~()[з "д= У [~(д)[з" где 7"(д) = РЯ, Г" (зд) = Е '[Г). 376 Гл. 3. Интегр льг, зависящие от иаральетра. Интеграл Фурье 17. Найти гр(у), если: 1 1) / гр(у) созхус(у = о 2) / оз(у) а1п ху с(у = е *, х ) О. о ОТВЕТЫ 1.
1) г"(х) = — ) " созхус(у; л д о +х 2) Г'(х) = — /, " созхус(у; ка з уг о 2 Г еш(у(х — а)) — зш(у(х — ЬЦ 3 Х(х) = — / Иу; у о 4) 1(х) = — ~ е ]Щ" созхус(у. — а ]а] ' сс -~-сс 2. 1) 1"(х) = — / У з1пхус(у; 2) Г(х) = — / '~ зшхуду; о о 3) ~() =-.' У "' ",'-" '-""" о ) ~( ) 2 ~ егп(2янд/щ) я / уе — игг о 3.1) Г.(х) 4од ) да хд / [(у И)г ь „г][(у ч Д)г ч г] о 2) Дх) = — [ [ г ь +, „] созхуду; 1 о 3) ((х) = — ~ е " 1~ соаху агу; —,Г- / 16. Пусть функции Г' и д непрерынны, ограничены и абсолютно интегрируемы на И.
Доказать, что: 1) функции 6(х) = /,гг(1)д(х — 1) сИ, которую называют сверт— х ной функций Г' и д и обозначают Г" *д, непрерывна, ограничена и абсолютно интегрируема на й; 2) Г[~ ь д] = Г[ Р] . И[д]. 4/7. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье 377 4) )(х) = )' уе "/4ягзхуг/у. 2з/в з' о г-ьь 1 г 1 О 4. 1) /'(х) = — / с4п(ху + гр) г/у, гр = ахс1е —: гг у о 2) г з "'' / (о 4 '«з — У )совхд-~-2оузшху 2 /'(х) =— з з зз а г(у~ .г / (оз — ьгз+ уз)-'+ 4озгиз о 3) Пх) = — ., '/ г(у, если и четное, зг,/ уз — 1 о / (х) = — —, г/у, если и нечетное. и,/ у' — 1 о 5.
1) /(х) = — / ' У езпхуг/у: зг / 1 — уз о 2 /' 2у — Зз/п(2у/3) зг,/ У о 1) 1(*) = — /; ' ~, у.; 2) У(х) = 2 / '""' *" г/у. о о 1) р[)[ 2 згзгу 2) К[Я 2 ззпггу 3) ~И= —.' У1в"„, 4) ПИ=-' 5) Г[з') = (1+с /™); 6) Р[Я =— з/2в(у — 1) з/2в уз — 1 8. 1) У[1)= — з г —,, у, ь; 2) Е[/з) = е з /- '1/ зг (уз+ аз)з ' 3) 1"[/) = е. /Р +о //~ с(з сгу; 4) Е[Д = 2,)— и (Уз 4-1)з ' 5) ПИ=2 -и " 6) ПУ]= 1) р,у[ 1 н(1 — У ) сое ву 4- 2у з/п ву з/2в (1 — уз)з 2) п,[зз ) 2 з/п2У вЂ” в/ну у З78 Гл. 3. Интегральо зависящие от параметра. Интеграл Фурье 3) .[г] ( 2 2усоеу+ [у — 2)япу т у ( 2 2асоезгу[1 — у') -~-е1пау[6у+ 2у — г [у — 2уз -Ру')] ~/ т [1 — у')з / 2 у яп2у-р 2япу — 2усову 'у' р уз 17.1) у[у)=е ", у>0; 2) со[у)= ', у>0.
а[1+ уг) ' ГЛАВА й ВВЕДЕНИЕ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 3 18. Метрические пространства СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Метрика. Предел последовательности. Множество Л называют метрическим пространством, если на совокупности упорядоченных пар (х;у) элементов этого пространства определена такая неотрицательная функция р(х;у), называемая расстоянием (или метрикой), что: 1) р(х;у) = О тогда и только тогда, когда х = у, х,у Е Л; 2) р(х; у) = р(у;х) для всех х, у Е Х; 3) р(х;у) < р(х;г) + р(г;у) для всех т., у, г Е Х.
Свойства 1) — 3) называют также аксиомами метрики, причем аксиому 3) называют аксиомой треугольника. Элементы метрического пространства называют точками. Всякое подмножество метрического пространства Х в свою очередь является метрическим пространством относительно метрики пространства Л, и его называют падпростракством пространства Х. Два метрических пространства Х и Х' называют игометричкыми, если между их точками существует взаимно однозначное соответствие 1, сохраняющее расстояние, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
