1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Пользуясь формулой = уь,, вычислить инрал о 1 а!с!а х хЯ вЂ” х! о 11. Пользуясь формулой 1 1 а -!-Ьяпх !' сЫ вЂ” 1п = 2аб 1 япх а — бяпх з' аг — Ьзьзяпгх' а 2И. Собственные интегралы, зависящие от ларалбетра 329 где а > Ь > О, вычислить интеграл вгз а+ Ьяпх 61х 1п а — Ьяпх япх о 12. Пусть о > О, Ь > О. Вычислить интеграл: 1 6 а ) /а1 ~1 -')*, ' 1*; 2) /. (1 -')*, * Ьх. о о 13. Найти 1'(11), если: 1 з 1) 1(а) = / ззц(ах) 61х; 2) 1(а) = / сЬх; х о 1 3) 1(а) = /е * —; 4) 1(а) = / с11(а~х~) —. 1 2 14. Найти Ф'(а), если: а 2а 1) Ф(а) = / слх; 2) Ф(а) = / х сое а аг 3) Ф(а)= / е " '61х; 4) Ф(а)= /е * 61х; в1п а за Ие а с 5) Ф(а) = / еа ' дх: б) Ф(а) = / 1ц(1+азхз) †.
сое а е ас 7) ф(а) = / 1п(1+ агхг) сЬх; ас ела 8) Ф(а) = / 1п(1+хз+аз)61х. си с 15. Можно ли вычислить по правилу Лейбница производную функции 1(а) = / 1п(х~+ аз) дх при а = О? о 16. Пусть функция 1 непрерывна на Й. Доказать, что функция 1 Е(х) = — ~ 1~х + 1) сЫ, где о > О, имеет непрерывную производную 2л,/ на Й, и найти го(х). ЗЗО Гл. д.
Интегр льс, зависящие ет параметра. Интеграл Фурье ь дх 17. С помощью дифференцирования интеграла ~ „„по парахг+ ог ь с сЬ: метру о, где о > О, вычислить интеграл (хг -лог)з о 18. Применяя дифференцирование по параметру сл, вычислить интеграл 1[ст), если: врг 1) У[о) = /!п[оа — з1п ьз)сдр, о >1; о 2) Г(о) = / 1п[1 — 2осозх+ог)с1х, [о[< 1; е в пс'з 4) Г[ ) / атсья (О $ях) тдх о 19. Пусть функция Г[х;о) непрерывна в прямоугольнике Л = 1(х; о): и < х < Ь, оз < о < ох), а функция д[х) интегрируема на отрезке [а; Ь).
Доказать, что: ь 1) функция И[о) = /т" [х; о)д(х) с1х непрерывна на отрезке а [ом ог): а Ь аг 2) /'-) = 10 [х ") [х) )" сч а со 3) функция Е[о) непрерывно дифферепцирусма на отрезке [ОЫ Ог), причем РЯ[о) = / ~~ ' ) д[х) с1х, до д)'[х; о) при дополнительном условии, что функция ' непрерывна в до прямоугольнике К. а 20. Пусть Е[о) = / [х+ о)Г[х) с~х, где Г(х) -- дифференцируес гмая на Й функция.
Найти г я[а). ь 21. Пусть У[а) = /)'[х)[х — о[с1х, где Р[х) непрерывная па отрезке [а; Ь] функция. Найти Рп(о). 2йн Собственные интегралы, зависящие вт иаранетра 331 Л Л. 22. Пусть Е(о) — — „, / ( / 6(О + 21+ о) йг1Л с(сэ где 6 > О, о о непрерывная на я функция. Найти Ги(а). 23. Пусть функция 1 непрерывна на отрезке (а;Ь), хо е (а;Ь), хе е (а; Ь), Ь ~ О.
Доказать, что функция ц(х) = — / 1(1) яп к(х — 1) еИ 1 ав удовлетворяет дифференциальному уравнению ри + Йзр = 1(х). 24. Пусть функция 1 непрерывна на отрезке [а: Ь], хо Е (а: Ь), х Е Е (а; Ь). Доказать, что функция Г(х) = ~(х — 1)" 2((1)М, где п Е И, *0 удовлетворяет условиям Е(хо) = Е'(хо) = ... = Е'"-Н(хо) = О, Ерп(х) = ~(х). 25. Доказать, что функция (.) = /..в"-"'4В о при любом п Е л удовлетворяет уравнению йзи 1 аи — + — — — и и=О.
сЬ2 г Йг 26. Доказать, что функция и(х) удовлетворяет уравнению Бесселя х и~ + хи + (хг — згг)и = О, если 1 1) и(х) = — ~ сов(п~р — хяпфс11с, и Е И; о 2) и(х) = х" / соз(хсовсе) яп "изсЬр, п Е И. о 27. Рассмотрим полные эллиптические интегралы вз'2 в12 е(г) = 1 ~ 1- Й*;„' ~ге, ко) = 3(е) = 1 — Вп.з где О < Ь < 1. Доказать, что: 1) Е(Ь) =, К(Ь) = 2) Еи(1г)+ — Е'(Ь)+ ( ), =О; Ь 1 — Ьг 333 Гл.З. Интегр льз, зависящие от наральетра.
Интеграл Фурье 3) /1К(1) сУ = ЕЯ вЂ” (1 — 1сг)К(И); о ') У"(')"=4«""г) ®-('-") (")) о 28. Пусть р(х) = — при х ~ О, ус(0) = 1. Показать, что: 1) х" ь ьрр'~'(х) - /1 соа (1 + — ) сгг, и 6 31, х б й; о 2) ]узйй(х)] < —, и Е М, х Е Я. и+1' 29. Пусть функция уз(х) и ее производная уз'(х) непрерывны на отрезке [О;а], и пусть Е(1) = / с о Доказать, что при 1 Е (О;и) справедливо равенстно о (х(1 — у), если .т. < у, 30. Пусть К(х;у) = ~ ( У)' " У' и пусть ос(у) непрерывная на отрезке [О; Ц функция.
Показать, что функция и(х) = /К(х;у)уз(у) ау о удовлетворяет на отрезке [О; Ц уравнению ии(х) = — уз(х). 31. Найти дважды дифференцируемую на И функцию уз(х), удов- летворяюзцую уравнению: а 1) р(х) = х+ / (И вЂ” МИ) с19; о 2) р(х) = 1+ Л /( — у)р(9) Др, Л > О; о 3) ~р(х) = Л / (х — у) ьз(у) Иу + х-', Л > О. о 32. Найти Г,"„(х;у), если Е(х;у) = / (х — у1)Г(1) с11, где г(1) " дифференцируемая функция, у ф О. !и тИ.
Собственные интегралы, зависящие от иараиетра 333 33. Пусть / -- дважды дифференцируемая, а Г -- дифференцируемая функция. Доказать, .что функция и(х;1) = — (/(х — а1) + /(х+ а1)) + — / Ь"(с) ас 1 1 2 2а,/ удовлетворяет волновому уравнению и следуюшим начальным условиям: и(х; 0) = /(х), и~(т; 0) = с'(х). 34.
Показать, что если функция / непрерывна на отрезке (О;а), ь с (О;а) и (х — ь)~ + у + г~ г- О, то функция и(х у.г) = / ' * " ' - ~' ~(, - Ю „, . ди ди ди удовлетворяет уравнению Лапласа †, + †, + †, = О. д*г дрг дгг ОТВЕТЫ 2. 1) 1; 2) 1; 3) (1п3)/2; 4) (е — Ц/3; 5) — 2. 5. 1) Нет; 2) нет. 8. 1) Нет; 2) нет; 3) нет. 10. (л/2) 1п(1+ т/2). 11. згатсяш(Ь/а). Ь вЂ” а 1 (Ь41) 41 1 ж (а -~- 1)(Ь 4- 1) ' 2 (а + 1)г 4- 1 13. 1) Р( ) = сс езп ос + сое а 1; 2) Р( ) = сое 2та а Зо е — е 4, 2(сь9о — сп4~ ) 14. 1) Ф'(и) = (21п(1+ оз))/о; 2) Ф'(о) = 2(сфп2пз — с4поз)/о; сое а 3) ф~(о) = / т/à — хге "г~ г~с4х — а1по еа~ыпа~ — спасе еа~сооа~; яп а а ф/(сг) / хзеаа 41х + 2оеа 3еоа За Ип а 3 2 2 З) Ф'(О) = 4ОЗ ХЗЕа г 41Х+ СОяа.
Еа е'и а + азин. Еа сое о ' соз а О) ф~(, ) 1п + о е + |п(1 + 2, т 1, 2, 1, 4). о 1 -~-оге 7) Ф'(о) = 4а1то+ —,, (ахс18(озе ) — атс1я(о~е ))+ 2 о +( „+ 1),а1 (1+ „4 за) (, 1) — а1 (1+ „4,— за), ЗЗ4 Гл. 3. Интегр лн, зависящие вт параметра. Интеграл Фурье 8) ф'(о) = (агсЬ8 — агс18 ) + 2о / ей о сЬо игу+аз Л+ог игг+ог + сЬо1п(сЬао+ о~) — зЬо1п(сЬ~о -~- ог -~- 1). 15.
Нет. 16. Е'(х) = ([(х+ о) — Г(х — а))(2а. 1 Ь Ь 17. — агсцб — + 2 з Зог( а+Ьг) . +,~-.—— -1 зг 18. 1) я 1п; 2) О; 3) 2зг агсагп о; 4) — згяп о 1п(1 + [о[). 2 2 20. Еи(о) = 3)'(о) + 2о('(гл). / 2г" (о), если о Е (а; Ь), О, если о Е [а: Ь[. Г(о+ 26) — 2 Г(о+ Ь) + Г(о) Ье 31. 1) гр(х) = ззпх; 2) р(х) = сЬ(хтгсЛ); 3) гр(х) = 2(сЬ(хтггЛ) — 1)ггЛ Еп (2 3уг)(( „) + х у(х) + .г (1 а)у~(, „) 3 14. Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ 1(х;о) дх ( ж (2) Если существует число га > О такое, что для любого б Е [о, +ос) найдутся числа ол Е Е и Ег Е [б;+со) такие, что /,((х> оз) ~~х) ~ 3еа, (3) 1. Определение равномерной сходимости интеграла.
В этом параграфе определение, признаки сходимости и критерий равномерной сходимости формулируются дли несобственных интегралов вида / ((х;о) с~х. (1) а Соответствующие утверждения аналогично формулируются для других типов несобственных интегралов. Интеграл (1), сходящийся для каждого о Е Е, называют равномерна сходящимся на множестве Е, если для каждого е > О существует такое число б„что для всех о Е Е и для всех б > б. выполняется неравенство д Ц. Равномерная ехедиместь несобственных иятегралее 335 зпр 1 Х(х, о) дх — > О при ~ — ~ +ос. вен [4) 2.
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости интеграла. Если на промежутке [а;+ж) существует функция дг[х) такая, что [Х[х; о)[ < ье[х) для всех х Е [а;+ос) и для всех о Е Е, и если з-я интеграл / ьг[х) дт, сходится, то интеграл [1) сходится абсолютно и а равнолгерно на множество Е. 3. Признак Дирихле равномерной сходимости интеграла.
Интеграл -~-ее з[ Х(х; о)д[х: о) дх а сходится равномерно по о па множестве Е, если при каждом фиксированном о Е Е функции Х, д, д', непрерывны по х на множестве [а, +со) и удовлетворяют следующим условиям: 1) д(х;о) ь О при х — ~ +со равномерно относительно о Е Е; 2) функция д,'[х; о) для каждого фиксированного а е Е не меняет знака при изменении х на промежутке [а; +ею); 3) функция Х для каждого о Е Е имеет ограничсьшую первообразную, т. е, существует число ЛХ > О такое, что ~ / Х[йи) д1 < ЛХ а для всех х Е [а; +оо) и для всех о Е Е.
4. Критерий Коши равномерной сходимости интеграла. Интеграл (1) сходится равномерно на множестве Е тогда и только тогда, когда выполняется условие Боши: для любого е > О существует число д, Е [а;+ос) такое, что для любых ~' е [бе;+со), се Е [Л,;+ос) и для всех о Е Е выполняется неравенство / Х[хго) дх < е. Если условие Коши не выполняется, т. е.
существует число ве > О такое, что для любого б е [а;+со) найдутся числа оз б е, сз и сз', где (3 > б, сзе > д, такие, что то интеграл [1), сходящийся для каждого о Е Е, сходится неравномерно на множестве Е. Интеграл (1) сходится равномерно на множестве Е тогда и только тогда, когда выполняется условие -~-СЮ ЗЗЕ Гл. б'. Интегр лы, зависящие от параметра.
Интеграл Фурье ~о б / 1 (х; аб) 4х > во, (5) 4бе то интеграл (1) не является равномерно сходящимся на множестве Е. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ -Ьос Пример 1. Доказать, что интеграл ( е ос(Ф1 о а) сходится равномерно на множестве Е = [Ь;+ос), где Ь > 0; б) сходится неравномерно на множестве Е, = (О;+со). й а) Пусть Е>0, а>Ь>0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
