1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Пусть а и Ь . постоянные векторы., г=1г+зи+1сз, т=~с~. Найти дади, если: 1) и = т: 2) и = г-'; 3) и = 1сст; 4) и =!и т; 5) и = (а,г); 6) и = (а, Ь, г); 7) и = (а, г)(Ь, г); 8) и = йа, г) ~-'. 16. Доказать, что 8гади(Ы) перпендикулярен поверхности уровня поля и, проходящей через точку ЛХ. 17. Пусть и непрерывно дифференцируемое поле, ио = и(Иа), 'Сси(Ма) ф О; 1о поРмаль в точке Мо к повеРхности УРовнЯ и = иа. 1) Доказать, что существуют такие окрестность точки ЛХо и число ео > О, что при всех е, Ц < ео, в этой окрестности есть только одна точка пересечения ЛХ = ЛХ(е) нормали 1о с поверхностью уровня и = = ио+е; 2) найти длину отрезка ЛХЛХо с точностью до о(е) при е -+ О. 18. Пусть гг и гз радиус-векторы двух фиксированных точек, г = 1 и -Ь 3 д + 1с з, )г — г.) = 1=1,2, и = (г — гс)+ (г — г>!. Доказать, что йтади в точке с радиус-вектором г составляет равные утлы с векторами г — гг и г — гю Объяснить, используя это, оптическое свойство эллипсоида.
19. Пусть функция Х(т) дифференцируема, г =1г+Лу+ 1се, т = = )г!. Доказать, что ~7лл(т) = Х'(т)— 20* ЗОЗ Хл. л. Кратные, краволинейнь)е и поверхносгпные интегралы 20. Пусть вектор-функции а(г) и Ь(г) дифференцируемы, г = = 1х+)у+ 1с г, г = ~г~. Доказать, что: 1) тг)а(г),г) = аЯ + (а'1г),г) —; 2) т)(а)т),Ь(г)) = Яа',Ь) -ь (а, Ь')) —. 21.
Выразить ягао и) 1) в цилиндрических координатах и, ь), г; 2) в сферических координатах т, )р, у), используя соответствующие орты е„, еи, е, и е„, его ео, касательные к координатным линиям. 22. Проверить, что вектор ягао и не зависит от выбора декартовой системы координат. 23. Доказать, что для дважды дифференцируемых полей иии гл)ии) = 17~(ии) = и т)зи + 21 в и, 7 ц) + и тг~и. 24.
Найти производную поля а по направлению единичного век= ) : г; з), = '*'ь Ф ь *', = )*:и *): 1) и = )", 2) и = 1)~-, 3) и = (а, г), а = сопз1; 4) и = Дг). 25. Найти производную поля и = хт,)аз+ уз))ба + хз/сз в точке ЛХ(х;уье) по направлению радиус-вектора этой точки.
26. Пусть и и о дифференцируемые поля. Найти производную поля и по направлению вектора ягас) ш 27. По какой кривой следует двигаться из точки ЛХо(хо;уо'го), чтобы поле и = хз/2+ уз — зз имело наибыстрейшее убывание, если: а) ЛХо(1;1;О):. б) ЛХо(1;1'1)? 28. Найти линии наибыстрейшего изменения плоских полей: 1) и = хг — у"; 2) и = ху: 3) и = хз))2+ уз; 4) и = уз/х. 29. Найти линии наибыстрейшего изменения трехмерных полей: 1) и=хз+2уз+ха. 2) и=ха+уз+гз. 3) ц=хуг 30. Пусть в звездной *) относительно точки А области й задано гладкое поле и н ~~)и~ ( с. Доказать, что длн любой точки В С 11 )и(В) — ц®~ < с) — л1(, где ~ — А~ —.- расстояние между А и В. Для выпуклой области до- казать справедливость этого неравенства для любых А и В из Й.
Найти векторные линии поля а (31,32). 31. 1) а = х1+ г1с: 2) а = зд — д1с; 3) а = 2х1+ у3; 4) а = х1 — уЗ; 5) а = хе с+ дз3 *) Область называют звездпой отиоситеаьно точки А, если лли любой точки В этой области отрезок .4В принадлежит области. ЗХз. Скалярные а аантаарныа наля зоо 32. 1) а = г = 1х+ )у+ 1сз; 2) а = аз1+ аз)+ аз 1с = совзз; 3) а = /(т)г, г = 1х+ 1у+ 1сз, т = (г); 4) а = (с,г), с = сопзс, г = 1х+ )у+ 1сз; 5) а = (Ь,г)с, Ь и с --- постоянные векторы, г = 1х+)у + 1сз; 6) а = (з — у) 1+ (х — з) 1+ (у — х) 1с; 7) а = х1+ 2уд + з 1с. 33.
Найти векторную линию поля а, проходящую через точку ЛХ, если: 1) а = — у1+ х)+ с1с, с = сопят, ЛХ(1; О; О); 2) а = ха 1 — дз)+ за1с; ЛХ(1/2: — 1/2; 1); 3) а = хз 1 -ь уз) + (хз -ь дз) 1с; ЛХ(1; 1; О) . 34. Найти векторные линии напряженности магнитного поля бесконечного прямолинейного проводника постоннного тока. 35. Для полн а = г найти уравнение векторной трубки, содержащей окружность з = 1, хз + уз = 4.
36. Для поля а = 1/з — 1с/у найти векторную трубку, содержащую крив1 ю у = з, х + (у — Ц + (з — 1) = 1. 37. Проверить указанные равенства в координатной форме, а также записать их и проверить, используя символ ч и правила действия с ним (о, 6 — — числа, и, а, Ъ вЂ” — дифференцируемые скалярное и векторные поля): 1) Йч(гла-ь ДЬ) = ойс а+ Зс1Ь Ь; 2) йч(иа) = (ягас1и,а) + ийча. 38. Полагал г = х1+Хг)+ з1с, т = ~г~, найти йча, если: 1) а = г; 2) а = тг-, 3) а = г/т; 4) а = ( — х1+ у)+ з 1с)/ч/хз + уз; 5) а=(6хзуз — зз+ уз — 5)1+ (4хз+ та+ 2)1+ (ху — Зхзз — 3) 1с 39.
Выразить в координатной форме йч бган и. 40. Найти: 1) 61ч(интас(и); 2) йч(и бган). 41. Найти (г = х1+ 91+ з 1с), т = ~г~): 1) йчягас1тз; 2) йчягас1(1/т); 3) йчсс, с = совзщ 4) йч(Х(т)г), 5) йз нгас) Х(т); 6) сйс (/(т)с), с = соссзс; 7) йч(с, г), с = сопз1; 8) йч(г,(с,г]), с = сопзЫ 42. Решить уравнение (г = х1+ у)+ з1с, т = ~г~): 1) йч(и(т)г) = О; 2) с11чягас1и(т) =О; 3) йч(и(т)г) = Ли(т), Л 7".-3.
43. Найти дивергеццию гравитационного полн нескольких точечных масс. 44. Среда вращается как твердое тело вокруг оси с постоянной угловой скоростью ы. Найти в фиксированный момент времени дивергенцию поля линейных скоростей ч и поля ускорений зч точек среды. ЗГО Гл. 2. Кратные, нриеолинейньге и поаерхноетные интегралы 45. Доказать, что айт а не зависит от выбора декартовой системы координат. 46.
Найти г11иа плоского поля а в полярных координатах. 47. Найти сйча трехмерного поля: 1) в цилиндрических координатах; 2) в сферических координатах. 4г. г ( =~йггг'гл): 1) гйз а(г); 2) йн(и(г)а(г)). 49. Проверить указанные равенства в координатной форме, а также записать и проверить их, используя символ ~7 и правила действия с ним (о, Д . числа, и, а, Ь - дифференцируемые скалярное и векторные поля, с --- постоянный вектор): 1) гот(па+,ЗЪ) = ег гота+ Д сох Ъ; 2) гох(и с) = [йтас1и, с]; 3) тот(и а) = и гоь а + [8гаг1 и, а]; 4) тот [с, а] = с г11и а — (с, 57) а; 5) го1[а, Ь] = а с11г Ь вЂ” Ь сйи а + (Ь, '7) а — (а, ~7) Ь; 6) сНг [а, Ь] = (Ъ, го1 а) — (а, гоФ Ь) . 50. Найти (г = х1+ у3+ гк, г =]г], а и Ь постоянные векторы, и(г) дифференпируемое поле): 1) гоьг; 2) гог(га); 3) гог((г,а)Ь); 4) гог(и(г)а); 5) гог(и(г)г).
51. Вычислить го1а в точке ЛХо, если: 1) а =хугг+(2х+Зу — г)4+(хз+ г)1г; ЛХо(1;3;2); 2) а = У з+ — 1+ — ' 1с; Лхе(;2; — 2). г х у 52. Для любого вектора р векторы [р,а] и а перпендикулярны (если они не нулевые). Верно ли зто для векторов [и, а] и а? 53. Найти угол между гота(ЛХг) и гоГ а(ЛХз), если: 1) а = (хз + у )1+ (уз + зз)Л+ (за+ ха) 1с; ЛХ1 (1; 2; 3), ЛХз (1; 1; — 1); 2) а = гз г+ (хе + уз)3+ хуг1г; М,(1; 2;О), ЛХз(1;12;4). 54. Найти: 1) тот[с,г], с = сопз1; 2) гоь[г, [с,г]], с = сопзФ.
55. Проверить в координатной форме: 1) формулу (14); 2) формулу (15). 56. Равенство гоггога = ягас(г)гаа — ?Ла проверить в координатной форме, а также записать и получить его, используя символ '7 и правила действия с ним. 57. Найти гоб ягас)(1/г). 58. Получить формулы: 1) ~7(и,ис) = (с,~7)1?ги с = сопят; 2) й ( и, и а) = и7 ( и, а) + ( и, а) 7и + [ и и, [~7, .а]] + ( ни, и ) а+ + (а, 7)~7и; у 12. Скалярные и еекп)орные паля зы 3) [)т, [туи, с]] = [с, ту)17и — с ттли.
59. Показать, что: 1) гйт [17тл, х и] = О; 2) векторы а = интас)и и го1 а перпендикулярны. 60. Найти компоненты го1 а плоского поля а в полнрных координатах. 61. Найти компоненты гога трехмерного поля а: 1) в цилиндрических координатах; 2) в сферических координатах. 62 . ° 1 ( (, ) ), ) ), = т ь х ь Р . 63.
Записать Ьи = тйуцгат)и) 1) в цилиндрических координатах; 2) в сферических координатах. 64. Среда вращается как твердое тело вокруг оси с постоянной угловой скоростью и). Пусть у поле линейных скоростей точек в фиксированный момент времени. Найти гогу [воспользоваться цилиндрическими координатами). 65. В простейшем случае система ураннсний Максвелла электромагнитного поля имеет вид — — = [T,Н], — Н вЂ” = [T,Е], [~,Е) = О., [T.,Н) = О. Здесь Е и Н векторные поля электрической и магнитной напряженности, б, )т, с = сопа1 ) О. Полагая все функции достаточно гладкими, доказать, что Е и Н удовлетворяют волновому уравнению — = — ЬЕ, —,, = — ' )зН.
дд ер дгз ер 66. Пусть в области 11 введена ортогональная система криволинейных координат [с)гй С)) л = х%)1; С), р = аФ)1; С), = в[6)1; С) где правые части -- непрерывно дифференцируемые функции. Пусть еб,ео,ес - елиничные оРты этой системы [вектоРы, .касательные к координатным линиям и направленные по возрастанию координат, ех 1 ев, ео ) ес, ес 2 ет) *).
Пусть Нт, Нв, Нт — — коэффициен- и т. д. Доказать, что: ты Лама, т. е. Нл = 1 ди 1 ди 1 ди 1) йгас1и = — — ел + — — ел+ — — ес., [39) нг дб нп дт) нс д( 1 у д(НоНСаг) д[НСНлап) д[НтНппс) у 2) "' Н,Н,,Н, ), дС + дп + дС )'[40) *) Все ортоиормированные базисы исходной и вводимой систем координат пола кительно ориентированы [правые), в частности, якобиан функций, задающих криволинейную систему координат, положителен. 312 Гл. л.
Кратные, нриоолинейньсе и пооерхноетные интегралы Нсес Ноео Нсес д д д дб дп дб Нгос Ноап Нсай 3) го1а = 1 (41) 67. Пользуясь формулами (39) — (41), получить ныражения для йгас1и, с11га, гоФа: 1) в цилиндрических координатах; 2) в сферических координатах. Найти поток полн а через ориентированную нормалью и поверхность Я (г = х1+ дз+ з1с, г = (г~) (68,69). 68. 1) а = а. 1+аоЗ+ае1с, где ал, ао, а, = сопз1, Я .. круг радиуса й, лежаший в плоскости (г.,п) = с1; 2) а = г, Я внешняя сторона конуса ьссха+ уз < е < 16 3) а = г, Н внешняя сторона поверхссости цилиндра хз + д~ < < Л-'., 0 < з < Ь; 4) а = г(гз, Я вЂ” внешняя сторона сферы ха + да + зз = Вз; 5) а = 7'(г)г, Я внешняя сторона сферы х + д + л = Л .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
