1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 50
Текст из файла (страница 50)
20. Вычислить момент инерции однородной [р = ро = сопят ) поверхности: 1) хг + рг = 2аг, г < а, относительно оси Ог; 2) т'/а' + р']аз = «'/6', 0 ( г ( 6, относительно прямой у = О, г = 6. 21. Найти величину силы, с которой однородная поверхность: 1) х = а соя ~р., р = а яш уе, г = г, уг Е [О; 2х], г Е [О, :Н]; 2) х = г соя ь«, р = г 81п ип г = г, уг б [О; 2я], г Е [а; 6], а > О; плотности ре притягивает точку массы т, помещенную в начале координат.
22. Найти величину силы, с которой однородная сфера радиуса Л и плотности р = ро притягивает точку массы т. 23. Определить электрический заряд, распределенный с плот- 41Л Поверхностные интедр ды 299 ностью р = роф по поверхности: 1) хг,сад+ ух,саг — хгсссг = О, ~х~ < с. 2) хг хг уг — аг ~х~ < ад22 24. Найти потенциал в точке Мв(хо,до, .хо) простого слоя (п. 1), распределенного: 1) на сфере хг + уг + хг = Лг с постоянной плотностью ро,. 2) на сфере хг + уг + хг = Л с постоянной плотностью Пс и на сфеРе х- + дг + гг = Л-, с постоннной плотностью Рг, Лс < Лг.
25. Найти в точке (О;0;д) потенциал простого слон, распределенного с плотностью йп 1) ца боковой поверхности цилиндра хг + дг = Лг, 0 ( х ( Н, Р = 1со~ 2) на сфере хг + уг + хг = Хг, р = Под'. Вычислить интегралы (26 — 43). 26. Ц(хг+да)йхйд, Я нижняя сторона круга ха+ дг ( 4, х = О. 27. Ц(2г — х) йуйх+ (х+ 2х) йвйх+ Згйхйу, Я - верхняя сторона треугольника х+ 4д + х = 4, х > О, д > О, х > О. 28. 1) Цхгйхйу; 2) Цухйуйх+ххйхйх+хуйхйу; Я внутренняя сторона поверхности тетраэдра х + у + х < 1, х > О, у>0, х>0.
26. Цсс (х) йд йд +,сг(д) йх йх + Уз(х) йх йу, где )с,,сг,,сг непрерывные функции, Я вЂ”.- внешнян сторона поверхности параллелепипеда 0<х<а, 0<д<Ь, 0<в<с. 30. 1) Цдйхйх; 2) Цхгйдйг; я внешняя сторона сферы хг + уг -~- хг = Л . 31. 1) Ц(хо+ г) йуйх; 2) Цхгугхйхйд; я --- внутренняя сторона полусферы хг+д-+ гг = Лг, -. < О. 32. Цха йуйг+ ггйхйу, я внешняя сторона части сферы х + дг + = Л', х < О, д > О. 33. Цхгйуйг+дгйхйх+хгйхйу, я - внешняя сторона сфе- 'с9 Под ред.
Л.д.кудрявцево, т. 3 лес Гл. х, Кратные, криеолинейные и поверхностные интегралы ры (х — а) +(у — Ь)л+(х — с)е = Вг. 34. Цхгахиу, 5 внутревияя сторона полусферы (х — а)~+ + (у — Ь)е+ хг = Лг, х > О, 35. Ц(х — 1)~йуна, о внешняя сторона полусферы ха+ ух+ + хл = 2х, х < О. 38. Ц Цехах:, 2) Цхауйх; 3) Цх'адах; 4) Ц ', Н -- и внешняя сторона эллипсоида х'/ах + дг/Ьг + хг/се = 1. 37. 1) Цухс1хс1х; 2) Цха дуол+ ресЬс~х; я - - виешияя сторол и иа части эллипсоида хг/аг + уг/Ьа + хг/сг = 1, х > О. 38.
Ц(2хг+ де+ел)дуих, Я - . виешияя сторона боковой поверхиости конуса л~уг+ хе < х < Н. 39. Ц(у — х) йдс1х+ (х — х) е1хг1х+ (х — д) с1хс(у, Я одна из сторон поверхности хи + у = х, 0 < х < Н. 40. Ц уха сЬс йх, 5 внутренняя сторона части цилиндрической поверхности ха + ул = гг, д < О, 0 < х < г.
41. Ддхдхйу+ххс(ддх+худхе(х, Я виешияясторона части циливдра хл+уэ = ге, х <О д > О, О < к < Н. 42. Цхе г1уйх+ д~ йхйх+ хэйхду, я нижняя сторона части эллиптического параболоида х = хе + уг, х < 1. 43. Цхдус)с+ де(хс1х+ хйхду, Я верхвяя старова части гиперболического параболоида х = ха — у~, ~д~ ( х ( а. С помощью теоремы Гаусса — Остроградского вычислить иитегралы (44 — 48). 44. Ц (1 + 2х) с(у е(х + (2х + Зу) с)х с(х + (Зу + 4х) е(х ду, где Я: 1) виешияя сторона поверхности пирамиды х/а+ у/Ь+ х/с < 1, х>0, у>0, х>0:, 2) ввутреиияя сторона поверхности (х — у+ к(+ )у — а+х( + 915 Поверхностные интегр лы 291 +[с — х+у[ = а. 45. О х Йх Йу + [5х + у) Йу сЬ, где о: 1) внешняя сторона полной поверхности конуса хз + уз < хз, 0<с<4; 2) внутренняя сторона зллипсоида хз/4-9 уз/9+ хз = 1; 3) внешняя сторона границы области 1 < тз + уз + хз < 4.
46. ОхзЙуЙх+дзЙхЙх+хзЙхЙу. где о; 1) внутренняя сторона поверхности параллелепипеда 0 < х < а, 0<у(Ь, 0(х(с; 2) внешняя сторона полной поверхности хз/аз + дз/62 < хз/сз, 0 < < а < с [конус). 47. О хеЙуЙх+д'1сЬЙх+ хзЙтЙу, где ЬЬ 1) внешняя сторона поверхности тетраздра х+ у+ х < а, х > О, д>0., х>0; 2) внутренняя сторона сферы хз+ уз+ хз = Лз. 4В. Ох Йдйх+ у'Й: Йх+" ЙхЙд, где ~: л 1) сфера хз+ уз+ хз = Л~; 2) внешняя сторона полной поверхности полушара хх+ уз+ хз < <Яз, л>0. 49.
Доказать для объема И тела, ограниченного гладкой поверхностью Я, формулу — х Йу Йх + у Йх Йх + х Йх Йу . в 50. Используя формулу из задачи 49, найти объем тела, ограниченного: 1) поверхностью х = и соло, у = из1по, - = — и+ а соль [и > О, а > 0) и плоскостян|и х = О, х = 0; 2) поверхность ю х = [6 + а сов и) сов о, у = [Ь + а соз и) яп о, =паши, 6>а>0; 3) поверхностью х = асози созе+ Ьз1пияпо, у = асоаизшо— — Ьешнсозо, х = саши и плоскостями х = с, х = — с.
Вычислить интегралы [51 — 55). 51. ОхЙуЙх+уЙхЙх+хЙхЙу, где о внешняя сторона поверхности, образованной вращением закрут оси х кривой: 1) у = 2 — [х — 1[, х Е [О: 2[; 2) х = 1 + яп х, х Е [О; л[. 19* 292 Гл. 2. Кратные, нриеолинейные и поаерхностные интегралы 52. Ц хз ау ах + уа Дг Дх + ха Дх Ду, где Я: 1) нижняя сторона полусферы хз + уг + -г = Лз., х > О; 2) верхняя сторона части поверхности параболоида хг + уз + + 2ах = аз, х > О; 3) нижняя сторона части конической поверхности хз + уз = гз, О «- Н.
53. Ц (гз — уз) г1у йг + (хз — хз) йх г1х + (уг — хз) йх йу я верхняя сторона полусферы ха+ у + гз = Лз, х > О. 54. Цхзу Ду г)х + хуа г12 г(х + хух г1х е(у, Я нижняя сторона части сферы хо+ уз+ хз = Лз, х > О, у > О, г > О. 55.
Цхзуг1уг1з — хуз йг йх Ч- (хе+ уз)хйхг1У Н' внешняя сторона части цилиндрической поверхности хг Ч- у = Лз, О ( г < Н. 56. Доказать, что если Н замкнутая гладкан поверхность, п ее внешняя нормаль, 1 некоторый постоянный вектор, то Ц соз(1, и) г1Н = О. 57. Пусть С б Яз ограниченная область с гладкой границей Я, и --. внешняя нормаль к Я, г = (с — х)1+ М У)З+ (Ы вЂ” г)1с. 1) доказать формулу Ц"'('")"'='1Ц 2) вычислить интеграл 1'аусса 1(х,у;з) = Ц,' МБ, (х;у;х) ф Я. 58. Доказать, что если С Е Лз ограпиченнан область с гладкой границей Я, п внешняя нормаль Я, и(х: у; х) и о(х; у; х) дважды непрерывно дифференцируемые в С функции, то ди ди Я ~ц ~," Ьйудг= Ц дп дп К с н 59.
Доказать, что если и(х; у; х) гармоническая функция в ограниченной замкнутой области С с гладкой границей Я, п--- внешняя нормаль к Я, г = (с — х)1+ (г1 — у)3+ (ь — х) 1с, то 9П. Поверхностные интегр лы 299 60. Доказать, что если и(х; у; з) функция, гармоническая внутри сферы 5 радиуса Л с центром в точке (хо;уо;зо), то н(хо', Уо, 'зо) = —, Ц п(х; У; з) с1Л. 1 Используя формулу Стокса, вычислить интегралы (61 — 68). е е 61. / (х + з) дх + (х — у) Ду + х сЬ, Е -- эллипс —, + —,, = 1, з = = с, ориентированный отрицательно относительно вектора (О; 0:, 1) . 62.
(' Уз с1х+ зз ду+ хз сЬ, 1, граница треугольника с вершит нами в точках (а;0;0), (О;а;0), (О;0;а), ориентированная положительно относительно вектора (О;1;0). 63. 1) / у с1х + з ду + х сЬ; г хну — удх , 2 з 2 2 2) ~ „', +зсЬ; где А окружность хе+уз+си = Лз, :се+ уе х+ у+ в = О, ориентированная положительно относительно вектора (О;0;1). 64. / (Уз — з~) дх+ (зз — хз) сРУ+ (хз — уз) сиз, А кривая перес сечения поверхности куба ~х~ < и, ~у~ < о, ф < а плоскостью х+ + у + з = За/2, ориентированная положительно относительно вектора (1;0;0). 65.
/ (у — з) с1х + (з — х) ду + (х — у) дз, где: ь 1) Ь окружность хе+уз+за = Лз, у = хс89о, ус Е (О;з), ориентированная полоекительно относительно вектора (1; 0; 0); 2) Л эллипс хз + уз = а-', х/а+ з/с = 1, а > О, с > О, ориентированный отрицательно относительно вектора (1,0:0). 66.
/Удх — зДУ+ хе(з, Л кривая ха + уз+ 2зз = 2аз, у — х ь = О, ориентированнан положительно относительно вектора (1; 0, :0). 67. (' (у + з ) дх+ (е' + х ) с~у+ (т,' + у' ) Йз, Г -- кривая хз + ь + уз + зз = 2ах, хз + уз = 2ох, з > О, 0 < о < а, ориентированная положительно относительно вектора (О; 0; 1). / зИ + з,16+уз,1 Л кри „2 з уз+ . з +у ь = О, ориентированная положительно относительно вектора (1; 0; 0), 294 Гл. 2.
Кратные, нриеелинейные и лееерхноетные интегралы Вычислить интегралы (69.72)., если кривая Г ориентирована в направлении возрастания параметра и 69. /хггх+(х+д)Игу+(х+ у+у)глз, 7 кривая х = ас4пг, у = асоз1, з = а(с4пз+ созз), 1 Е (О; 2гг). 70. /дзхзагх+хзззг2у+хзузсЬ., А .-- кривая х = асозз, у = = асоз2г, з = асоз31, С Е [О; 2гг).
71. ( (у+с)гХх+(з+х)г7у+(х-уд)гЬ, Ь кривая х=ас4п 1, у = а с4п 21, х = а созз 1, 1 Е [О; гг). 72. / (хз — уз) й:е+ (уз — зх)г1д+ (зз — хд) гЬ, А кривая х = = асозз, д = ас4п1, з = Ьз](2гг), З Е [О;2гг]. ОТВЕТЫ 1. 1) 7ъ 211,гЗ; 2) я. 2. 1) 8ггВ" ггЗ: 2) я(1+ ъг2)г2. 3. 1) 4лЛз; 2) 40а 3) 2ъгЗал; 4) пг(го + 2гзН-ь гНз -~-2НлггЗ) 4 (ъ'3 — 1)(1п2+ ъгЗгг2). 5.
Ц 0; 2) (125ъг5 — 1)гг420 6. 1) -7ъ2: 2) 2 Л,гЗ. 7. 1) 64ъГ2,г15; 2) 29-ъ278. 4 /1 1 1Ъ 8. 1) — табе( — + — + — ): 2) 4ггабс; 3) 4н. 3 а'- оз се 9. ™ (]а — Л]з "— ]а+В]з и) пф2; — 1п], а=2, а(п — 2) ' ' а ~а — Л если а д': 0: 4нЛз ", если а = О. 10. (лзшасозз а)г2. 11. нз(ъг2-~-1гг(1+ ъг2)).
12. гг(аз — 3)згг18, если ]а] < ъгЗ; О, если ]а] ) ъ'3 13. гг(8 — 5~2)В~гг6. 15 1) Зроазгг4; 2) а) розгзЛз' б) 8ролВ~/3' 3) 2 г(1+ бъ'3)рогг15' 4) 8(1+ ъ 2)рогг15. 16 1) ъГЗроаз(6 2) яроЛз 17 1) Вгг2; 2) 4В,гЗл: 3) ЗВгг8. 4) (О О 307 — 15ъго5) ) (О 2(2ь2 — 1) и) 310 Зп(ъг2 -Ь 1п(1 -Ь ъг2)) ' 2 19 1) роЛ(12; 2) Г у = ггрот7гЧ(4, 1у, = Гл = хрогз1(4, где 1 = Я +1гз 412. Скалярные и еектперные поля 295 22.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
