1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 47
Текст из файла (страница 47)
83. Пусть во длина витка кривой х = е ь' совС, у = г ы в1пС, з = е ьг, 2яга < С < 2я(п + 1)С, и 6 л. Найти отношение зонг .,ч„. 84. Используя таблицы, найти с погрешностью не более чем 0,1 длину дуги кривой хз + уз + гз = 1, дг + гз = д. 85. Найти мгассу, .распределенную с линейной плотностью р(х;у) по дуге АВ плоской кривой Г, если: 1) Г отрезок АВ, А(1; 1), В(2; 3): р(х; у) = 2х + у: 2) Г . отрезок АВ, А(1; 0), В(4; 6):, р(х; у) = тггу + 2,Гх; 3) Г: у = хз,г2, А(1; 1, 5), В(2; 2); р(х; у) = угх, 4) Г: дз = х, А(1; Ц, В(4;2), р(х;д) = у; 5) Г: у = 2хзгзггЗ, А(0;0), В(4;16ггЗ); р= йв, где я длина дуги от точки (О;0).
86. Найти массУ всей кРивой У = ас1г(хгга), х Е Я, с линейной плотностью р = 1Гд~. 410. Криволинейные интегралы 271 87. Найти массу, распределенную с линейной плотностью р по плоской кривой Г: 1) Г: г = а,,/сов2Гр; р = Иг; 2) Г: г = а(1 + сояуз); р = Ьф", 3) Г: х = а(à — вшт), у = а(1 — сояв), 0 (1( 276 р = дз/~; 4) Г: х = а сояз 1, у = а яш 1, 0 ( 1 ( л/2; р = з/у;. 5) Г: х = 1п(1+ 12), у = 2 агс181 — 1, 0 < 1 < 1; р = уе ", 6) Г: хг/аз+ уг/Ьг = 1, х > О. у > 0; а > Ь; р = у; 7) 1 ., з/з + 27з 27з. 8) Г: хз+уз =ах; р= /хг+дз.
88. Найти массу, распределенную с линейной плотностью р по пространственной кривой Г: 1) Г:х=сояВ, у=язп1, г=1, 0<1<2л; р=(х +у +г) 2) Г: х = а1., у = а12/2, г = ав~/3, О ( 1 ( 1; р = „/2д/а; Е) Е:*=1 Е Г=Ь' ~, *=~, ЕГЬГЬ; Р=~~~'~*', 4) Г; х=ае сов|, у=ае'я1пя, г=ае', — ос<1<0; р=йг; 5) Г дуга кривой у = хз/н/2, г = хз/3 с началом А(0;0;0) и концом В(4;8н/2;64/3); р = й~х~+ уг: 6) Г дуга кривой дг — 4хг = Згз, дз = х, г > О, с началом А(0;0;0) и концом В(1/4;1/2;0); р = г; 7) Г = (хз + уг + гз = а'-', х + у + г = а), р = хг.
89. Найти координаты центра масс, распределенных по плоской кривой Г с линейной плотностью р = 1: 1) Г: у = а с11 (х/а), ~х~ < а; 2) Г: х = а(1 — я1пв), у = а(1 — савв), 0 < 1 < 271; 3) Г дуга окружности г = В., ~Ве~ ( яео ( я; 4) Г кардиоида г = а(1 + соя ф; 5) Г: х 1 + у 1 = а 1з, у > 0; 6) Г: 1/х+ /у =,/а; 7) 1. дг з.г/3+хз х > 0 90. Найти координаты центра масс, распределенных с линейной плотностью р по дуге винтовой линии х = Всовее, у = Ляшр, = Ь р/2л, 0 ( ве ( нее; если: 1) р = ро = сепжгл 2) р = рос '/ь, считать ро = 2лп, и Е 7у. 91. Найти координаты центра масс однородной кривой х = е 'сов1, г=е ', 0<1<ос.
у=с сйп1, 92. 11айти координаты центра масс однородного края поверхност и т/х + /д + .„Ег = . /а. 93. Пусть кусочно гладкая кривая Г является объединением глади ких кривых Гн Г = О Гб с массами ш, и радиус-векторами центров г=1 272 Гл. 2. Кратные, нриеолинейные и поеерхноотные интегралы масс гы з = 1, ...,и. Пусть т - масса Г, го - . центр масс Г. Доказать, что о Гс = ~ — гс.
(35) гп г=1 94. Найти момент инерции 1, окружности хз+ уз = Лз; р = 1. 95. Найти момент инерции 1и окружности хг + уг = 2Лх, р = 1. 96. Найти моменты инерции 1, и 1и одной арки циклоиды х = глСС+ япС), у = аС1 — соей), )С! < -г, р = 1. 97. Найти моменты инерции 1„1и, 1л одного витка винтовой линии х=асозС, у=аяпС, г=ИС2л, 0(С(2л; р=1.
98. Найти момент инерции 1, окружности хз + уз + зз = Лз, х -~- +у+а=О; р=1. 99. Найти полярный момент инерции 1о = С (хо+ уз) гСе плоской г однородной кривой Г Ср = 1) относительно начала координат, если; 1) Г: ~х~+ ~у~ = а: 2) Г: хзСз+узСз = азС', 3) Г: х = а1соз С+ Сзьц С), у = а1япС вЂ” С сов С), 0 < С < 2гг. 100. Пусть С ограниченная плоская область с кусочно гладкой границей дС, ориентированной так, что область С находится Слокально) слева от касательного к дС вектора. Доказать, что площадь СгС можно вычислять по любой из формул Я = ~ хгСу = — ~ дагх = — ~ хгСу — угСх.
(36) 1 да да да 101. Найти площадь области, ограниченной плоскими кривыми: 1) уз=4 — х, х=4, у=1; 2) у=2х'-, х — у+1=0; 3) у=1 — хз, х — д — 1=0: 4) х=Сз, у=Се, х=1; 5) х = асозС, у = 6япС; 6) х = 12яп С, у = Зсозз С,: 7) х = а яп 2Зо со аз Зо, у = а сов 2,р сов з р., ~ гр ~ ( л гг2. х у х у згг3 — 1 102. Найти площадь области —,, + —, < 1, — — — < о.'-' 6г ' а 6 2 103. Найти площадь области, ограниченной кривыми: 1) (у — х)г + хз = 1; 2) (х+ у)з = ах, у = О. 3) уз = х' — хл; 4) Оуз = 4хз — хл; 5) Схз+уз)з = азСхз — уз), х > 0; б) 1хз+ уз)з = 2ах'; 7),з+ з= р+ г, =0 104. Найти площадь области, ограниченной петлей кривой; 1) х = ЗСгг(1+ Сз), у = ЗСзсг11+ Сз); 2) х = асоаЗо, у = аяп2иг.
х ) 0; 3) (зСх+ т/у)сз =ху. 410. Криволинейные интегролвг 27З 105. Пусть С . ограниченная область в полуплоскости у > 0 с кусочно гладкой границей дС, ориентированной так, что область С расположена (локально) слева от касательного вектора. Пусть й тело, образованное вращением области С вокруг оси Ох. Доказать, что объем 7гй можно вычислять по любой из формул УП= — ~ у24.=-2 ~ УАУ= — — Х2 УАу+У24. (37) 2 д да да дед 106. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Ох области, ограниченной кривыми: 1) у= яЬх, х=О>0, У=О; 2) у = 2 — яп х, 0 < х < 2гт, .у = О, х = О, .х = 2эт; 3) уд — хд = 1, ~х~ = 1; 4) х = а сояд 1, у = а япч 1: 5) х = яп 21, у = яш Г, 0 < 1 < 2х. 107*). Найти работу поля Р = (Ро, 0), Ро = сопя1, вдоль дуги параболы уд = 1 — х от точки (1; 0) до точки (О; 1).
108. Найти работу полн Р = (Ео, 0), Ро — — сопя1, вдоль дуги астроиды х27я+ удгз =аггя, х ) О, д) О, от точки (а;0) до точки (О;а). 109. Найти работу поля Р = (ху;х+ у) вдоль дуги АВ кривой Г, где А(0;0), В(1; 1), если: 1) Г: у=х; 2) Г: у=хд.
110. Найти работу поля Р = (4х — 5У; 2х + у) вдоль дуги АВ кривой Г, где А(1; — 9), В(3: — 3), если: 1) Г ломапан ЛРВ, где Р(1; — 3); 2) Г ломаная Аь7В, где О(3,— 9); 3) à — отрезок ЛВ. 111. Найти работу поля Р вдоль дуги ЛВ кривой Г, если 1) Р = (2ху; — у); Г: у = хд — 1, А(1;0), В(2;3); 2) Р = (3хдд; — х — у); Г: уз = х+ 1, Л(0. 1) В(3 2) 3) Р = ( — у;х); Г: х = а(1 — яш1), у = а(1 — соя|), .4(0:0), В(2па; 0); 4) Р = (у; — 2х); Г; хд + дд = 1, у > О, А(1, :0), .В( — 1; 0);.
5) Р = (О; 2т):, Г: х = асоя1, у = 5я1пт., у > О, А(а; 0), В( — а; 0). 112. Найти работу полн Е = ( — д;х): 1) от точки А(1; 0) до точки В( — 1; 0); а) вдоль ломаной АМТВ, где ЛХ(1; 1); гу'( — 1;1); б) вдоль верхней полуокружности х- + уз = 1: в) вдоль ломаной ЛРВ, где Р(0;1); 2) от точки (хо — Вл уо) до точки (хо + В; уо) вдоль: а) верхней полуокружности (х — хо) + (д — Уо) = В, У ) Уо; б) нижней полуокружности (х — хо) + (у — уо) = В у < Уо. *) Задачи но этой теме включены также в 112. 18 Под ред. Л.Д.Кудравиена, т.я 274 Гл. 2.
Кратные, нриоолинейноге и поеерхноетные интегралы 113. Найти работу поля Р = — рг/гз, г = (х; д), г = ~г~, р = совет; 1) вдоль дуги АВ параболы д = хз — 1, где А(ем дг), В(хо; да); 2) вдоль дуги АВ гладкой кривой Г., не проходяшей через начало координат, где А(хмд,), В(хг;да). 1 114. Найти работу поля Г = —, ( — д;х), ги = х-+д", вдоль дутг ги АВ кривой Г, где А(1: 0), В(0; 1), если: 1) Г . — ломаная АВВ, где Р(1;1); 2) Г четверть окружности ха+ да = 1, х > О, д > 0; 3) Г четверть астроиды ха/з + да/з = 1, х > О, д > О.
1 115. Найти работу поля Р = —, ( — д; х), гг = ха + дз, вдоль ориентированной против часовой стрелки окружности: 1) з+дг 1. 2) (. 2)а+уз 116. Найти работу поля Р = Лг, г = х1 + дй+ ек, вдоль дуги ОМ кривой Г, где О(0;0,0), М(:ео;до',ео), если: 1) Г -- нинтовая линия х = ое'соз1, .д = ае'гйп1, е = ае', 2) Г отрезок ОМ. 117. Найти работу поля Р вдоль контура Г, если: 1) Р = (уе;гх;хд); Г ломаная АВСВ с вершинами А(1:1;1), В(2; 1, 1), С(2; 3; 1), В(2; 3; 4); 2) Р = (х + г; х; — д); Г . замкнутая ломаная АВСА с вершинами А(1;0;0), В(0;1;0), С(0;0;1); 3) Р = (хд; де, хг), Г замкнутая ломаная,4ВСВ.4 с вершинами .4(1; 1; — 1), В( — 1; 1; 1), С( — 1; — 1; — 1), В(1; — 1; 1); 4) Р = (хг/д,д/х,:созе); à —.- ниток винтовой линии х = асоз1, д = аз1п1, е = Ы от точки (а;0;0) до точки (О;0;2яЬ); 5) Р = (д; — е,х); Г кривая хе+ да+ 2га = 2а-', д = х, ориентированная против часовой стрелки со стороны оси Ох; 6) Р = (2хд;д-'; — ха); à †- дуга кривой х' + дг — 2ей = 2аг, .д = х, от точки А(а;а;О) до точки В(пл/2:ат/2;а); 7) Р = (л;х;д); Г окружность хз -ь да + за =Л-', х+ д+ о=В, ориентированная против часовой стрелки со стороны оси Ож 118.
Найти работу поля центральных сил Р = /(г)г, где г = х1 + + дй + е1», г = ~г~, /(г) непрерывная при г > 0 функция, вдоль гладкого контура Г с началом А(хмд1,.ее) и концом В(ха;дои ее), це содержащего начала координат. 119. Доказать, исходя из закона взаимодействия точечных масс, что материальная кривая Г с линейной плотностью рф 0: () притягивает массу т, находящуюся в точке М(х; д; г), с силой Р = Ьт / р(Р;й;ь) йх, Х = йефц;().
(38) г 410. Криволинейные интегралы 275 д= ~'Руди+" оду, 1 Х Л (39) г гДе си = сопзг, с„= с„+ Х. КРивУю, заДаваемУю УРавнепием Ро' = = сопзь, гДе 7 = ср/се, называют адиабатой (а пРоЦосс изменениЯ состонния вдоль этой кривой .. адиабатииеским). 1) Найти тепло, получаемое газом в изотермическом процессе, т. е. вдоль кривой ро = ХТ = сопаь, при переходе из состояния (ум о7) в состояние (р2, и2) ° 2) Доказать, что в адиабатическом процессе газ не получает и не отдает тепло. 3) Пусть рот = Сы ро ' = С2 две адиабаты, Г(Т) отсекаемый ими отрезок изотермы ро = ХТ, Я(Т) количество тепла, получаемое газом на Г(Т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
