1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Найти эту силу. 95. Считая Землю жидким шаром со средней плотностью ро и радиусом В, найти давление в нем как функцию расстопнин г до центра. 96. Тонкая пластинка имеет форму кругового кольца с центром в точке О(0; О) и радиусами В1 и Вш В1 < Вз. Удельная теплоемкость пластинки равна с = ~хр~, плотность ро постоянна. Найти количество тепла, полученного пластинкой при ее нагревании от температуры Т, до температуры Т>. 97. На тонкой пластинке, имеющей форму параболического сегмента с основанием 2о и высотой Ьн распределен электрический заряд с поверхностной плотностью о = 2х+ у. Найти полный зарнд пластинки.
99. Приложения кратных интегралов 251 Материальная пластина закреплена на оси 1 и врашаетсп вокруг нее с постопнной угловой скоростью иг. Вак следует расположить ось 1, чтобы силы инерции (центробежные силы) не оказывали на нее никакого действия? 101.
Пусть С - тонкая однородная треугольная пластина массы ЛХ с катетами а и Ь, врашаюшапсп вокруг оси Ох, содержашей катет Ь. В какой точке следует поместить точечную массу и какой величины, чтобы, присоединив ее к пластинке, устранить реакции в точках закрепления оси вращении? ОТВЕТЫ 4. 1) 8/3, 2) 16х/15/3; 3) 2(р+ 9) /рц/3; 4) (6тг+ 8)/3; 5) (6л — 16)/3; 6) Зх/3/4; 7) (тг+ бх/3)/24; 8) аз/3; 9) лаз. ц 25+51 н Ь 25 2) Ь 0 Ь. а ' в' 2' 6. 1) (я+ 2)(Ьз — а')/4; 2) (Зх/3 — п)аз/3: 3) Зт/Заз/4; 4) аЬ+ (аз — Ьз) агст8(а/Ь): 5) Зпаз/4; 6) газ/4; 7) 5 таз/16. 7.
1) Зл/2; 2) (9тг+ 12х/3)/4. 8. 1) лаЬ; 2) —,; 3) ™ ( —, + —,); 4) — „; 5) 6) аЬ/70; 7) лаз/2; 8) аз/6. 9. 1) 25, 2) (р о)(Ь а ); 3) 21 ' 2(о + 1)(6 -ь 1) 2 Р 4) - (Ьз — ах)(9з - рз); 5) - (Ь вЂ” а)(д - р):, 6) - (Ь вЂ” а') 1п — ; 3 р' 7) — (Ь вЂ” аз)( — — — ); 8) — аЬ; 15 (,рт чт )1 84 9) — (Ьз — аз) ( ахс18 2 — — + — ) .
16 4 25/ 10. тг/(г1). 11. ((Ьг — Ьг)( з1т 2аз — зй 2аг) — (аз — ат)(з1п 2Ьз — з1п 2Ь,))/4. 12. 1) л; 2) 2тг: 3) Зпа~/32; 4) 88/105: 5) аз/12; 6) 2тгЛза; 7) аЬс/3; 8) а~/24; 9) 32л/3. 13. 1) 2(Зл — 4)аз/3; 2) 7/24; 3) 8(аЬ)згх/3; 4) 2оЬс/27; 5) тг/8; 6) "г/32; 7) 16аЬз/3; 8) 4(2 — з/2)аз/3: 9) ласз/2. 14 Ц тг/8 2) 45л/32. 3) я(1 — е ') 4) я(2 — х/2)аз/3 5) 16аз/9; (бк ж 40 — 32нг2)аз 2(П вЂ” о)(тг — 2) з Зтга 9 Зтг(а -ь Ь) 8 15. 1) таЬ/4, 2) азЬЬ/(8с); 3) 4а"Ьс/(9рз): 4) лзаЬс/2; 5) 5(3 — х/55)яаЬс/12: 6) ЗлаЬс/2;Г2; 7) 81лаЬс/32.
16. 1) 8я(2+ зГ2)/3; 2) лаз; 3) лаз/3: 4) пхаз/442, 5) аз/360; 252 Гл. 2. Кратные, нриеолинейньге и ноеерхностные интегралы 6) тгаз/60; 7) ааааа/6; 8) 2наз/От/3. 17. 1) тгаабс//Зр); 2) тгоабс/4; 3) 513 — т/5)тгабс/12; 4) 8тгабс/5; 5) алЬлс /1360р~).
18. 1) иазЬз/112сз); 2) аЬс/3; 3) т/24; 4) 116 — Зтг)аЬс/48; 5) 8/35; нибс (а + Ь) (а," б' ) 7) набс рй (а) 8) 75иаЬс 9) 213н + 20 — 16тГ2)або/9. або / а б 'т / а ) г ибо рабе -~- 4р) обе 4нибс 60 т,р 9/ т,р/ ' 60 тс+р)т ' 90 ' 35 8) ааЬс/2, 9) аЬс/1680. 7и Г б т 9 5 14 49а 9а 20. 1) —; 2) (1п — ) 1п —; 3) —; 4) — 1пЗ; 5) —; 6) 7) (22( — ) — н( — )) = г/ — г ( — ), еь ции Е и К см, в задаче 27, 8 13; 8) бабе(1/е — 1/3).
21. 8г/тгбзг/зДЬ~. 22. 4н/13)Ь~). 23. 2иг//~1а~. 25. 1) 4тгНзН/3; 2) ийзН/3. 27. 2тгаз12 — т/2). 28. 2(т/2 — 1)на /3. 29. 16а~. 30. тг(5т/5 5— Ц/24. 31. 8и' атсегп/Ь/а). 32. 15+ ЗтГ21п(т/2+ 1))/6. 33. ать/4. 34. 8аз. 35. 4аз. 36. 2тг. 37. тгъ'2. 38. тгаз/т/2. 39. 2тг12т/2 — 1)/3. 40. 4аз. 41.
120 — Зн)/9. 42. 21н+ 4 — 4т/2)а". 43. — (2т/2 — 1)абатст8. / —. 3 'т' Ь 44. — н(2т/2 — 1)аЬ. 45. —. 46. 2аз. 3 12 47. — 1т/2 — 1)аз. 48. 4нзт/2/3. 49. — 1п(е -~- е '). 2 2 50. гт9тз — грт)тгя1п'гра — в4птбг)Лз. 51. 4тааб.
56 1) 2Ро', 2) хс = дс = и/4; 3) 1,, = 1„„= (но/4+ т — 4)Ро,' 4) (на/4 — 2)ро. 32 з б 57. 1) — а ро; 2) хс = — а, ус = О; 512 а 1024 о 1376 25 ' оо 17 ' 157 58. 1) аз/3; 2) хс = За/4, ус = 5а/8; 3) У,л = Зао/20, Уии —— ао/5; 4) 19ао/960. 8и а 2сЗпа 60.1) хс= —, дс= — —; 2) хс= а, ус=О; 5' 2' ' За 81а 27а 5и 10т6+1п4) ™~ 4(6+1п4) ' ' ' ' ' 6 ' 5) хс = усг = 4.та/9ъ 3, 6) хс' = 0; ус = 7а/б; 7) хс = ус = а/5.
61. 7тг/96. 62. 1) хс = О, ус = ЗЬ/7, тс = 26/7; 2) хс = 4/3: дс = лс = О. 99. Приложения кратных интегралов 63. Ц хс = ус = хс = За/О; 2) хс = 8Лтг(Злх), ус = хс = 0; 3) хс = хс = О, ус = 105Л/124:, 4) хс = ус = 0 хс = 5бгтб; 5) хс=ус=О; хс=4ЬЕ7; 6) хс=уг =О, хс=йтгЗ;. 4(5а'+ Зб') 7) хс=ус=О хс=, е Ь' 15(2ае л; бе) б4ггг2 4 8) хс= —,, ус=О, хс=— 35л '' ' Згг 64 ' 65 4 л Ь ле Ьв а сро. 66. Ц 1„= а" (2сг — о|п2гг)т8, 1„„= а"(2и+ о1п2а)т8, 1о = статтт2; 2) 1 = 1„„= ал(1 5л,т16)~ 1о = ил(2 огл(8) — Ь) 3 13) 12 ' "" 12 ' 12 4) 1, = 1ии — — Злил/128, 1о = Злалгт64; 5) 1 „, = 49лалтг32, 1го = 21лол(32, 1о = 35лгтл/16; 6) 1 лабзтт4 1 „= лавб,т4~ 1о = лаЬ(ах + бо)т4; 7) 1,, = 1ии — — Зла~гт(4ъ~2), 1о = Злалгт(2иг2): 8) 1,, = 1„„= 9а~тг8, 1о = 9ал,'4.
67. Ц аб(ах + ба)т12; 2) 26алтг105; 3) лал(8, 68. Ц итЗа~(96; 2) ъ'За~гт96. 69. Ц 4МНк(9; 2) МЙ~(З. 70. Ц Еха = абгт(бх + с'),тз, 1„„= аб г(са + их) /3, Е, = або(ах + Ьа)тЗ; 2) 1х, = 1 = лНЮН~/3+ Лхгг4), 1,л = (л/2)НЯ", лНП (2Нг Зла) бб ' " 10 4) 1„= 1ги = 1,, = 4лЛотг15. 71. 4лройттг7. 72. 59лЛотг480.
73. Ц 1 и — — або~/БО, 1и, —— аобс,т60, 1,, = ибос/60; 2) 1, = 4лттбсо1'15, 1и, — — 4лиобст15, 1 а = 4лабгтс/15; 3) 1,„= лабсо(5, 1„, = лаобс/20, Еха = лабас/20; 1, = — (105 — 272); 5) 1,и — — 7лабс~12, 1„. = 4латтбс,тЗ, Еях = 4лабос13. 74 Ц 54~ 2 в 2) лит 3) 14 4) 4л(4Л вЂ” 5) ) ула' 135 ' гг2 ' 45 ' 15 ' 140 ' 6) 4лаЬс(ах+ Ьа)/715; 7) лабе(ба -~-4аа)тг20.
75. Ц лаЬаа(4Ьо+ Зао)т2; 2) лобио(452+ 5ао)гг4. 76 2лНаН(Да+ На),тЗ 78. Ц Р— 1ггх при х = угхса + уа > 1, — (ах 1па+ — (ха — аа)) при 2 2 г, 2 х(и; 25» Гл. 2. Кратные, нриеолинейнвге и поеерхноетные интегралы О 2) /11Р)РМ)т;Р) »1Р, где Л»1т;Р) = шах11пт,!пР)г т = ° газ+уз. о 2 ый — ОгроЛ вЂ” при го > Лг 2яро)Л вЂ” — ) при то ( Л, го = 4 3 1 У 2 Г„Ог Г'О . 2 2 2 хо + уоз + хо. з з 3 г 80.
— 1Л2 — Лг)ро — при то ) ЛЗ, — ро(ОЗЛ, — т„— 2 — ) при Г.О 3 ~2 о г»! в О О»Я,, О Рив,'— ЯЗ О .. О..О= ЯООГ ° *,. Ог. в — р Ов, — (Гв — ) р Ов, =От'~г рОР »г 3 3 82. хро')Л21п +НА»/ЛЗ+Нз Н)) 83. 1) хргг1»(1 — Л)' Р 'в КП вЂ” К) 84.
— 'ре (1аз+ Лз)ЗГЗ вЂ” ЬЗ+ Л' — — КЛЗ) при К > Л. ЗК 2 ЗК г 2 РО ((Л2 + Л2)312 213 Лз 1 31Л21 1 ( Л ОО. р,йв — О 'в нурс — втгв 'в ОΠ— ~в — цгг — »~в  — О ОВО ~Н-ОГ) ГЛО+ ЛΠ— К ОО. " 1 ( — О1/— 4 3 т 4 8Т. — хЛ' Ро —; при го > Лг —,хротго при го ( Л, где то растг1 стояние от Мо до центра шара. 88. ОгроЛсйпзгг. 90. 2хро1»ОГЛЗ++ННЗ з— Л+Н). игЛОО»- НΠ— Н игЛО + Кв — Ь 93. 2ггтро. 94, 95.
— г1Л вЂ” г). ЙЛХО ЛЬ 4яр;, а- 3 96. 1ро1ТЗ вЂ” Т»ИЛ» — Л»))Г2. 97. 4а~Б)а. 100. За ось 1 следует взять одну из двух главных осей инерции пластины. 101. Пусть начало координат О совпадает с вершиной прнмого угла, ось Ох направлена по катету длины а, тогда масса та и коор- динаты ее точки нахождения определяются из условий р = О, х = 6/4, тх = — ЛГаг3. 410. Лриволинейнесе интегралес 3 10. Криволинейные интегралы 255 СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ ~Г(х,;у;г)с1х = ~ ~/ Г~х;д;г)св. (3) 3) Если гладкая кривая Г задана уравнением г=г(й), а<1<,3, а функция Г непрерывна на кривой Г, то (4) ~ Г(х; у; г) дв = / Г(х(1); у(1); г(1)) (5) Если Г --- гладкая плоская кривая, заданная уравнением у=Дух), а<х<Ь, (б) то 1 гонг =1г1*;сооет+у(егг* (7) 1. Криволинейные интегралы первого рода.
Пусть спрямляемая кривая Г задана уравнением г=г(в), 0(в<о, % где в переменная длина дуги этой кривой. Тогда, если ца кривой Г определена функция Г, то число ГГ< ()) ° о называют нриволинейньсм интегралом первого рода от функции Г по кривой Г и обозначают Г(х;у;г)дв или, корсгче, ~$дв. г г Таким образом, по определению ~ Г(х, :у; г) дх = ~ Г(х(в); у7в); г(в)) дв.
(2) г о Интеграл (2) существует, если функция Г непрерывна на кривой Г. Свойства криволинейного интеграла первого рода. 1) Криволинейный интеграл первого рода не зависит от ориентации кривой. 2) Если кривая Г есть объединение конечного числа кривых Гс, ... ..., Гйэ а функция Г непрерывна на Г, то 256 Гл. 2.
Кратные, нриеолинейные и поверхностные интегралы У г):Г)гг = У г)Е)Г):1)гт."-)Е)г))!гр )8) г с 2. Криволинейные интегралы второго рода. Пусть гладкая кривая Г задана уравнением (1), Тогда дт — = т = (сеян;сояД;соя у) (9) де - единичный вектор касательной к атой кривой. Здесь о,,д, Т) -— углы., образованные касательной с координатными осями Ох, Оу и Ог соответственно. Пусть на кривой Г определена вектор-функция Е = (Р;Г))Л) такая, что для скалярной функции Р, = (Е,т) = Реево+ !Усов)!+Рсоа у существует / Р, дю Тогда число г 1 Р 1 я / ( Г т ) д г г называют криволинейным интегралом второго роди от функции Е по кривой Г и обозначают / Рдх+ Оду + Лдг. г Таким образом, по определению Рдх+ Яду+ Лдг = / (Рсояо+ Цсояд+ Лсояу) дв, (11) г о где (сояебсоя(1;сову) . единичный вектор касательной к кривой Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
