1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 39
Текст из файла (страница 39)
С: О /1(х) дх — / 1(х) ссх = / Г'(х) есх. и О',и 196. Доказать, что интеграл /2'(х) сСх сходится тогда и только О тогда, когда для любой последовательности множеств Сы Ь = 1, 2, ..., исчерпывающей С, существуют интегралы / Д(х) йх и 1пп / ~(х) с(х = О. айв, Вс ад, 19Т. ПУсть )л.(х) = ((х), если 1(х) > О, и ~+(т) = О, если 1(х) < < О, пусть Г (х) = )(х), если )(х) < О, и Г (х) = О, если )(х) > О. Доказать, что интеграл / Г" (х) Нх абсолютно сходится тогда и только а тогда, когда сходятся интегралы / Дт(х) дх и / т" (х) дх. О а 198. Пусть функции Г" (х) н д(д) абсолютно интегрирусмы на (а;Ь) и (с;И) соответствопно. Доказать, что интеграл от Г(х)д(д) на (а;Ь) х (с;сс) сходится и Ях) д(д) 0х Йд = / Г (х) Йх . / д(д) йд.
Саед х Сгиб а с 199. 1) Исследовать на сходимость интеграл / / е *"эспхссхссд; о о 2) доказать, что сходятся повторные интегралы с1у/Г е '"эспхссх и /йх/е *"зспхссд о о о о значение; найти это значение; а С существует предел 1пп / / е *изспхесхесд, аа-'саа ьте о о и сравнить его со значением повторссых ин- и имеют одинаковое 3) доказать, что найти этот предел тегралов из 2). 195.
Пусть функция )' интегрируема в несобственном смысле на С, Й .-- открытое измеримое подмножество С. Доказать, что 28. Кратный интеграл Рилгана и его ееейетеа 221 200. 1) Исследовать на сходимость интеграл / яп(ха+ уз) егхе1у: о о 2) доказать, что сходятся повторные интегралы дх~ яп(х + у ) Йу и / 61у~ яп(х + у ) Йх о о о о и имеют одинаковое значение, найти это значение; а Ь 3) доказать, что существует предел 1нп / / е1п(х + у ) глхе1у, 6.6, ОО найти этот предел и сравнить его со значением интегралов из 2); 4) найти пРеДел 1нп 11 Яп(х +У )абх11У, гДе Се оо (х +д < н-ооо,~ 1 < 2то, х > О, у > О), и сравнить его с пределом из 3).
201. Пусть Г"(х;у) = (хз — уз)16(хе+ уз)2, х > 1, д > 1. Доказать, что: 1) сходятся повторные интегралы Его Еоо -~-оо -~-оо / 16х / 1(х;у) обу и / иу / 1(х;д) 61х; 1 1 1 1 2) расходится двойной интеграл / / 1(х; у) 61х 61у. 1 1 202. Указать такую неотрицательную функцию 1(х;у), определенную на (о; Ь) х (а; Ь), что двойной интеграл // 2(х;у) егхду 1о;61 х1а;61 сходится, а один или оба из повторных интегралов не существуют. Исследовать на сходимость интегралы (203, 204) 203 1) // уР-,.— '.—,, ~=( '-'+уз >1)1 ( 'х'+ уг)о г '" .,) и л' (1+хе+ ху+уг) ' Л (1+х'+у') аг лг 204.
Ц й' (1 . ~,~-П1 . Ь~.) 2) 11 ", С=(х>0, у>0, х +до>1), о>О, Д>О: о д' с 222 Гл. 2, Кратные, нриоолинейные и пооерхноетные интегралы 3) Д "„., С=((х)+(у)>1), о>0, д>0; О ) О „;.'„'"ух)„, С=((у~. 1); С 6) О ", С=(у>0, х — у>1). с 205. Исследовать на сходимость интегралы, считал, что функ- цин 1 непрерывна и 0 < т < ~~(х: у)~ < ЛХ < +со Ц (! Х( 'У)д й; 2) П х( 'У)а йУ, С=(1<у<2); // (.г+ г+Ца' // (Л+у1)а яг о 3) П *'" ", С = (1+ха < у < 2+ха). ((х~ -ь у) Исследовать на сходиыость интегралы (206 — 210): И ""*"'"" ' (. — у)р х — у>1 207.
Ц а1п(хл + у") е(х е(у. яг 208. О ып(ха+ уа)а йхе(у. хгьуг>1 209. Ц l "; 2) ('/' (, 2х ~ ~ ) ' П (хг — У + Уг)" ' х - -~- у. < 1 (х(Е(у)<1 йхйу ) 1*1 йхйу (1 — хг — уг) ' П (а — ) ( — у)" х+у-<1 О<у<х<х 210. Ц Ц 'уИ.С=(х>О,у>О,х +уд<1)., о>0, 13>0; С' 2) ~~ '' у, С=(х>0, у>0. х+у<Ц, о>0,,9>0, р>0; 22 (х'* Ч- ул)У 3) У ., С = (х > О, у > О, х + уд < 1), гх > О, Л'(1 х- х.). (1>О, р>О. 211. Исследовать на сходимость интегралы, считал, что функпин 1 непрерывна и 0 < т < ~Дх;у)~ < М: р р.
Кратний интеграл Рииана и ого свойстеа 223 1 1 1) / / ~~ (У) 11хйд: 2) Ц ~~ (У) йхйд; о о ~хН-р,<1 3) О хх-(-рг<1 212. Пусть функция 1(х;д) непрерывна на прямоугольнике [а; Ь) х [с;(1), а функция д(х) непрерывна на отрезке [а(Ь). Докаь а г т"(х( у) ух ау зать, что для р < 1 сходится интеграл / ~ ! [у — у[ )[" ' х с Исследовать на сходимость интегралы [213 †2). 213.
)) ,' 'У , С = (хг + уг < 1, 0 < х, 0 < д < хг). [хг -Ь уг)а а 214. О „",, С=(х>0, д>0, х+у<Ц. а 215. О ., У,, С=( (х+ (д<Ц. о ,1,1 [хг+ уг)г а 1) С = (О < х < у < Ц; 2) С = (1 < х < у < +со); 3) С = (О < х < 1, 1 < у < +ос). 2Л. Ц з(п [хо + у'). йх йу. хх-(- рг < 1 218. Пусть функция р непрерывна в замыкании С ограниченной измеримой области С, хх((н<(д;(,') Е С, ЛХ(х(д; г) Е йз, (* - Ох х О - ОР х (* - Ог ° = ' 1+ Р х> Доказать, что Ш'д(с(П й)мйуй( 1Ш с Р ) а (1, ) Вычислить интегралы (219-228).
219. О, х, 220. О яг хо -(- р г > 1 П .."'" "' И хр>1,х>0 О<р — х<(,х>1 223. О * х(х 224. ~~ е †(ххи(ахг19 р>хг, 1 0<х<р Гл. 2, Кратные, нриеолинейные и пооерхноетные интегралы 224 225. О е 1х 4у ссоа(хг+ул)йхйу. ях 226. О е 1х ху са1п(ха+ух)йхс(у. яе 227. О е сх со 4У сс ~сйхйу. х" ~с ее -~- си г / 61 > 1 228.
О е с' 4 хили сйхйу. яг 229. Пусть е Е ( — 1; Ц. Вычислить интеграл / , — 1х~/а~4-леху/1аьуьу /б яе 230. Пусть а(х; у) = Аха + 2Вху + Сул + 2Вх + 2Еу + Р, где А > О, сх = АС вЂ” Вт > О. Вычислить интеграл Де '~"у~йхйу. Вычислить интегралы (231 239). 231. О „' У, р<1. хг-1-ух<1 232. О 1п йх йу. чГ уг Гхг+ '-' х- -~- у- '< 1 234. 1'С ', о=(* е,г и, —,+ —, 1). О О ' . 230 ° О ., х йхйу.
хх-~-ух<ту лг) х (< у < 1 т — л — ) 238. Д 1паьп(х+ у) йх йу, С = (х > О, у > О, х + у < л). о 239. О . х. йхс1у, 0<о<1. Ф" <у уз. Кратный интеграл Римана и вго свойство 225 ет уравнению Абеля где Г" -- заданная непрерывно дифференцируемая функция.
245. Для Г-функции и В-функции; Г(а) = ~е 'х' ах, о доказать закон умножения (Якоби) Г(а)1'(Ь) = Г(а -~- Ь)В(а; Ь), используя утверждение из задачи 198 и подходящую замену перемен- ных. В(а; Ь) = 1 о-1(1 — .)г-14х о 15 Под ред. Л.д.кудрввцевв, т.д 240. Множество С ограничено отрезком ((аз+ Ц; (Ьз+ 1) ) оси Ох и двумя спиралями, заданными в полярных координатах уравнениями г = (ее+аз)о и г = (ее+ Ьг)", р 3 О, где О < аг < < Ьг < аг + е" — 1, о ) О: 1) найти все о и ~3, при которых сходится интеграл Д( 22+ 2),Зол а 2) вычислить интеграл из 1) при о = 1/6,,3 = 1/2. 241. Вычислить интеграл 1(Р,О) = О е оъ'~ ео созх~совуубх4у.
яг Указание. Перейти от координат (х;у) и фу) к соответствующим полярным координатам (г;ф и (р;ф). 242. Пусть сходится интеграл Ф ф и) = О ю( ХУ хг + уг) соз хд соа уу ах ау. яг Доказать, что Фф у) = Ф(Я~ + 02). 243. Пусть функция г' непрерывна на [О;а). Доказать, что е г а ) ),о"-"'о'ы'"- о используя сведение несобственного двойного интеграла к повторному. 244. Проверить, что функция ео(у) = — ~ е1г удовлетворя- / ~:т о 226 Гл.
2. Кратные, нриеолинейные и пооерхноетные интегралы 246. Доказать, что интеграл где х = [хи...,хп) Е Й", [х[ = х, + ... +х~, [х[а ' 1 ~>1 сходится при о > и и расходится при о < и. 247. Доказать, что интеграл "., ° ° х=и,;..й,е я", ~Е=,/,,',Г...яР, ~я)<1 сходится при о < п и расходится при и > и. Исследовать на сходиеиость интегралы, считая, что функция Г" непрерывна и 0 < т < [1[ < М < +со [248, 249).
248. Ц ~~~~ '„'"' „„, С=)к~+уз+за > Ц:, О г + Уг -ь г)р ' 2) Я х У, С = 1[х[+ [у[+ [з[ > Ц. и ,/,/ (хг + уг + гг)р 2) Я Й' 'У' )"*"У ( тхз+ Уз+ за < Ц. и 3) Я ' „, С=Их[<1, [у[<1, [г[<1,хну+с):, с е Я,, '... о=г,/Рг7~я ь г ~ г аг йх ду йг [1г — '- — уг — -г[р ' с 250. Пусть функция 1[х;у;г) непрерывна на кубе е) = [О:а) х х [О;а) х [О;а), функции фх) и гр(х) непрерывны на отрезке [О:а~). Доказать, что при р < 1 сходится интеграл Д[х; у; г) ах ду аг г г' [[у — у'[х)[г -Ь [я — ~[х)[г)р ' Я Вычислить интегралы [251-255). 251. /// о о о с 258.
Я..., С-(х+у - ° <Ц ВВ. Кратный интеграл Рииана и ега евейетеа 227 254. ~~~е с' '" ' ~йхйуйз. яг 255. Ц~хгуе*игйхйуйз, С = (х > О, у > 1, з > 1, хуз < 1). О и г 256. Пусть х = (хЫ ...., ха), А(х) = ~~ — ",. Вычислить интеграл г — АСг) с я" 257. Пусть х = (хм,ха), А(х) = 7 и; х;х. положительно ь1=1 определенная квадратичная форма. Вычислить интеграл е ' ~*~йх. я 258. Выразить через значения Г-функции и В-функции интегралы; 1) ~ ~(х+ у) е ' "йх ОК р > 0; о о 2) / /(ха+уз)"е ' " йхйу, р> — 1; Ь о 3) / / ( е ~е " Ьг 1 йхйуйг, р> О:, о о о 4) О (х~+ уг)е(1 — хз — уз)'йхйу, р > — 1, у > — 1, С = (х > > 0 у > 0 хе+уз < Ц.
)И .,- .г)'"' -(*"+ «) и ОТВЕТЫ 1. 1) аЬ(ра+ с1Ь)/2. 2) азЬг/4; 3) (1 еве)(1 — рдь)/рс1. 4) аЬ(раз+ дбз)сЗ 2. 1) ве„= — 20/и, о,„= 201 п, 1 = 0; вЬ 2 вЬ 1 з1С ге> 2) "- = пг в1с(17п) вЬ(1,с2п) 2 вЬ2вЬ1 здгий 1 =4вЬ вЬ 3) в,„= — 8/и, 5,„= 8~п, 1 = 0; 4) в,„= 20(п — 1)(2п — 1)с(37сз), 5,„= 20(п+ 1)(2п+ 1)С(Зпз), 1 = 40ссЗ, 228 Гл. 2. Кратные, нриеолинейные и поеерхноетные интегралы 3. 1) а) сг = 2,164, Ь = 2,168; б) Я = 2,270, с3 = 1,084; 2) а) ст = — 0,217, 25 = 0,5; б) Я = — 0,125, 25 = 0,25; 3) а) ст = 0,251, сз = 0,158; б) Я = О, 231, сл = 0,079; 4) а) о = 0,402, ~ь = 0,198: б) Я = 0,364, Ь = 0,099.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
