1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 37
Текст из файла (страница 37)
8у = хг, х = уз, 8х = у'-; 5) ((х; У) = хл — Угь С = (т > О, 1 ( хУ ( 2, 1 ( хг — Уг ( 2). ььь. О 7Ы;ь) = ~~ — ..Ч ' — ь ~о, с = ( 'ил ее Чь' 4 ьс 2) 7" (х; у) = лс'х + lу, С = (лььх + 7у < лгьа); 3) ((х.у) (а+р)г С (х > 0 д > 0 (х+д)4 <,сг+уз). 4) 7(х; д) = х, С = (х > О. у > О, (х/а)27з + (фЬ)г!з < 1) 126. Пусть функция 7" (х: д) непрерывна на прямоугольнике сь = = [а; Ь) х [с; с(], Г(х;у) = / ((х;л)467, (х;у) Е 4,?. с Доказать, что: 1) г"(х;у) непрерывна на Я; дГ 2) Е(х;у) дифференцируема по у и — (х;у) =1(х;д)ь (х;у) с Гг.
р 3) если дополнительно — непрерывна на 4,ь', то Е дифференцидг" дх руелза по х и У дГ дт" с 127. Пусть функции ьр и ф непрерывны и удовлетворяют неравенству ьр(х) < ьр(х) на отрезке [а; Ь), С = (( ;д): « Ь, Р( ) < у < р(*)), 208 Гл.2, Кратные, криволинейные и поеерхноетные интегралы и пусть функция 1 непрерывна на С, Е( 1 Г[х) = / г[х;9)ду. Доказать, что: 1) функция Р'[х) непрерывна на [а;Ь],: 2) ЕСЛИ СуШЕСтВуЮт НЕПрЕрЫВНЫЕ ПрОИЗВОдНЫЕ Гс[Х), йс'[Х) На [а; Ь] и — [х;р) на С, то и Р[х) имеет непрерывную производную дт" дх на [а;Ь] и Е( 1 Ь"'[х) = 1(ж Ф[ ))4[х) — 1[х; р[х))4[х) + / д,, [х; й) с(р.
Е(хс 128. Найти Е'[с), если: 1) Г[С) = ~~ е ' ~е с1хс(у, (,)[1) = [О;(] х [О:1]( сс(с( 2) ь.[() // с г ( „2лх,сх (-)[() с[ ()2+ [„()г < ц ФС1 129. Пусть функция )'[х;д) непрерывна на плоскости Н, Е[с) = Ц )[х;у) йхс(у. с(0 Найти Е'[с), если; 1) С[1) =[Ос]х[О;(],1>О; 2) С[() = ~х > О, р > О, х + у < (), Ь > О. 130.
Найти 11пс — // Р, гДе ос[С) = [О;С] х [О;(]. сс(0 131. Пусть функция 1[1;х) непрерывна на плоскости. Доказать, что функция с х-' х(с — х С сс[(;х) = — / Йт / г [т;с) ссс" о — (с- с дги г дги удовлетворяет волновому уравнению †, — а †, = г [(; х). д(1 дхг 132. Вычислить повторный интеграл: з х хи 1) /л ~,~/ [,/,Т г+ )лг. 2) /( /,~, / х,г.д. — о о о о о 1 2х хор 3) / асх / с(у / [х+у+ 2)с(г. — 1;х,сг х — и 48. Кратный интеграл Рииана и его свойства 209 133.
В повторном интеграле, заменив порядок интегрировании на указанный, расставить пределы интегрирования: а ъ'а1 — х- л — а /2 т О З-З;14 2 — зи!З вЂ” х!2 2) ~412 / дд ~ ((х;уха)<Ь., (х;у1а); о о о 2 2 -х/2 2 — у — хрз 3) ~Йх / ду / 7'(х;у;г)гЬ, (';х;у); о о о 1 — х хьи 4) ~41х / ду / 7(х; у; 2) <Ь, (з;х; у); о о о х'--1-иг 5) ~41х~г1у (' У(х; д; 2) 012, а) (х; 2; у), б) (г; у;х). о о о 134. Интеграл ЯД(х;у,:2) дх119412 записать в виде повторного а или суммы повторных с указанным порядком (слева направо) и указать пределы интегрирования, если: 1) С = (х > О, у > О, 4 > з ) О, 2х + д < 2), а) (д; 20 х): б) (х' у1 в)' 2) область С ограничена плоскостями х = О, у = О, з = О, х + 2д + + 32 = 3, а) (х;у; -), б) (2;х;у); 3) С=(х-)а +у /6 +2 /с <1) (х;у;г); 4) область С ограничена повсрхпостяыи уз + 222 = 4х, х = 2, а) (д;з:х), б) (х:уха); 5) область С ограничена поверхностями 2 = 2(хз + уз), 2 = 1+ +ха+ у-', а) (х;д;2), б) (у;2;х); 6) С = (х > О, 2 > О, хг+ уз < а', у + з- < аз) а) (у 2 х) б) (х;з;у); 7) С = (хз+ уз+ 22 < 22, хз н- у > 22), а) (х;у; ), б) (х:лбу); 8) С = (уз+ 22 < хз, уа+ тз < 1, х > О), а) (х;у;2), б) (у;з,х); 9) С = ((д — 1)(х — 2) < з < 2, -х < д < х, х < Ц, а) (х;у;з), б) (г;у;т).
135. Свести интеграл к однократному или сумме однократных х д в 1 1 — а ага о о о о о о 3) ЯУ(2) 41хг1д412, область С ограничена плоскостями х = 1, и 14 Под ред. Л.ддйудрявцевв, т. 3 2!О Гл. 2. Кратные, нриеолинейные и поеерхноетные интегралы у=О, а=О, у=х, е=х+у; 4) 0( дДе) йх йу йе, область С ограничена поверхностями е = О, и е = у, тв + уз = 2т. 136. Пусть П = [О; а) х [О; Ь] х [О; с). Вычислить интегралы; ) Я(" "+") °:; ) Ш: ' " * и и 3) Я(х+ у)е' " йхйуйе. и 137. Вычислить интегралы: 1) Я хуз йх йу ел, П = [О; Ц х [ — 1; Ц х [О; Ц; и ! ! ! и и 2) (' / /(хд+ де+ ех)йхйуйе; 3) / / / аш(х+у+л)йхйуйл. о о о ооо 138.
Вычислить интегралы: 1) 0( аш(х+ у) в!пайхйуйл, П призма (О < х < —, 0 < у < 2' и < —, х — у(е(х+у); 2' 2) ('0 (х+ 2у+ Зг) йхйуйе, П призма, ограниченная плоскоси тями у =О, а =О, а= 2, х+у = 2, 2х — у+2=0; 3) Ц~ (ху)з йх йу йе, П = (О < х < у ( е < 1). и 139. Вычислить интеграл Я г"(х;у;е) йхйуйе, если; 1) Г'(х;д;е) =у, С вЂ” пирамида, ограниченная плоскостями х = О, у=О, а=О., 2х+у+-=4; 2) Д(х;днх) = (1+х-!-у+а) з; область С ограничена плоскостями х+у+е= 1, х = О, у= О, а=О; 3) г"(х;у;е) =х+ е, область С ограничена плоскостями х+у = 1, х — у=1, х+е=1, а=О, х=О; 4) Г" (х; у; е) = хз — а-', область С ограничена плоскостями у = — х, а=х, а=у, с=1; 5) Г'(х; у; з) = ху, область С ограничена поверхностями хз + уз = =1, а=О, а=1, х>0, у>0; 6) У(х; у: г) = хуз, С часть шара хз + уз + га ( 1, лежащая в 1 октанте; 7) г(х; ун х) = !Гхз + у'", область С ограничена понерхностями ха+у +хз, с=1: 48.
Кратный интеграл Разгона и ого соойстеа 2ы 8) )"(х; у; х) = хдзх', область С ограничена поверхностями г = ху, у=х, х=1, с=О: 9) 1(х;д; г) = хуг, область С ограничена поверхностями д = хг, х=уа., з=ху, г=О. 140. Пусть изл)еримая область С симметрична относительно координатной плоскости Оху, а функция г нечетна по г. Доказать, что Щ((х:,д:,г) йхдудг = О. и 141. Пусть измеримая область С симметрична относительно координатной оси Ох, а интегрируемая на С функции г нечетна по паре переменных (у: г), т. е. Г(х; — у; — х) = — Р(иду;з). Доказать, что И 142.
Пусть измеримая область С симметрична относительно начала координат, а интегрируемая на С функция 1 нечетна по тройке переменных, т. е. Р( — х; — у; — х) = — 1(х; у; з). Доказать, что Я~(х;у; )йхйуйг=О. и 143. В интеграле Я Г"(х;д;х) йхйуах перейти к сферическим и координатам и записать его в виде повторного, если: 1) С = (аг < хг + уз + 2 < 4оз.
д > О); 2) С = (хз -)- уг + гз < Пз, у > О, з > О, х -)- у > О); 4) С ( 2 Ь 7+ 2<2ог х2+уз>з2). 5) область С ограничена поверхностями з = хг + уз, х = у, х = 1, у=О, с=О. 144. Вычислить интеграл (0 )"(х;у; «))4хйддг, перейдя к сфеи рическим координатам, если: ') г)*г *)=«)г«+гас*' "=а-"«г'«*'-гь 2) у(х.у.з) х)(да+(хг+уг+за)з) С (ха+да+гг < ггз х > 0); 3) ((х;у;з) =хг+ уз — гг, С= (1<хг+ уз+ аз <4, х>0, д >О); 4) Р" (х; у; х) = ух+ зх, область С расположена в 1 октанте и ограничена поверхностями у = х, х = О, з = О, хг + уа + гг = Л2; д) г)*г;ь) =*)) т««гь«Л), с =)*'+г'«*'-' > (6))а) х))хз + дз): 6) у)*:г: ) = итг« г « л, о = )* « у « * г ).
145. Свести интеграл к однократному: 212 Гл. 2. Кратные, нриеолинейные и поаерхноотные интегралы 1) Ц(г) 'тгтРг ')г*гуг* о=Ь'*гтР * Лг — *'-Ф) 2) Я ,( ( ' ~1 е1х ау гЬ, С = (еа ( хз + у', х' + д' + зз ( Л. ° 'хг + рг / < Лз). 146.
Вычислить интеграл Я2'(х:у;г) )1хду)1л, перейдя к цилиндрическим координатам., если: 1) 2(х;р;е)=ха+да+ 2., С=(х +д' <Пг, О<х, 0« ГГ); 2) 1(х: у: г) = х -Ь у + з, область С ограничена поверхностями хз+ -)- дз = 1, е = О, х + у -)- е = 2; 3) Р(х:,д;.) = 2 + у', С = (( з + раУ2 « ° 2); 4) Д(х;р;г) = г — т, + у, область С ограничена поверхностями ад = ез + хз, дз = ьз + хз, а ) О. 147. Показать, что при переходе к обобщенным сферических) координатам х = ассов)рсоа~',, у = 6~ з1п)репами, л = стз1пф якобиан отображения равен,1 = аЬсгз сову). 148. Пусть С = (хз,)а + уз,)52+ 2,)'сз ( Ц. Вычислить интегралы: г г 1) Ц~ ( —, + д, + —,) )1х)1уае; 2) (Ц(ха+уз) дхдрах:, с О 3) Ш 1 — — ', — — "„— — ', йхйуд.. а 149. пги )и;р; ) г, О л я = )Ы+г +*, о= = (ха+ уз+ зз < Вз). ох )1д ог Вычислить интеграл /11 ,, если; ' р И вЂ” х.) (д-у.)г+( -")г).~г' 1) а = 2; 2) а = 3; 3) а = 4; 4) а ~ 2, 3, 4.
У к а з а н и е. Можно воспользоваться поворотом системы координат и переходом к цилиндрическим координатам. Вычислить интеграл (О 1(х;у;г)дхдр)1г, используя подходя- щую замену (150 — 152). 150. 1) ~(х;унх) =... С = ((хг+рз+гз < 4, 1 )(г) > г)е,)г~ х > О); 2) Дх;у:з) = ", область С ограничена поверхностями Лгзз = 28. Кратный интеграл Разгоне и его оеойетее 213 = 62(хг + дг) г = 6 6 > О. 3) 1(х;д) = хз — дь, С = (хг + дз + гз < аг, д > О, г > О); 4) Г"(х;д;г) = Ьгдз + г', область С ограничена поверхностями д- + гг = Ж д + х = Н, д — х = 17, 17 > 0; 5) г( .„. ) + С ( 2+уз+ г<лз < ( 2+уз.
б) ~(х;д:г) = хдг/(аз+хе+уз+ге)з С = (те+уз < аз уз+ + гз < аг, х ) О, д ) О, г > 0); 7) Д(х:д;г) = угхз+ д', область С располоя(ена в 1 октанте и ограничена поверхностями г = О, д = О, хе+ де = аг, а = х — р, а>0; 8) Д(х. у: г) = гг С = (х'+ уз+ гг < Лг хг+ уг Ч- гз < 217г): е( у(*".д ( = (ад(( ' о = (ге' е г' г( — *' - ы(. 1) ((х., ) дг((хе+ дг+ 2)з!2 С ((, 2+ г+ 2)з,(г < <4хд., т>0, д>0, г>0); 2) 7'(х; д; г) = гт((хг + д'-', С = (хг + дг < 2х, 0 < г < д); 3) Х(х; д; г) = хгз, С = ((Зх — 4)2 < дз + гз < хз); 4) Дх;р;г) = г, С = (З(хз + дг) < г.
1 — хг — уз > г). 152. 1) 7'(х;Р;г) = 1(((х + д)(х + д + г)), С = (1 < х < 2, 1 < < х + д < 3, 1 < х + д + г < 5); 2) У(х. р. г) (хг дг)(, + хг „2) С (х — 1 < д < х 1 - х < < у < 2- х 1- х'+ да < г < рг — х'+ 2х). 3) ("(х; д; г) = тдг, С = (х < рг < 2х, д < гх < 2д, г < хд < 2г); 4) Д(х; д: г) = хг, область С ограничена поверхностями г = ауг, г=бдг, д>0, г=ах, г=Дх, г=6, где О<а<Ь, 0<а<(4, 0<6; 5) 7"(х;д; г) = хдг, область С расположена в 1 октанте и ограничена поверхностями гпг = хз+д', пг = хе+де, хд = аз, хд = Ьз, у=ах, р=(ох, где О<а<Ь, 0<а<о, 0<т<п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
