1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 35
Текст из файла (страница 35)
гвд.Кудрявиевв, т. 3 194 ил. 2. Кратные, нриеолинейные и пооерхностные интегралы 72. Указать изн|еримое множество Л и интегрируемую на нем функцию, у которой множество содержащихся в Х точек разрыва неизмеримо по Жордану, но имеет нулевую меру по .Чебегу. 73. Пусть функция 7" интегрируема на множестве Х, т[Х) = = (Хгч 1 = 1, ...,%) - Разбиение Х.
ПУсть а > О, а Х вЂ” объединение всех элементов Хг Е г(Х), .на ка|кдом из которых колебание иг® Хх) > а. Доказать, что для любого а > 0 и любого б > 0 существует такое разбиение т[Х) с мелкостью [т(Х)[ < б, что |л(Х ) < е. 74.
Доказать критерий Дебега интегрируемости ограниченных функций. 75. Вычислить повторные интегралы: л72 х 1 и 1) / дх/ соз(х+ у) |1у; 2) / с1у/ [х — у)е" г1х; о о — ги х72 саа х ишх и 3) / сйр / гз|п|р 1пгаг„4) / |1и/ Йо; о о о л сага Р и о) /с1х / Йу / (х+у+г)ат — Ыи х и-|-х 76. Пусть функция 7[у) непрерывна на отрезке [О;а[.
Доказать, что: а х а а а п 1) / дх/ )[у) |1у =/ [а — х)7" [х) г1х; 2) / |1х /7'[у) ду= /у7[у) ду. о о о о о 77. Пусть функция ф(х) непрерывно дифференцируема на отрезке [О;а) и т < ф(х) < КХ на [а; Ь), пусть функция 7[у) непрерывна на отрезке [с:|4), где 0 Е [с; И], [га; 111) С [с,с)[. Доказать, что а|о| а ЫСх1 / Йх / 4 [у) с|у = а / 1 (х) с|х + / [а — х) | [у|(х))ф [х) дх.
о о В задачах 78 — 81 для заданного множества С записать интеграл / ) [х; у) а|х 11у в виде повторных интегралов с разных|и порядками а интегрирования. 78. С треугольник, ограниченный прямыми: 1) х = О, у = О, ах+ Ьу = с; 2) х = О, у = а, тх — пу = Ь; 3) у = О, у = йх, х = а: 4) т = 2а, у = 2а, х+ у = а, 5) х = а, у — йх = О, у + 1х = О, а > О, й > О, 1 > 0,: 6) х=а, у — йх=О, у — 1х=О, .а>0, 1>й; 7) у=11, ау=йх, ау=4ай — йх, а>0, й>0; 195 8) д = 21сх, д = — 1х, 2Их + у = 2а, 1 > 0; 9) у = 1х, у = Их, х + д = (1 + 1)(1 + 1), ( > 1.
79. С четырехутольник, ограниченный прямыми (а > 0): 1) т, = О, у = О, д = а, .х + д = 2а; 2) х=О, х=о, у=х, х+у=Зай 3) у=О, у=а, х+у=О, х+д=2а; 4) 2у = х, 2у = х + 6, д = 2х, д = 2х — 3; 5) х=О, у=О, х — у=а, х+р=2а. 81. С задано неравенствами: 1) хг+уг(2ах; 2) хг+уг(2Ец. х)0; 3) хг+уг(4х, р)х; 4) хг+ уг ( 712, х+ у > В; 5) у- ( 2рх+ рг, у > х; 6) хг+ дг < ~', х+ у > 0; г+ рг > 112, 2+ дг < 2дх, д > 0; 8) хг — уг ( аг, хг + уг ( Заг. 82.
Записать повторный интеграл или сумму повторных интегралов в виде двойного и нарисовать множество интегрирования: с сс 2с гс-е 1 агссса у 1) /йу / Д(х;у) йх; 2) /йх / Дх;у) йр; 3) / йх / )'(х;р) йд; о о о 1 1иа 2 он 2 1 а 4 а 4) /йу / 1(х;д) йх; о) / йх / 1(х;д) йр+ /йх / 1(У;д) йу; о — г — г г* — 4 1 у ггсгу — уг 6) /йр / 1(х;у) йх+ / йу / 1"(х;у) йх; о -~%у — уг 1 агса1а у г 2 — у 7) /йд / 7'(х;р)йх+ /йу / г"(х;д)йх; о о о 1 .„'2у — уг 2 -„2 — у 8) / йу / ~(х.,д) йх+ / йу / Д(х,д) йх: О гг.„— -„-У вЂ” ггт — у 80. С 1) д= 3) д= 4) хсс 5) хсс 6) хса 7) х= 48. Кратный интеграл Рилгана и его сеойстеа ограничено линиями: х'-, х+ у = 2:, 2) х = О, х = — гу, х = — тгг2: д; О,х= у,х4-у=6; О, х = вш у, х = сов у (О < у < я,г2): агг4 — уг, х = тгг4у — уг, у = 2; О, х=1, х=у'-', у=с*:, О, х = яг12, у = вш х, д = 2 + сов х (О < х < я112). 126 Гл. х, Кратные, криволинейные и паеерхноетные интегралы 444 — хг 1Гг хсзх — хг 9) / йх / ("(х,у)йу+ / йх / ('(х,у)йу; Я: ! 1!2 ъх хгх 10) /йх ~ ((х,д)41у+ /йх /,1(х,у)йу; о — ех 1 х — 2 о у о у 2 1 11) / йу/ 7(х,у) йх+ / йу / 7(х(у) йх+ /йу / Дх;у) йх; — 1 — 1 1 у — 1 у — 1 172 44 4 — 42 12) / йд / Дх;д) йх+ / йу / Дх;у) йх.
о т — ту 1~2 О 83. Изменить порядок интегрирования в повторных интегралах: а х у 4-у 1 1) /йх/7'(х,у) йу, а ) 0; 2) ~йу / ((х;у) йх; о о о о 2 (Тхл-10143 л соек 3) /йх / ~3 д'йу ') /йх / Ы'уайд; — 1 зх — — 1 2 2 — х О 2ъгу-с1 5) / йх / ('(х; у) йу; 6) / йу / ("(х(у) йх; — хх,'4 — 1 -1 à — —.; 4 1аег х хшх 7) /йх / г"(х;у)йу; 8) /йх / Д(х:,у)йу; 2 2(х — 1(дз , !2 соах 2 Зх 2 Зй2х — х 9) /йх / г(х;!4) йу; 10) / / Дх;!у) йу; 1 1пх — 1 х2 — 1 .з 2„/4 ух х Них 11) / йу / Дх;у) йх: 12) / йх / Дх;у) йу; —,,'3 /;2:уг х74 сел х 1 14-ч/1 — 2 З 2.
13) / йх / ~(х;у)йу; 14) /йх/~(х,у) йу; — 1 2 1 х 1 2х — 1 15) / йх / Дх;д) йд; 16) /йх / ((х;у) йу. — 1 хг 84. Выразить сумму повторных интегралов через один повторный интеграл, переменив порядок интегрирования: 98. Кратный интеграл Ранена и ега ееейетеа 197 1 2Е 1) /йу / 7"[х;д)йх+ /йу / 7'[х;у)йх; о и72 е72 всз г72 1 .72 2) / йх / ~[х;у)йу+ / йх / ~[х;д)йу; о о ,з З 1егг Е 4 4 — е 3) /йу / Дх;у)йх+ /йу / ~[х;у)йх; о з о Зе!2 в1п в ее72 4) /' йх /' ~[х; ус)йд+ / йх / ~[х;у) йу. — е72 в 72 все л 85.
Вычислить повторные интегралы. переменив порндок интег- рировании: 471 — гг л е ) 1 1 [ —.2)"2; ) /й,1"",* о о о е п е 3) / йх/ [а — у )а йд, а > О, о > 0; о 1 1 4) / / [ — дг) й , > 0; ~суд ое 1 1 5) / йу / Я вЂ” х," й:г; 6) /йх / уз~/у~ — хз йу. о су о за 86. Пусть функция 7" интегрируема по Риману на отрезке [а;6). Доказать, что ь (/7[х)йх) < [Π— а) /) [х)йх. а а У к а з а н и е. Можно, например, воспользоваться результатами задач 6, 7, а) и рассмотреть интеграл Ц Ях) — 1[д))2 йх йд, где С = [а:, б] х [а; о).
87. Пусть 7"[х;у) =1суз, если 0 < х < у < 1; 7'[х;д) = — 1ссхз, если 0 < у < х < 1; 7'[х; у) = 0 в остальных точках квадрата Х = [О; Ц х х[О; 1). Доказать, что существуют ооа повторных интеграла, 1 1 1 1 / йх/ 7 [х; у) йу и / йу ~ 7 [х; у) йх, о о о о 198 Гл. 2. Кратные, нриеалинейные и пааерхноетные интегралы и они не равны друг другу. Доказать, что 1 не интегрируема на квадрате ]О; Ц х ]О; Ц.
88. Пусть 7"1х;у) = у, если х рациональное число; 7'1х;у) = О, если т -- нерациональное число. Доказать, что 1 не интегрируема на прямоугольнике ]О; Ц х ] — 1; Ц и что существует один из повторных интегралов 1 1 ~ йт / ~(х;у) Йу, / йу~~(х:, у) йх, — о о а другой не существует. 89. Пусть гл (хг', хг) = 1, если х, = р;79, где рг < г1, р, 6 лг, р, > > О, 9 Е И, Рь/2 несокРатимые дРоби, 1 = 1,2, и 7(х,:хз) = 0 в остальных точках. Доказать, что, хотя 1 не интегрируема на квадрате ]О; Ц х [О; Ц (задача 22, 4) этого параграфа), существуют равнью между собой повторные интегралы 1 1 1 г / йхг / ~(хг, 'хз) Йхл и / Йхг / У(хг~ ха) ЙХ1. о о о о Вычислить двойные интегралы (90-94): 90.
1) О (х81пу+ усоах) йхйу, С = [О; — ] х [О; — ]; с 2) Ц д 1 1 С Р< з« 3) Дхзуг йтйу, С ограничено линиями х = дг, х = 1; 4) Охугйхйу С=1хг+уг <аг, х>0); с 5) О (хз+ уз) йхйу, С = ~ха +дг < Лз, у > О); с 6) О (х+ 2у) йхйу, С ограничено прямыми у = х, у = 2х, х = 2, с х= 3; 7) О (ха+ у~) Йхйу, С ограничено прямыми д = х, у = х+а, с у=а, у=За, 8) Ц ~х д йт йу., С = ~ — х < д < х, 1 < у < 4); с 9) О 81пя(х — у) йхйу, С - треугольник с вершинами ( — 4,:1), ( — 1, — 1/2), (7г2; 17/2). 48.
Кратный интеграл Рилгана и его свойстеа 199 91. 1) Цеа "Йхйу, С ограничено прямыми х = — 1, х = 1, д =х, д = 2х; 2) Ц(х+ у) Йхйу, С = [х~+ у~ < йг, д > х), 3) Ц ту Йх йу, С = (ха + уа ( 25, Зх + у > 5) О 4) Цл. Йх Йу, С = [х~ + да < 2, х~ — у < 1, х > О, у > О); Цдй йд С = ЕО < д < 6, х < 6, хд > 3, д — х — 2 < О); О 6) Ц(2у — х) йхйу, С = [у(у — х) < 2, х(х+д) < 3); 7) Цх у Йхйу, С = (д > О, ху < 1, ха — Зху+ 2уа < О). О г г хйхйу 92. 1) Ц,. г. С огРаничено пиниами У = хубх, У = х, Л '-'+уг ' О < х <.т/2; 1 1 1 1 2) ~~а' Йхйдг 3) / ~ алп( — «й йу; о и о д 1 о л л — е 4) / / 1я(ух+ у) Йуйх; 5) / / еа* л Йхйу; о о ог ц~г 6) Ц~/д~ — тайхйу; С ограничено прямыми д = 1, у = х, д = 93.
1) Ц (х" + уг) йх йу, С = (а < (х! < Ь, а < )у! < Ь), О < а < Ь; О 2) Ц~д~йхйу, С=( — '+ — ' <1, хе+да>1~; 3) Ц(2 — х — у) Йх йу, С = (2у < хе + уа < 4); О 4) Ц(хгй(йхйу, С=(аа(хг+уг<Ьа), О<а<Ь; о) Цлгг[д — '[Йхйд, С = [ — 1;1[ и [О;2]. 200 Гл. 2. Кратные, нриоолинейные и пооерхноетные интегралы ) Ц (х, у) с1хс1у, С = [О: а] х [О; а], а > О; а 2) О шах1япх,вшу) с1хс1у, С = [О;л] х [О,:л] С 3) О яяп(2а — 2х — д)с1хсУд, С = [О;а] х [О;а], а > 0; а 4) // агап(т — у + 2) с1хс1у, С вЂ” (т + у < 4) 95. 1) Пусть функция у = у(х), х Е [а; Ь], задана параметрически: х = о(1), у =,д(1), Г 6 [сг,'Ье], где а(с) возрастает и непрерывно дифференпируема на [1г,.1з], о(гг) = а, а(1з) = Ь, ВЯ > 0 на [Ьг,йа].
Пусть С = (х Е [а; Ь], 0 < у < р(х)), а функция /(х; у) непрерывна на С. Доказать, что и нсй /'У/(' )"." = //"(')" У /(.(')')" с, о 2) доказать, что если в дополнение к условиям 1) функция,З(1) непрерывно дифференцируема на [гг, Еа] и /1(йг) = О, то д (") '" = /'.'(')'Ф( (')'(е))'(л)" 96. Вычислить двойные интегралы: 1) //( —, + ~, 1 с1хагу, С ограничено линиями х = О, у =0 и х = д гас Ье/ а = а яп1, у = Ь соз1, 1 Е [О; г/2]; 2) // (х — у) лхасу, С ограничено осями координат и дугой аста роиды х = асоаз С, у = азш 1, 0 < с < гг/2: 3) О уссхссу,. С ограничено аркой циклоиды х = а(1 — зш1), у = а = а(1 — созг), 1 Е [О;2л] и осью Ох; 4) Охс4хдд, С ограничено кривой х = аьйп1, у = Ьяп21, 1 Е Е [О;гг]; 5) ц хурду, С ограничено осью Оу и кривой х = 31 — —, д = 3' ' = 21 — с',.
1б [О;3]; 48. Кратный интеграл Рииана и гго соойстеа 2И 6) 0 [х + у)»Ь'»4у, С ограничено осью Ох и кривой х = 21[1 — 1)» О у 41 1я 1 Е [0.2). 7) 0 узах»4у, С о~рани~еноосью Ох и кривой х=яш[31»'2), у = = яш1» 1 Е [О;'т). 97. Пусть множество С ограничено осью Ох и аркой циклоиды х = а[1 — я1п1), д = а[1 — соя1), 1 Е [О; 2л[. Доказать, что Иху" г) г19= Цу" йглд, и > О. О О 98. Пусть функция 7"[х;д) непрерывна на квадрате Я = [О: Ц х х [О;1].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
