1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Учитывая, что (очевидно) е,® = О, получаем 'ге > 0 Вт(Л): Я,-(Г) ег® < е. Значит, по критерию ТУ' функция 1 интегрируема на Х, и так как е„= 0 для любого г, то и / Г (х) а1х = О. Я х Замечание. Функция Г" из этого примера непрерывна только в точках виДа (х1,хз), (О;хз), (х,;О), гДе х1 и хз неРаЦиональные числа, во всех остальных точках квадрата Х эта функция разрывна. Значит, множество точек разрыва функции 1 не явлнется множеством жордановой меры нуль.
Тем не менее 1 интегрнруема по Х (ср. с указанным выше достаточным условием интегрируемости). П р и м е р 4. Вычислить 1, = Ц ( (х:,у) дхду, если: Ц (1(х;у) = (1+ х+ р) з, Л1 треутольник, ограниченный прямыми х = =2д, д=2х, х+у=б; 2) 1з(х;у) = уз, множество Хз ограничено линиями х = уз, у = х — 2; 3) (з(х; р) = х, множество Лз задано Рнс.
8.4 неравенствами 2гх < х' + уз < Лз, 0 < <2г<Л. а 1) Треугольник Х1 изображен на рис. 8.4. Отрезком АВ разделим Х1 на два треугольника, Ь1 и газ, элементарных относительно оси Оу. Тогда 1 = ЦН:;р)й р+ Цах;и) 1. р Ьг 48. Кратный интеграл Рилеана и его сеойстеа 171 По формуле 114) находим 2 2г 2 .О~!я') '=1".3 ! .".".,- =1(- .".:,)1:,,= Ьг г 1 ( — + ) 41х = — — !п7+ — 1п4, 1 л 1 2 1 4-Зх 1 ж Зх/2,) 3 3 о И~)") "=1".11,".;, = Ьг 2 и~2 4 1 1 Л 2 2 ( — — + ) 11х = — — + — (!п7 — 1п4); 7 1!Зх/2) 7 3 1 2 следовательно, 71 = — 1п7 — —. 3 7 2) Множество Хг изображено на рис.
8.5. Оно элементарно относительно оси Ох: Хг=! — 1(у(2, д (х(у+2). Вычисляем 72 по формуле 115): г иьг 2 /У У( ) -1 г у 1у + 2 — у ) а14у = —. 63 20 Рис 8.5 — 1 3) Множество Хз неконцентричное кольцо изображено на рис 8.6. Вычисления 72 производим следующим образом. Обозначим К1 — — круг хг -Ь уг ( Лг, Кг кРУг хг+ Уг < 2гх.
Тогда Хз = = К1 '1 Кг. Продолжим функцию 72 с Лг на Кг., полагая Р41х;д) = х для 1х;у) Е е Кг. Тогда Л1 = О хс7хс)у — Ц хг)х.йу; ьг Яг Рис, 8.6 первый интеграл здесь обозначим А1, втоРой --. Аг. КРУги К1 и Кг заДаДим в виДе К1 = ! — Л < У < Л, —,/Ж вЂ” Уг < х < ЛггЛ2 — д- ),. Лг = ) — г ( у ( г, 4' — Л/Р— уг < х < г +;/Р— уг ).
По формуле 115) находим 172 Гл. 2. Кратные, нриеолинейные и поеерхностные интегралы я;г яг — уг 4 =/Ф / хг)ешО, — я так как функция х во внутреннем интеграле нечетна, туг 2-.уг г42 = / г1д / х г(х = 2г / ггггз — дз с(д = птг. — г г — г гг — уСледовательно, Гз = .41 — А2 = -ггг"'. а П р и м е р 5. Переменить порядок интегрирования в повторном интеграле 2 гш г / дх / Г(х;д) йд. о о а Неравенства 0<х<я, 0<д< < 2 зш х задают множество Х, указанное на рис. 8.7. Проекцией Х на ось Од является отрезок (О: 2). Каждая прямая д = = сопз2 Е [О: 2) пересекает множество Х Рис. 8.7 ПО ОТРЕЗКУ С КОНЦаМИ О(д) И (2(д) г КОТО- рые находим как решения уравнения д = = 281пх из отрезка (О; уг)1 о(гд) = агсзш(д(г2),,3(д) =;т — агсзш(дуг2). Таким образом, множество Х задается неравенствами 0 ( д ( 2, агсзгп(дг12) < х < гг — агсзгп(дг12). По формуле (16) имеем 2 с — агсаггг(у72) у 2г1сс / йх / Р(,.:,д)йдш / йд / Г(х;д))й о о а агсгш(угг21 Перелгена порядка в повторном интеграле иногда существенно упрощает его вычисление.
П р и м е р 6. Вычислить 1 1 Гш /йх/ Л:772йд О г А Внутренний интеграл не является элементарной функцией х: (см. (2г с. 39)). Пределы интегрирования в дааном повторном интеграле определяют треутольник (рис. 8.8), который можно задать и неравенствами 0 < д < 1, 0 < х, < д. уз. Кратный интеграл Разгони и его сеойстеи 173 Следовательно, и 1 о о П р и мер 7. Доказать, что при ~а~ ф 1 1п(а + 1 — 2асоянг) агр = ~ Г 2я1гг)а(, )а! > 1, ~а~ < 1.
о а Обозначим данный интеграл 1(а). С помощью замены уо = = я — Угг легко проверить, что 1( — а) = 1(а), т. е. 1(а) — . четная функ- ция. Очевидно, 1(О) = О. Пусть а > 1; тогда 1п(а + 1 — 2асояр) = 21па, + 1п(аг + 1 — 2аг соя~р), 1(а) = 2гг1п а + 1(аг), где аг = 1гга, О < аг < 1. Дли вычислениЯ интегРала 1(а) пРи а Е (О; 1) используем сведение его к двойному интегралу. Для а Е (О; 1) имеем аз + 1 — 2а соя р = (а — 1)г + 2а(1 — сая т) > (а — 1)г > О, — 1п(а + 1 — 2асояр) = 2 2(а — соя яг) — = 1(а'~ )' йи иг -~- 1 — 2а соя р поэтому 1(а) = / гйр~1(г; уо) гГи о о Функция 1 (г, р) непрерывна на прямоугольнике г1 = (О < ~р < я, О < 1 < а < Ц, поэтому 1 интегрируема на Г) и двойной интеграл равен любому из повторных.
Значит, о е 1(а) = ~~~(йгр) 711 71гр = / 711~, агдх г2 о о Внутренний интеграл здесь можно вычислить, например, с помощью замены и = г (р,Г2) (см. также задачу 186 из [2, 26)). Он равен пу- лю, поэтому и 1(а) = О, О < а < 1. Отсюда следует требуемое. а Пример 8. Вычислить интеграл 1 = Я 1 (х; у;х) Ихйддх, где: 1) Рг (х; д; х) = х + у + г, множество Хг ограничено плоскостями х=О, д=О, «=О., х+у+г=1; 2) 17(х; у; х) = у, множество Хг задано неравенствами ~х~ < х, О < (г(1 г(д хи+уз+ха(4 а 1) Множество Х; -- тетраэдр, который можно задать в ви- де (17): = ((х; у) с Х', О « . 1 — х — у), 174 Гл. 2.
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы где Х' =10 < х < 1, 0 < у < 1 — х) треугольник (рис 8.9). По формуле (19) имеем — 1-х — и " = 1 " 1 89 1 ~"" ) = о о о 1 1 — х 1 = ~ 4* / — (*+ р+ ) ~„илЬ = -~ 11 ~ (1 — ( + р)') Ь о о о о 1 1 1 1 — х 1 24( 3' ) ' 2/( 3 ) 1 8 о о 2) Неравенства )х! < г, 0 < г < 1 задают треутольник Х' на плоскости Охх 1рис. 8.10).
Решим исходную систему неравенств отно- Рис. 8.9 Рис. 8.10 Рис. 8.11 сительно р. Из второго и третьего неравенств следует, что р ) О, поэтому третье и четвертое неравенства равносильны системе * 4 ю 4 24 — ..1:*Ё 4424 Э .. Ю, „„, . „л„,э-Р:Рэ,.ю;,2 условию удовлетворяют все точки треугольника Х', так как для них 14 —.. — * 2124 — 2* ) 2 12*. Значит, систенла 130) инлеет решения для любой точки из Х'.
Поэтому множество Хю имеет вид 1рис. 8.11) 2*=14*: 4 .2' * ю Вэ-*'--*11 По формуле, аналогичной 119), имеем 48. Кратный интеграл Разгона и его свойства 175 1 1 = -' / й /(4-,3 — 2 2) й* = -' /((4-2 2) — -' ') Ь = о о )/(4 т 3) й о П р и м е р 9. Вычислить где с4 множество, ограниченное плоскостями 4х+ Зг = 12, 4х+ г = 4, 4д+ Зг = 12, 4д+ г = 4, 3 = О.
А Данное множество пирамида с вершиной в точке (О; 0: 4), основанием которой являетсн квадрат 1 < х < 3, 1 < у < 3 (рис. 8.12). Проекцией пирамиды на ось Оз является отрезок 1 = ~0;4). СеченияМИ Хн(3) ПИраМИдЫ ПЛОСКОСтяМИ 3 = 4 сопзз Е ~0; 4) являются квадраты, ограниченные прямыми х=З вЂ” Зз/4, х=1 — 3/4, у = 3 — 33/4, д = 1 — 3 '4.
ХПг) Иначе говоря, сечение Х'(3) задаетсн неравенствами 1 — 3/4<х<3 — 3 /4, 1 1 — 3/4 < у < 3 — Зз/4. Вычисляем данный интеграл по фор- О з муле (20): Рис 8.12 4 4 3 — Зг!4 3 — 3 /4 ,1 „( 1х+ у+ г)з л,/,/ (х+ у+ г)з о хс(0 о З вЂ” Зл!4 — — Вг 1 дх = 2 / / ~(х-Ь 3-~-г/4)г (х 4-14-33/4)з) о о Пример 10. Вычислить интегралы 1, = / /1(х;у)а1хс1д, где: х 1) /1 (х; у) = х., Х1 = ~2х < хз + дз < 6х, у < х); 2) /2(х; у) = 1/у, множество Хз ограничено прямыми д=х, у=2х, д=1 — х/2, д=4 — 2х.
176 Гл. 2. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы Л 1) Множество Хт (рис. 8.13) не явлнется элементарным относительно осей Ош, Оу;. переход к повторному интегралу в декартовых координатах требует разбиения Х1 на несколько злементарных Рис. 8.14 Рис 8.13 множеств. Введение полярных координат упрощает вид области *), а именно (рис. 8.14) 1ст = ~ — и/2 < ср < и/4, 2 соз ср < г < 6 сов ср). Используя формулу (21), получаем 11 — — О гг сов рг)гг)ср = ггг х,сл Е сов вв з,сл / соз рг)ср /' годг = — /' созлсрг)ср = — (9тг+8).
— л,сз 2 сов зв — л сз 2) Уравнения линий, огранисгиваюших данный четырехутольник Хз (рис. 8.15), запишем ввиде р/т= 1, 11/к = 2, р/(2 — т) = 1/2, Рис. 8.16 Рис. 8.15 уД2 — ш) = 2. Заменим переменные по формулам и = р/т, и = у/(2— — ш), тогда образом Х2 будет прямоугольник ГГ2 (рис. 8.16). Находим 2в 2ии д(ш,д) 4ип 4ип т = и -~- и ' и -~- и ' д(и, и) (и ж п)з ' ' 'ги ж п)з *) Рисунок области в старых или новых координатах вовсе не обнзателен длн решении задачи вычислении интеграла с помошыо замены переменных.
28. Краи»ний интеграл Рил»ана и его свойства 177 Вычисляем Хз по формуле (21): 2 2 '2=.0"" '"" '"" ='1"1 "' = 1»2 1/2 1 2 л 1 + 2 ) 172 Пример 11. Вычислить интегралы 1 = ('О 7 (тлу;г)»1ха»у»12, где: Х» О 7 О г О = Н' + ге» итг» г» -~ ", г, = » /Р + р» 4 ° 4 1. 2) 12(х;у;з) =1.
хз =((хз+у~+22)2 (4хуз, х>0, у>0); 3) 72(х; у; г) = /г/, Хз = ((хз+ у" + 22+ Ьз — ог)2 (462(хг+ 82) тор; 4) Ях; у; 2) = 2. Хд = ((х — д)2 + (у — 2)2 < Л~, 0 < х + у + 2 < < 6). й 1) Перейдем к цилиндрическим координатам х = тсозуд у = = тзш»р, 2 = 2. Множество интегрирования (конус Х» н декартовых координатах, рис. 8.17) в этих координатах задается нера- а Рнс. 8.18 Рнс. 8.17 венствами Г = (О <»Р < 2»7, 0 < т < 2 < а), т.
е. является призл»ой (рис. 8.18). Вычисляем интеграл: 2е а "=Ш,- ",—: '" 'з=1"1 "1 -;'-;'"-..= и о о о = 2н l 22 сЬ = — (2 — »/2) а . 3 6 о 2) Перейдем к сферическим координатам х = т сов;рсозф, у = = тз»п»рсоа»и, 2 = тзш»»», где т > О, 0 < 7» ( 2л, — н/2 < ы» < к72. Подстановка в заданные неравенства дает з тл < 4гз соз р 8»п р созз ф 8»п ф, тсоз рсозф > О, тз1п8ссозб > О. 12 йад ред.
Л.д.нудрнвиена, 2.2 978 Гл. 2. Кратные, ириеелииейные и пееерхиестные интегралы Поскольку г > О, сояу > О, эта система равносильна следукещей: г < 2яш2рсояз щшпги, соясе > О, 81пр > О. Из второго и третьего неравенств находим 0 < иг < гггг2. Первое неравенство имеет решении тогда и только тогда, когда 81пгй > О, т. е. 0 < ~', < л/2. Следовательно, 11з = <О < г < 2 81п 2ягсояз 6 81п у~, 0 < р < х/2, 0 < у < т/2). Совершаем замену в интеграле 19 и вычисляем его: е/з х/а зыезесое аппо 19 = ~Ц~г сояу~г1гсйрйф = / с1яг / соя'у1Ж~~ / г" Й' = ьй о о о г/Э л/2 8 з 3 81п 2сссйр / соя уя1п у~г1уС о о Далее первый интеграл можно вычислить с помощью замены соя 29г = = 1, а второй замены соя у = ж В результате получим 1з = 2гг4о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
