1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Доказать, что: 1) 1л*(Х дд Хд) = р*(Х) — ро(Хд); 2) ре(Х д, Хд) = 1лл(Х) — р*(Хд). 16. Указать два таких непересекающихся множества Хд и Хз нз Я", что 1де(Х1 д д Хз) р: дие(Хд) + ро(Хз). 17. Пусть Лд и Лз .—. открытые множества в Я". Доказать, что Р,(Х, 1ЗХз) < Р.(Х,)+Р,(Хз). 18. Указать два таких множества Хд и Хз из Я", что р.(Х, д.дХз) > ро(Х,)+ р.(Хз), 19.
Доказать, что если р*(Х) = О, то Х измеримо и р(Л) = О. 20. Доказать, что данное выше определение меры Жордана в частном случае множестна меры нуль равносильно следующему-. множество Х имеет меру нуль по Жордану, если для любого а > О существуют такие натуральное 1 и конечное покрытие од,(Х) множества Х кубами ранга й, что 1дфь(Х)) < е. 21. Доказать, что конечное множество точек в Я" имеет меру нуль. 22. Последовательность точек хд е Я", й е Н, сходится к точке из Я". Доказать, что множество (хд; 1г е Кд) имеет меру нуль. 23. Пусть о -- й-ндерная гиперплоскость в Я" (прнмая при 1 = = 1); Х -- ограниченное подмножество сд.
Доказать, что р(Х) = О. 24. Множество имеет меру нуль. Пользуясь определением меры Жордана, доказать, что: 1) любое его подмножество имеет меру нуль: 2) мера его замыкания равна нулю. 25. Пусть Х С Я" и длн любого е > 0 существует совокупность д 7. Мера Жордана. Измеримые мномеегава 15З из лн' измеримых по Жордану множеств Хз такая, что Х с О Х и ы 1=1 И(Х ) ( е (ллЛ и Хз, вообще говоРЯ, зависЯт от е). Доказать, 1=.1 что Х измеримо и р(Х) = О.
26. Пусть Х С й", дХ граница Х, аа(Х) объединение всех кубов ранга И, содержащихся в Ял(Х), но не входящих в ве(Х), й = = 0,1, ... Доказать, что дХ С оь(Х) С Ие(дХ). 27. Доказать критерий измеримости: для измеримости множества по Жордану необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченным и чтобы его граница имела меру нуль по Жордану.
28. Доказать, что измеримым по лКордану является: 1) объединение конечной сонокупности измеримых по Жордану множестн; 2) пересечение конечной совокупности измеримых по Жордану множеств; 3) разность двух измеримых по Жордану множеств. 29. Доказать монотонность меры. 30. Доказать аддитивность меры. 31.
Пусть Хл и Ха измеримые по Жордану множества в Я". Доказать, что: 1) И(Х1 лд Хз) = р(Х1 11 Хл) + лл(Хз 11 Хл) + й(Х1 рл Лл); 2) рл(Х1 Лд Хз) = д(Х1) + лл(Лз) — лл(Х1 П Хз). 32. Доказать, что замыкание Х изхлеримого по Жордану множества Х изнлеримо по Жордану и лл(Х) = лл(Х). 33. Пусть Х . -. измеримое мнозкество, шХ -. множество всех его внутренних точек. Доказать, .что шХ измеримо и лл(шХ) = = д(Х). 34. Пусть Х -- измеримое множество, ш Х --- множестпо всех его внутренних точек.
Доказать, что если Х1 С Х 1шХ, то лл(Х1) = = О. 35. Пусть Хл С И", лл(Х1) = О. Доказать, что для любого множества Л с Яа множества Х., Х глХ1, Х 11Х1 одновременно либо неизмеримы, либо измеримы, и в последнем случае р(Х) = р(Х О Хл) = д(Х '1 Х,). 36. Пусть множестеа Х1 и Ха измеримы по лКордану п Я", Х1 С С Хл и Д(Х1) = лл(Хз). Доказать, что любое множество Х такое, что Х, с Х с Лл, измеримо по Жордану в И" и рл(Х) = ли(Х1) = ла(Хз). 37.
Пусть измеримое по Жордану множество Х с Яа рассечено (и — 1)-мерной гиперплоскостью о на дпе части Х1 и Хл, т. о. все 154 Гл. 2. Кратные, нриеолинейные и поеерхноотные интегралы точки Х1 лежат по одну сторону от о, все точки Хз . - по другую и Х = Л1 0 его сг Лг, где его = о П Х, Х1 П оо = Хз й его = И. Дока- зать, что Х1 и Хз измеримы по Жордану и 44[Х1) + 44[Хе) = ц[Х). 38. Доказать, что: 1) для любого множества Х С Й" 4ле[Х) = знр р[Х'), х'сх где Х' всевозможные измеримые множества, содержащиеся в Х; 2) для любого ограниченного множества Х С Я" 44 [Х) = ш1 р[Л ), где Х' всевозможные измеримые множества, содержащие Х. 39. Множество Х С гг" таково, что для любого е > О существуют два измеримых по Жордану множества Х' и Хн таких, что Х' С Х С С Х" и 44[Хо) — д[Х') ( ж Доказать, что множество Х измеримо по Жордану и р[Х) = зпр р[Х') = 1пГ К[Хо), х'сх х" пх где Х' и Лн всевозможные измерил1ые множества, содержащиеся в Х и содержащие Х соответственно.
40. Доказать неизмеримость по Жордану множества: 1) рациональных точек отрезка [О; Ц в 11'~; 2) точек квадрата [О; Ц х [О; Ц, обе координаты которых рацио- нальны; 3) точек квадрата [О: Ц х [О; Ц, одна нз координат которых рацио- нальна, а другая нерациональна. 41. Указать в 11' неизмеримое по Жордану множество. з 42. Пусть 1Х1) -- последовательность измеримых по Жордану множеств в й", не имеющих попарно общих внутренних точек, и пусть Х = [) Х ограниченное множество. Доказать, что ряд 1=1 11[Х1) сходится и ил[Х) = ~~ ц[Л ). 1=1 1'=1 43. Доказать, что для любого открытого ограниченного непустого множества Х С Й" есть такая последовательность кубов 14 рангов Йг,.
1' Е В, не имеющих общих внутренних точек, что Х = [) 1,)1 и 1=1 д*[Х) = ~КЮ). 1=1 44. Пусть Л„-- измеримые по Жордану множества меры нуль, и Е И, и пусть Х = [) Х„измеримое по Жордану множество. п=1 т 7. Мера Жардана. Измеримые мназнеснзаа Доказать, что 1з(Х) = О. 45. Указать счетную совокупность множеств жордановой меры нуль, объединение которых пе является множеством меры нуль по Жордану. 46.
Указать неизмеримое по Жордану множество, замыкание ко- торого измеримо по Жордацу. 47. Доказать, что объединение днух непсресекаюшихся множеств, одно из которых измеримо, а другое неизмеримо по Жордану, есть множество, не измеримое по Жордану. 48. Указать два неизмеримых множества, объединение которых измеримо. 49. Доказать, что всякое замкнутое счетное ограниченное мно- жество в Я" измеримо по 1Кордацу и его мера равна нулю. У к а з а н и е. Можно воспользоваться леммой Бореля о покрытиях.
50. Пусть Х' --- измеримое по Жордану множество в И". Дока- зать, что цилиндр Х = Х' х ]а;6] измерим по Жордану в Й"~ и д т,(Х) = (Ь вЂ” а) д„(Х'). 51. Каждая из проекций множества Х С й на оси координат з измеримое множество в Я'. Обязательно ли само множество Х будет измеримым в Й 7 52. Указать в йз ограниченное неизмеримое множество, у кото- рого сечение любой прямой, параллельной одной из осей координат, есть измеримое в й множество.
53. 1) Доказать, что мера Жордана графика непрерывной ца ком- пакте функции равна нулю; 2) указать функцию, определенную на компакте, график которой неизмерим по Жордану; 3) указать непрерывную на области определения функцию, график которой неизмерим по Жордану. 54. Доказать измеримость вснкого ограниченного множества, граница которого есть объединение конечной совокупности мно- жеств, каждое из которых является либо графиком непрерывной на компакте функции, либо частью цилиндра с основанием меры нуль.
55. Доказать измеримость по Жордану: 1) круга в ззз; 2) параллелограмма в й~; 3) зллипсоида в Ин, я > 3; 4) параллелепипеда в й", и > 3. 56. Пусть Х = 1(:гз, хз): ]зз — 1) + х~ < 1), Ха = Цл,;та): (л, — 1(Я)'+ т., "< 1,з4за), и б й1. Доказать измеримость множества Х у ] ] Ха и найти его меру. а=1 ща рл. 2. Кратные, криеолинейные и поверхностные интегралы 57.
Доказать измеримость множества ((хч',хз): О < х1 ( (1/я, 0 ( (хг (~ )з1п(1/х~)(). 58. Доказать, что спрямляемая кривая в 1ла имеет жордапову меру нуль. 59. Пусть й замкнутое ограниченное выпуклое множество в Йт, функции со;(р), 1 = 1, ..., и, непрерывно дифференцируемы на Я. Доказать, что пл-мерная поверхность, заданная параметрически в виде х, = у;(у), .г = 1, ...,и, у ~ Й, имеет в Йн нулевую меру Жордана. 60. Указать непрерывную криную х = уоркс), у = ф(1), а < 1 < Ь, имеющую в Й положительную меру.
61. Указать измеримое по Жордану множество Х и непрерывную на нем функцию 1 такие, что множество Хл — — (х Е Х: 11х) > 0) неизмеримо по Жордану. а 62. Указать область в й неизмеримую по Жордану. 63. Пусть функция 1 непрерывна и неотрицательна на отрезке ~а; Ь1 Доказать, что криволинейная трапеция Ф = тсглх~',.хй): а < хл < Ь, О < хз < лллгхл)) измерима по Жордану и л р1Ф) = / У(х ) йх . а 64. Пусть функция гор) непрерывна и неотрицательна на отрезке ~о; Я, 0 < о < Д < 2я. Доказать, что сектор Ф = 1(г; со): сл < со < д, 0 < г < г(р)) изейерим по Жордану и 3 р(Ф) — ~г (р) сйр.
65. Пусть Х измеримоо множество в йн, о е 1е", и Л, = 1х; х = а+ х', х' Е Х) множество, полученное сдвигом Х на а. Доказать, что Х, измеримо и р(Х,) = р(Х). 66. Пусть Х измеримое множество в 1Г", А (и х п)-ортогональная матрица, Хл = 1х: х = Ах', х.' Е Х) множество, полученное ортогональным преобразованием .1 множества Х (поворотом, симметриями, их композициями). Доказать, что Хл измеримо и р(Хл) = р(Х). р 7. Мера Жордана. Измеримые множества 157 67. Доказать, что мера Жордана не зависит от выбора прямоугольной декартовой системы координат.
68. Доказать, что для всякого измеримого множества существуют разбиения сколь угодно малой мелкости. 69. Доказать, что для всякого открытого измеримого множества существуют разбиения сколь угодно малой мелкости, все элементы которых имеют положительную меру. 70. Пусть Х открытое измеримое множество, дХ его граница, Х1 С дХ. Доказать, что для множества Х 0Х1 существуют разбиения сколь угодно малой мелкости, все элементы которых имеют положительную меру. 71.
Указать в И" множество положительной меры, для которого не существует разбиений сколь угодно малой мелкости, все элементы которых имеют положительную меру. 72. Доказать, что для любого измеримого множества Х существУет послеДовательность вложенных Разбиений (га(Х)), т„ъ1(Х) М М т (Х), п 6 й, с мелкостньли, стрех1ящиьлися к нулю: 1пп /го(Х)! = О. 73. У1ножество Х С Яа имеет меру нуль ло Лебегу, если для любого а > 0 существует не более чем счетная совокупность замкнутых прямоугольных параллелепипедов (Рз) такая, что Х с О Р, сс 1=1 и ~у(Р,) < е.
1=1 Доказать, что; 1) если множество имеет меру нуль по Жордану, то оно имеет меру нуль и по Лебегу; 2) если множество Х имеет меру нуль по Лебегу, то для любого а > 0 существует не более чем счетная совокупность открытых параллелепипедов (Рз) такая, что Хс Ц Р и ) р(Рз.) <е; 1=1 1'=-1 3) если компакт Х имеет меру нуль по Лебегу, то он иэ|еет лзеру нуль и по Жордану.
74. Доказать, что множество всех рациональных точек отрезка [О; 1), неизмеримое по Жордану в к' (см. задачу 40, 1)), имеет в Рс' меру нуль по Лебегу. 75. Доказать, что множество: 1) из задачи 40, 2) имеет меру нуль по Лебегу; 2) из задачи 40, 3) имеет меру нуль по Лебегу. 76. Доказать, что объединение счетной совокупности множеств Рл.
2. Кратные, краеолинейнь!е и поверхностные интегралы !аз нулевой меры Лебега также имеет нулевую меру Лебега. 77. Указать множество Х нулевой меры Лебега, замыкание Х которого не нвляется множеством меры нуль по Лобегу (что, отметим, невозможно для множеств нулевой меры Жордана). ОТВЕТЫ 5. 1) Ь вЂ” а; 2) Ь вЂ” а; 3) аЬ; 4) аЬ; 5), 6) агат...а, 65. 14я/15. 8 8. Кратный интеграл Римана и его свойства СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
