1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 25
Текст из файла (страница 25)
16. Для эллипсоида хг/аг + уг/52 + гг/сг = 1 написать уравнение касательной плоскости, отсекающей на положительных полуосях ко- ординат равные отрезки. 17. Доказать, что касательные плоскости к поверхности хуг=аз, а>0, образуют с координатными плоскостями тетраэдры постоянного объема. Найти объем тетраэдров. 18. Доказать, что касательные плоскости к поверхности /х + ч/д + 3/г г= 3/а, а > О, 9 б.
Геометрические приложения 137 отсекают на координатных осях отрезки, сумма квадратов которых постоянна и равна ат. 20. Найти расстояние от начала координат до касательной плоскости к поверхности з = агстя(у/х) в ее точке (хо,уо,.зо). 21. Доказать, что все плоскости, касательные к поверхности з = х/(у/х), где /(и) --- дифференцируемая функция., имеют общую точку. 22.
Для поверхности хз — зз — 2х+ бу — 4 = 0 найти уравнения нормали, параллельной прямой х+д †я+1, Зх — 5у + Зз + 9 = О. 23. На поверхности хе+ буз — за — 4хз+ бх — 20у — 2з — 1 = 0 найти точки, в которых нормаль к поверхности перпендикулярна плоскости у = О. 24. В каких точках зллипсоида хз/20+ уз/15+ зз/14 = 1 нормаль к нему образует равные углы с осями координат? 25. Найти углы, которые образует нормаль к поверхности з = агсгя(х/у) в точке (1/4; 1/4; 77/4) с осями координат.
26. Найти точку пересечения нормали в любой точке (хо, .уе, .зо) поверхности вращения = /(~Г*'+ д') где /(и) -- дифференцируемая функция, /'(и) ~ О, с осью вращения. 27. Определить, под каким углом пересекаются поверхности; Ц з=х, хи+уз+ '=1; 2) х =аз, хи+ з=бз, Ь>0; 3) ху = аз, ъ~хз+ хв+ у/уз+ се = Ь., Ь > О.
28. Доказать ортогональность поверхностей хдз = а и 2е = х + у + /(х — у ), где /(и) дифференцируемая функция. 29. Найти углы между нормалями в точках, принадлежащих всем трем поверхностям е е е е 2 у 2 х з е х е — + — +з =1, — +у — — =1, — — у — — =1. 9 6 ' 4 4 ' 2 6 30. Доказать попарную ортогональность поверхностей: 1) х" + дз + зз = 2ах, хз + дз + ьз = 2ЬУ, ха + уз + зз = 2сз, а Р'. -О, Ь ф О, с у'= 0; 2) хз + уз + зз = аз у = Ьх хз + уз = с зз а > О с > О. 3) хз + уа + зз = аз, ху = Ьзз, 2хз + з" = с(2уз + ье), а > О, с > О. 138 Гл. Н дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 31.
Доказать, что через каькдую точку (х;д; 2), не лежащую на координатной плоскости, проходят три попарно ортогональные поверхности вида Ле '-' Ле Ь' Ле Л- — ае Ле — се -- эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды. 2 х- уе 32. К эллипсоиду — ', + —, + —, = 1, а > О, Ь > О, с > О, пронести не Ье се какую-либо касательную плоскость так, чтобы: 1) сумма длин отрезков, отсекаемых ею на координатных осях, была наименьшей; 2) центр тяжести треугольника, высекаемого на ней плоскостями координат, находился на наименьшем расстоянии от центра эллипсоида; 3) тетраэдр, ограниченный ею и координатными плоскостями, имел наименьший объем.
И сследовать особые точки кривых, заданных уравнениями (33— 35). Найти касательные в особых точках. 33. 1) хе + уз — Зху = О; 2) хз — 2хзд — д' = О; 3) х'+ у' — Зхз = О: 4) х' — 2х' + х — у' = О. 5) 2 з — 2здд + 2хуз + 2х2 — 2хд + х = О; 6) хл + хд — дл = О; 7) д4+ хауз — 4хз = О: 8) х' + у' — хз — дз = О; 9) хауз — (д+ 1)2(4 — уз) = О; 1О) х4 -Ь д4 — 822 — 1Одз+ 16 = О; 11) те — (у — 2хл)2 = О; 12) ул + 5д4 — 4хз = О; 13) хе — (у — 2)4 — хз = О; 14) д" — дл + хз = О.
34. 1) уз = ахз + х'; 2) х(хз + уз) + а(у' — хз) = О, а ф О; 3) (2а — х)дз = х(х — а)2, а ф О; 4) (хз + уз)(у — а)2 — Ьзуз = О, а > О, Ь > О; 5) уз = хз + ах + Ь; 6) дз = (:с — а)(х — Ь)(х — с), а ( Ь ( с. 35. 1) хз~з+у272 = 22~2: 2) дз = е1пхз 3) уз = е1пзх; л з у2 1 е — л.
ое) д2 1 с,— л хЯ1+ с~1'), если х ф О, О., если х= О; ) х1пх, если х у. -О, О, если х=О; 8) у" = х". 36. Определить порядок н особой точки (О, О) кривой и построить кривую в окрестности этой точки; Ц х4+2 2у 2+у2 О. 2) х4 6, 2у+2" 2 16 2 3) (хз + 4уз бх)2 (хз + 4уз) О' 4) х4 + д4 бдз + 8хзд 5) х4 + 2дз — 4хзд = О; 6) хь + да — хдз = О; уи.
Геометрические приложения 139 7) дз — хзд + ха = О; 8) (хз + дз)з — 27хздз = О. 37. Определить порядок и особой точки (О; 0) уравнения (д/3)з + (х/5)ь = О. Имеет ли кривая, определяемая этим уравнением, особые точки? 38. Найти огибающую семейства прямых: 1) д = Ст, — Сз; 2) д = Сх + 1/С; 3) д = Сх — 1п С: 4) д = Сх+ созС, ~С~ ( я/2; 5) д = Сх + /(С), / . - непрерывно дифференцируемая функция; 6) хсоаС ч- да1пС = р, р > О; 7) 3(Сх — д) = С; 8) 2Сэ(д — Сх) = 1.
39. Найти огибающую семейства прямых, образующих с координатными осями треугольники постоянной площади 5. 40. Найти огибающую семейства прямых, содержащих отрезок постоянной длины а, концы которого скользят по осям координат. 41. Доказать, что огибающая нормалей плоской кривой есть эволюта этой кривой. 42. На дугу окружности хэ + дз = аз, х > О, падает пучок параллельных лучей, направленных вдоль оси х.
Найти катакаустику, т. е. огибающую отраженных лучей. 43. Найти огибающую семейства окружностей: 1) (х — С) з + дз = Гьз; 2) (х — С) з + дз = Сз/2; 3) (х — С)э+ (д — С)з = С-; 4) (х — С)з+ да = В' — Сз, (С~ ( В/ъ/2. 44. Найти огибающую семейства окружностей, имеющих центры на параболе дз = 2х и проходящих через ее вершину. 45. Найти огибающую семейства окружностей, построенных как на диаметрах на фокальных хордах параболы дз = 8т..
46. Найти огибающую семейства эллипсов хз/аэ + дз/5з = 1, если суеима полуосей каждого эллипса постоянна и равна д. 47. Найти огибающую семейства парабол: 1) д =:, 2) х = С+ д; 3) д = хз — 2Сх — 3Сз; С ' С' 4) дэ = 2Сх + Сз; С ~ О; 5) д = Сз(х — С)-', С ф О; 6) Схз+ Сед = 1. 48.
Найти параболу безопасности, т. е. огибающую траекторий снарядов, выпущенных с начальной скоростью оо в вертикальной плоскости при всенозмоекных углах бросания се (сопротивлением воздуха пренебречь). 49. Найти огибающую семейства кривых: 140 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 1) у = Са/(х — С); 2) у = С/х — Сз; 3) х = у'/(4С) + С, С > 0; 4) ((у — С)/3)з + ((х+ С)/5)з = 0; 5) у = Се*7~; 6) у = Сейл + 1/С:, 7) д = х + з1п(х + С): 8) д = С .
18 х — Сз. 50. Найти и исследовать дискриминантную кривую семейства кривых: Ц С у = 4(С + Ц; 2) у = ( — С)'; 3) д = ( — С)'; 4) уз = (т — С)з; 5) у — С = ((х — С)/3)~ 6) ((у+ С)/5)з = ((х+ С)/7)г; 7) у = ЗСх47з — Сз 8) (2 — т)(у — С)з = хз(2+ х) 9) хз + (у — С)з = Зх(у — С); 10) (у — (х — С) ) = (х — С)'. 51. Найти огибающую семейства поверхностей: 1) з = (х — 1) соз С+ (д — 2) з1п С; 2) хз + уз + (з — С)з = Вз; 3) (х — С)з + (у — С)з + (з — С)2 = 1ьз; 4) (х — С)з + (у — С)з + (з — С)з = С-', С ф О.
52. Найти огибающую сфер радиуса 77, центры которых лежат: 1) на окружности ха + уз = гз, з = 0; 2) на конусе ха+ уз = зз. 53. Найти огибающую эллипсоидов хз/аз + д~/Ьз + зз/сз = 1, имеющих постоянный объем )з. ОТВЕТЫ у — 1 с — 1 1. 1) х + 2у — з = 2, х — 2 = — = —; 2 — 1 2) 2т + 2д — з = 2, 2 2 — 1 3) 8х+ 8у+ х+ 4 = О, = " = з — 4: к+2 у — 1 8 8 у — 1 4) х — 2у+з=О, х — 1= ' =з — 1; — 2 5)з= — 1, 1 (х=1, ~у=1; 6) 23х, — 19д+ 5з+ 60 = О, х-~-3 у — 4 с — 17 23 -19 5 7) не существуют; 8) не существуют; х 9) у — э= 1, — =у — 1 = — з; 10) х — ту+ с=О, х — г О 11) ех — з=О, е 0 — 1 у — 1 - — г/4 12) х — у+2з= —, х — 1=— 2' — 1 2 2. 1) Зх+ 4у — 12з = 169, — = у4 = з — 12; 2) х + у + Зз = 9, х — 1 = у — 2 = (з — 2)/3; 3) х + 11у + 5з = 18, х — 1 = (у — 2)/11 = (з + 1)/5; 4) 2х+ у+ 11з = 25, (х — 1)/2 = у — 1 = (з — 2)/11; Уо.
Геелаенпричесние приложения 5) 5х + 4у + е = 28, (х — 2)/5 = (у — 3)/4 = е — 6; 6) х + 2У = 4, х — 2 = (у — 1)/2 = е/О; 7) х, + у — 2е = О, х — 1 = д — 1 = (е — 1)/( — 2); 8) х + у — 4е = О, х — 2 = д — 2 = (х — 1)/( — 4). 3. 1) 12х — 9у + 2е = 9, (х — 3)/12 = (д — 5)/( — 9) = (е — 9)/2; 2) 6х + Зу — 2е = 7, (х — 1)/6 = (у — 3)/3 = (х — 4)/( — 2); 3) Зх — у — 2е + 4 = О, (х — 1)/( — 3) = у — 1 = (е — 3)/2; 4) ' (х+д) — (в111)е = 1, х = у = — ' (е — 2в111). ч/2 ч/2 хах Уау еае хнх Уну лая 4.
1) —; -1- — „-1- —, = 1; 2) — „+ —, — —, = — 1; аа Ьа са ан Ьа се хах Уау 3) — — — = х+ ео Р Ч 5.1) а =Ь = — свх — ха ау уа де — ла ха Уа »а 2) д =9' х — ха у — уа е †2) (2га — аа)хох + (2гв + аа)уоу + (2гв — ав)еох = га, г~ = хв + дв + хв > О. — о о о 7. 1) (сов'ио)х, + (вгппо)д — е = О, хоп+рву — ое = О; 3 2 ' 9 4 8. 1) (соваРо сов~Ро)х+ (совфо ЯпРо)У+ (Яиц)е = а+ Ьсов~о1 2) (сов 9ао сов цво)х + (сов ро яп ба)у — (в1п |ро)(х — !п 18 (иао/2)) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
