1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Метод Лагранжа нахождения точек условного экст р е м у м а. Пусть функции 7(х),Р,(х), 1=1 2,...,т, хе 1ч", т <па непрерывно дифференцируемы в окрестности точки ха и ранг матрицы Якоби дун( ) др (х) дхч дик (6) уравнении д г.(хе) =О, 9=1.,2,...,п, дхь уоч(ха) = О, ч = 1, 2, ..., 1п. (7) (8) Условия (7) и (8) означают соответственно, что точка ха является стационарной точкой функции Лагранжа и ее координаты удовлетворяют уравнениям связи. Достаточные условия.
Пусть функции 7(х), учч(х), 1= 1,2, ... ..., т, х Е Йе, дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности точки х, и пусть в этой точке выполня1отся необходимые условия а существования условного экстремума функции 7(х) при ограничениях (4). Тогда, если при выполнении условий и о сурч(~0) = Е 'р1( е) с1ть = О, Ей4 > О, (9) ь=1 у=1 второй дифференциал 9~1,(х~) функции Лагранжа является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой, то функция 1(х) в точке ха имеет условный строгий минимум (максимум).
д~ (:) др (х) дх1 дхн в этой точке равен т. Функцию т Рх) = У(х)+ ~Л рч(х) 1.— -1 называют функцией Лагранжа, параметры Л1, ..., Л„„.- множителями л7аграннса. При сделанных предположениях мо1кно сформулировать необходимые условия существования условного экстремума и достаточные условия наличия или отсутствия условного экстремума. Необходимые условия.
Для того чтобы точка ха являлась точкой Условного экстРемУма фУнкЦии 1(х), х = (х11...,хн), пРи уравнениях связи уч,(х) = О, 1 = 1, 2, ..., т, необходимо, чтобы ее координаты при некоторых значениях Л1, ..., Ло, удовлетворяли системе Гй. Экетрему.ни функций Если при условиях (9) второй дифференциал ааь(ха) является неопределенной квадратичной формой, то в точке х" условного экстремума нет.
3. Наибольшее и наименьшее значения функции. Для функции, непрерывной на ограниченном замкнутом множестве, существуют на этом множестве точка, .в которой функция принимает наибольшее значение, и точка, в которой функция принимает наименьшее значение (теорема Вейергатрасса. Функция, дифференцируемап в ограниченной области и непрерывная на ее границе, достигает своего наибольшего и наименьшего значений либо в стационарных точках, либо в граничных точках области. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ П р и мер 1.
Исследовать на экстремум функцию двух переменных и = хз ж Зиуа — 39х — 36у + 26 а Найдем частные производные 1-го порядка — = Зх +Зр — 39, — = 6хр — 36. ди з з ди дх др Согласно необходимым условиям экстремума (формулы (1) ) получа- ем систему уравнений г 'х +д =13, Решип эту систему, найдем все стационарные точки: (3; 2), ( — 3; — 2), (2; 3), ( — 2; — 3). Вычислим частные производные 2-го порядка: дзи ди ди —, =бх, =бр, —, =бх. дхз ' дх дд ' ддз Матрица (3) в данном случае имеет вид бх 6д Ее главные миноры Ь1 и Ьз раины 1х1 — — бх, Ьз = 6' 6 — — 36(х — р ).
6х 6р а 6р 6х В точке (3:2) они положительны; следовательно, в этой точке функ- ции имеет строгий минимум и(3; 2) = — 100. В точке ( — 3; — 2) минор 1-го порядка отрицателен, 2-го порядка положителен; следовательно, в этой точке функция имеет строгий максимум и( — 3; — 2) = 152. В точках (2;3) и ( — 2; — 3) минор 2-го порядка отрицателен, поэтому в этих стационарных точках экстремума нет. А П р и мер 2. Исследовать на экстремум функцию трех перемен- ных и = Зхз+ да+ х~ -~-бхр-2х+1. 116 Гл.
1. Дифференциальное исчисление функчий нескольких переменных я Найдем частные производные 1-го порядка: ди з ди ди — =9х +бу, — =2у+6х, — =2з — 2. дх ' ' ду де Решив систеыч Зхз + 2у = О, у+Зх=О, з — 1=0, найдем стационарные точки (2; — 6;1) и (О;0;1). Вычислим частые производные 2-го порядка: д и — 18 д и — дои — 2 д и — 6 д и — д "' — 0 дхе ' дуе дее ' дх ду ' дх дл ду де Матрица (3) в данном случае имеет нид Р ) В точке (2; — 6;1) ее главные миноры 1л1 — — 18х, 13з = 36(х — 1), Ьз = 72(х — 1) положительны.
Следовательно, в этой точке функция имеет минигиум и(2; — 6;1) = — 12. Для исследования функции в точке (О;0;1) нельзя использовать критерий Сильвестра, так как Ь1 = О. Легко видеть, что в этой точке экстремума нет. В самом деле, и(0;0;1) = = О, а в сколь угодно малой окрестности точки (О:,0:1) функция принимает как положительные, так и отрицательные значения. Например, и(е10; 1) > О, если с > О, и и(е;0,1) ( О, осли е ( О.
а П р и мер 3. Найти условные экстремумы функции и = хуз относительно уравнений связи х+ у+ з = 6, х+ 2у+ Зз = 6. я Разрешим уравнения связи относительно переменных х и у: х = з + 6, у = — 2з. Подставив найденные значения х и у в выражение для и, сведем задачу к исследованию на обычный (безусловный) экстремум функции и = — 2зз(з + 6); так как и' = — бз(з+ 4), ин = — 12(з+ 2), ин(0) = — 24, ин( — 4) = 24,. то в точке з = 0 функция имеет максимум и = О, а в точке з = — 4 минимум и = — 64.
Следовательно, исходная функция при заданных ограничениях имеет один условный максимум и(6; 0; 0) = 0 и один условный минимум и(2;8; — 4) = — 64. А П ример 4. Найти условные экстремумы функции и = 7'(х; у) = = 6 — бх — 4у относительно уравнения связи со(х; у) = хз — дз — 9 = О. д Функции 7" и со дважды непрерывно дифферснцируемы. Матрица Якоби (6) в данном случае имеет вид (2х — 2у), и ее ранг равен дй.
Экек4реку4444 функций 117 единице во всех точках, удовлетворяющих уравнению связи. Следовательно, можно применить метод Лагранжа. Запишем функцию Лагранжа: 2, 2 Цх;у) = 6 — 5х — 4у+ Л(х — у — 9). Согласно необходимым условиям (7), (8) получаем систему — = — 5+2Лх = О, дЬ дх — = — 4 — 2Лу=О, дЬ ду = хз — уз — 9 = О, из которой находим х = — 5, у = 4 при Л = — 1/2 и х = 5, у = — 4 и Л = 1/2.
Таким образом, функция 7' может иметь условный экстремум только в двух точках: ( — 5;4) и (5; — 4). Вычислим второй дифференциал функции Лагранжа. Так как —, =2Л, =О, —, = — 2Л, то о21,=2Л(дхз — ддз). дхе ' дх ду ' дуе Найдем первый дифференциал функции ум йуе = х дх — д 41д. В точках ( — 5;4) и (5; — 4) дифференциалы 4(х и ду связаны равенством 5 41х + 4 ду = О (условие (9)). Нри выполнении этого условия второй дифференциал функции Лагранжа в точке ( — 5: 4) является положительно определенной квадратичной формой ~21 9 ~ 2 16 а в точке (5; — 4) отрицательно определенной формой 425 9 ~2 16 Следовательно, функция 7' в точке ( — 5;4) имеет условный минилзум и( — 5; 4) = 15, а в точке (5; — 4) условный максимум и(5: — 4) = = — 3. А ЗАДАЧИ Исследовать функцию и(х; у) на экстремум (1 — 8).
1. 1) и = хз + 2 у + уз — 12х — Зд; 2) и = 3+ 2х — у — хз+ ху — уз: 3) и = Зх+ 6у — хз — ху+ уз; 4) и = 4хз — 4ху -~- уз + 4х — 2у + 1. 2. 1) и = 3(ха+ уз) — хз + 4д; 2) и = Зхзу+ уз — 12х — 15д+ 3; 3) и = 2хз + туз + 5хз + уз; 4) и = Зхз + уз — Зуз — х — 1; 5) и = хз + уз + Заху.
3. 1) и = хзуз — 2хуз — бхзу+ 12ху; 2) и, = х4 + у4 — 2хз; 3) и = х' + у' — 2(х — у)'-; 4) и = 2х'+ р" — хз — 2д', 5) и = хуз(12 — х — у), х > О, у > О; 6) и = хздз(6 — х — у). 118 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переькеннь(х 4. 1) и = (х + у))(ху) — ху: 2) и = 8)х + х)у + у; 3) и = 81(1(х+ 1)у) — (хг + ху+ уг); 4) и = ху+ а,гх+ Ьг(у. 5. 1) и = Зхг — 2х /у+ у — 8х; 2) и = х~/Т + у + уъ~Т+ х, х > — 1, у > — 1; 3) и = 1 -)- хг -1- Лзгг(у -1- 2)г.
4) и = 1+ уг — Ле(Г(х — 2)л. ю( =.ю,/юю-юк:ю'; ю( ° = +"'"', "ююлю..' ю. ю (("=(*ююь(*": ю("=(*1 — юю'(' ', 3) а = (8хг — бху+ Зуг)ег'"з'( 4) а = (5 — 2х+ у)ел 5) и = хзг(3+ Зхге" — е "; 6) и = (25 — 5х — 7У)е )к ехл+д ); 7) и = (атг + Ьуг)е 1' з" ), а > О, Ь > О. 7.
1) и = ха +ху+ уз — 41пх — 101пд; 2) и = 108 1пх — хуг + уз,(3 3) и = хг + уг — 321п(ху); 4) и = ху1п(хг + уг). 8. 1) и = яп х + соз у + соа(х — у), х Е (О; кг(2), у Е (О; к/2); 2) и = яп т яп у яп(х + у), х 6 (О; к), у Е (О;.г); 3) и = х+у+4япхяпу; 4) и = (1+ с") соек — уе". 9. Найти все стационарные точки функпии и = хе+ ую — 2хг и исследовать се на экстремум. Можно ли использовать при этом достаточные условия строгого экстремума? 10. Доказать, что функция и = (уг — х)(уг — 2х): 1) вдоль каждой прямой, преходив(ей через точку (О;0)ю имеет в этой точке минимулц 2) не имеет минимума в точке (О; 0).
11. Может ли непрерывно дифференцируемая функция и(х;у) иметь бесконечное множество строгих максимумов и ни одного мин илгу л(а? 12. Верно ли утверждение: если непрерывно дифференцируемая функция и(х;у), (х;у) Е Й, имеет только одну стационарную точ- кУ (хо(до), в котоРой У нее локальный минимУлц то спРаведливо неравенство и(т;у) > и(хо;уо), (х;д) Е )? ? Исследовать функцию и(х:у;х) на экстремум (13 — 15).
13. 1) и = хг + уг + (х + 1)г — ху + х; 2) а = 8 — бх + 4у — 2х — хг уг .г. 3) и = хг + уг — хг — 4х + 6д — 2х; 4) и = хз + уг + хг + 6ху — 4х; 5) и = зух(16 — х — д — 2г); 6) и = хдгхз(49 — х — 2д — Зх). 14. 1) и= х+х+1; 2) и= — + — + — +х; ту+хе +у х 256 х' у" хух х у х 4 З. Эксн4ре44уни функций 119 3) и = х+ — ' + — + —; 4) и = — + — + —. уз хз 2 х у 4х у ух хх ху 15. 1) и = з1пх+ з1пд+ з1пх — яп(х+ у+ х), х,д,х Е (О;л); 2) и = (Х + 7Х)С 1х тр т' 1; 3) и = 21пх+ 31пу+ 51пз+ 1п(22 — х — д — х). 16. Исследовать функцию и(х), х 6 17", хь > О, Ь = 1,2,...,и, на экстремум: 1) и = х1хз...х„"(1 — ~ кх1.4~; и 1=.1 2) и=~ 1', Ха=а>0, Хнх1=Ь>0. хь ь=о 17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
