1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Исследовать на экстремум непрерывно дифференцируемую функцию ц = и(х; у), заданную неявно условиями: 1) хе+ уз+ из — 4х — бу — 4и+ 8 = О, и > 2;1 2) 25хз + дз + 16 из — 50х + 64и — 311 = О, и < — 2; 3) х~ + 4у + 9из — бх + 8у — Зби = О, и > 2; 4) (хз + уз+ из)з = 8(хз + уз — из), и > 0; 5) (хз + дз + из + 9) з = 100(хз + дз), и < О. 18. Исследовать на строгий экстремум каждую непрерывно дифференцируемую функцию и = и(х; у), заданную неявно уравнением: 1) хз+ у'+ из+ 2х — 2у+ 4и — 3 = 0; 2) 2хз+ 2ут+ из + Зуи — и+ 8 = 0; 3) хз — уз + аз — Зх+ 4у+ ц — 8 = О, 4) (хз 1 уз)з, и4 8(хз + уз) 10из 16 0 19. Найти условцыс экстремумы функции и = г" (х; д) относительно заданного уравнении связи: 1) и = ху, х + у — 1 = 0; 2) и = хз + уз, Зт + 2д — 6 = 0; 3) = хз — дз, 2х — у — 3 = 0; 4) ц = хуз, х+ 2у — 1 = 0; 5) и = соззх+ созз у, х — д — л/4 = О.
20. Относительно уравнения связи х/а -1- у41Ь вЂ” 1 = 0 найти условные экстремумы функции и = Г(х; д): 1) ц=ху 2) и=хе+уз. 3) и=хе у' 4) и=худ 21. Найти условные экстремумы функции и = г'(х: у) относительно заданного уравнения связи: 1) и = 5 — Зх — 4д, хт + дз = 25; 2) и = 1 — 4х — 8д, х' — 8уз = 8; 3) и = т- + ту+ дз, хз+ у = 1; 4) и = 2хз + 12хд + у-', хз + 4уз = 25; 5) и=х1а+у(Ь, хе+уз=ге, г>0. 22.
Исследовать функцию и = 7" (х; у) на условный экстремум при заданных уравнениях связи (выяснить, можно ли при этом использо- 120 Гл. и Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных вать метод Лагранжа): 1) и = (х — 1)г + (у + 1)г, а) хг + уг — 2ху = О, 6) х — у = 0; 2) и=хе+де, (х — 1)г — уз=О.
23. Исследовать функцию и = 1(х; у) на условный экстремум при заданных уравненинх связи: 1 1 1 1 1 1) а = 1+ — + —, —,, + —, = —; 2) и = 1пху, хе + ху+ уз = О. х у' хе уе 8' 24. Верно ли для непрерывно дифференцируемых функций Г" (х; д), Г(х; у) следующее утверждение: точка условного локального экстремума функции 1(х,у) относительно уравнения связи Чс(х;у) = 0 является стационарной точкой функции Лагранжа Г(х;у) = Г'(х;д) + л р(х:,у)7 25. Найти условные экстремумы функции и = 1(х;у;г) при заданном уравнении связи; 1) и = 2хг + Зуг + 4гг, т + у + г = 13; 2) а = хдггз, х + у + г = 12, х > О, у > О, г > О; 3) и = хгузгл 2х + Зу ж 4г = 18, х > О у > О г > О 4) и = з1пх зги д зря г, х+ у+ г = я/2, х > О, у > О, г > 0; 5) и = х — 2у+ 2г, х'+ уз+ ге = 9.
6) ц =х д+2г хе+уз+2гг = 16; 7) и = хуг, хе + уз + -г = 3; 8) и = ху+ 2хг+ 2уг, хуг = 108; 0) ц те+уз 1 гг хг/аз+уз/5г+ге/гг 1 а > Ь > с > О 10) и=х+у+г, а/х+Ь|у+с/г=1, а,>0, Ь>0, с>0. 26. Найти условные экстремумы функции и = 1(х, у., г) при заданных уравнениях связи: 1) и = хуг, х+ д — г = 3, .х — у — г = 8; 2) и=хуг, ху+уг+гх=8, х-~-у+г=5; 3) и = ху+ уг, тг + уг = 2, у+ г = 2, у > О; 4) а = хг + уг + г, х /4 + уг + г = 1, х + у + г = 0; о) и — (х 1)г + (д 2)г,.
(г 3)г хг + г + гг — 21 Зх+ 2у+ -ьг = 0;. 6) ц хг/4+ уг, гг хг, уг, гг 1 х+ 2у 1 Зг О 27. Найти условныеэкстремумыфункции и=1(х), хе Й",. п,>1, при заданном уравнении связи; и и 1) а = ~~ аех,, ~ ~х, = 1, а, > 0; с=1 ь=1 ьь н 2) и = ~ хг, ~~ †' = 1, а, > 0; ;=1 ,=1 и и 3) ц=~х;, ~х;=а, о>0, а>0; ь=г т 5. Экенлреллрлли фрнкиий 121 п Ьх,=1, ал>0, Ьл>0, хл = а, ал > О, а > 0; 6) 1=1 4) и=~ тл' 5)и Пх хл > 0; и п и = ~алхл, ~х, = 1. 1=1 1=1 Найти нанбольшес М н нанменьшес лп значения функции и на заданном множестве 128-33). 28. 1) и = ху + х + д, — 2 < х < 2.
— 2 < у < 4; 2) и = хл — ту+ у, ~х( < 2, ~р~ < 3; 3) и=хе+уз — 4х, .— 2(х(1, — 1(у(3; 4) и=те+уз — Зхр, 0(х(2, — 1(у(2; 5) и = хз + 8уз — 6ху+ 1, 0 < х < 2, ~у~ < 1; 6) и = х + (х — у(, (х! < 1, )у( < 2; 7) и = тл — ху + ул, (х! -~- )у! ( 1: 8) и = 1х + у)сел, -2 ( х + д < 1.
29. 1) и=1+х+2у, т+у<1, х>0, у>0; 2) и = х+ Зр, т+ д < 6, х+ 4д > 4, у < 2:, 3) и = хз — 2у+ 3, у — х < 1, х < О, у > О; 4) и = хл + ул — ту — х — у, .х+ у < 3, х > О, у > 0; 5) лл = ху(6 — х — д), т + у < 12, х > О, д > 0; 6) и = злах+ зля д — алп1х+ у), х+ у ( 2я, х > О, у > О. 30. 1) и=З+2хр, а) хе+уз(1, б) 4(хз+уз(9; 2) и = 1х — 6)2 + 1у + 8)-', хл + уз ( 25; 5) и = ул — хл. хз + ул ( 9: 6) и = (уз — хл)е' ' +", хз + уз ( 4. 31.
1) и=х+2у+Зз, х+у<3, х+у<з, Зх+Зу>з, х>0, д>0; 2) и = Зз — у — 2х, х + у > 2, Зх + у < 6, 0 < з < 3, х > 0; 3) и = х+у+ з, хе+уз ( з < 1; 4) лл = хе + 2ул + 322, хе + уз + за < 100. а а 32. и=~ хл, ~ ~хл <1. 33 1) и=г+р — з те+уз=1 у+а=1 2) и = хл + 2дл + Ззз хл + дз + з~ = 1 х + 2у + Зз = О. 3) и = Зхз + 4дз + 522 + 4тд — 4уз хз + уз + ьз = 1.
4) и = ул + 422 — 2ху — 2хз — 4рз, 2хл + Зул + без = 1. 34. Найти наибольшее ЛХ н наименьшее т значения функции и: Ч =(р — В'+ю', еа=~ +Н вЂ” Л- н-Ф', 3) и 12тз 1 рз)Е1 — е' — Е'. 4) и Лтз 1 уз Ч 2)Š— 1е'Л-зр'Н-З~'Л 122 Гл. Д Дифференциелъное исчисление функций нескольких переменных 35. Верно ли утвернчдение: если Г(х), х 6 Я", -- многочлен, то ~Р(х)~ достигает в Й" своего наименьшего значения? 36. Доказать, что наибольшее и наименьшее значения функции п и = ~ агах;хю а,ь = аьо п ьь=1 на сфере ~ х, = 1 равны наибольшему и наименьшему корню хач=1 рактеристического уравнения матрицы (агь).
37. Найти расстояние между кривой и прямой; 1) р=х-', х — р — 5=0; 2) хз — де=3, р — 2х=О: 3) 9хз + 4дз = 36, Зх+ р — 9 = О; 4) 2тз — 4хд + 2дз — х — д = О, 9х — 7р + 16 = О. 38. Найти точку, для которой сумма квадратов расстояний от прямых х = О, д = О, х + 2д — 16 = 0 наименьшая. 39. Найти наименьшую площадь треугольника, описанного около эллипса с полуосями а и Ь так, что одна из сторон треугольника параллельна большой оси эллипса. 40.
Найти полуоси эллипса 7хз — бхд + 7дз = 8. 41. Найти наибольшее расстояние от центра эллипса с полуося- ми а и Ь до его нормалей. 42. На плоскости х + р — 2х = 0 найти точку, сумма квадратов расстояний которой от плоскостей х+ Зх — 6 = 0 и д+ Зх — 2 = О была бы наименьшей. 43. Найти расстояние от точки (О; 3; 3) до кривой хз + рх + хз = 1, х + д -ь х = 1. 44. Найти расстояние между поверхностями хз/96+ де+ хз = 1 и Зх+ 4д+ 12х = 288. 45.
Найти наибольший объем, который может иметь прямоуголь- ный параллелепипед, если: 1) поверхность его равна Я; 2) сумма длин ребер равна а. 46. Найти наибольший объем, который может иметь прямоуголь- ный параллелепипед, вписанный: 1) в полусферу радиуса 77; 2) н прямой круговой конус, радиус основания которого равен г, а высота Н, 3) в эллипсоид, полуоси которого равны а, Ь, с; 4) в сегмент эллиптического параболоида х/с = хз/аз + д~/Ь, х = Ь, а > О, Ь > О, с > О, й > О. 47. Определить наибольшую вместимость цилиндрического вед- ра, поверхность которого (без крышки) равна Я. 45.
Экек ремулы функций 48. Определить наибольшую вместимость конической воронки, поверхность которой ранна Я. 49. Определить наибольшую вместимость цилиндрической ванны с полукруглым поперечным сечением, если поверхность ванны равна Я. 50. Найти наибольший объем тела, образованного вращением треугольника с периметром р вокрут одной из его сторон.
51. Найти наименьшую поверхность, которую может иметь прямоугольный параллелепипед, если его объем равен 1'. 52. Определить наименьшее количество материала, необходимого для изготовления шатра заданного объема и', имеющего форму цилиндра с конической крышей. 53. Тело представляет собой две пирамиды и прямоугольный параллелепипед., основания которого совмещены с основаниями двух одинаковых правильных пирамид. При каком угле наклона боковых граней пирамид к их основаниям поверхность такого тела будет наименьшей, если его объем равен $'? 54. Определить размеры открытого прямоугольного акнариума с заданной толщиной стенок д и емкостью 1; на изготовление которого потребуется наименьшее количество материала.
55. Найти плошадь плоской фигуры, ограниченной эллипсом (а > >О, .Ь>0, с>0): / Лх+ Ву+ Сз = О... ) .4х+ Вр+ Сз = О, хз/аз+у~/Ьз = 1: ) ) хз)аз ч- уз,16з -~-зз(сз = 1. 56. Число а > 0 разложено па и положительных множителей так, что: 1) сумма их кубов наименьшая; 2) сумма их обратных величин наименьшая. Найти значения суммы. 57. Пусть физические величины х и у связаны неизвестной линейной зависимостью д = ат, + Ь. В результате и измерений получены с некоторой погрешностью следующие пары значений: (х~,.рг), (хз, .р ), ..., (х„; 9„).
Согласно принципу наименьших квадратов, наиболее веронтными значениями коэффициентов а и Ь считаются те, при которых достигает паимспыпего значения. Найти наиболее вероятные значения а, Ь для коэффициентов а и Ь. 58. В результате последовательных центральных соударений абсолютно упрутих шаров с массами М > т„> т„з » ... тз > пз 124 Гл. 1. Дифференниелъное исчисление функций нескольких переменных тело с массой т приобретает скорость 7н! 7не тн 2 "е'Ъ' т -~- тл тч -~- т т„, 4- те те -'; ЛХ где Т' скорость тела с массой М. Как следует выбрать массы тч, тек ...,т„, чтобы тело массы т приобрело наибольшую скорость'? Найти значение наибольшей скорости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
