1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 18
Текст из файла (страница 18)
ди ди да дхг ду' дсг 32. Доказать, что; 1) функция и(с,х) = елдлс О удовлетворяет уравнению 2аьзЯ теплопроводности ди г дги — = а — ,; дс дхз ' 2) если функция и(с,х) удовлетворяет уравнению теплопроводности, то функция е(с,х) = е ~ " )и также удовлетворяет этому уравнению. 33. Доказать, что функция с и(сйха, ..цха) = е ', с = зз хь, — сзр4мзц г ч,,г (2асзпг)'" удовлетворяет п-мерному уравнению теплопроводности ди г ди — =а дс дх'„ ь.=з 1,.2 34.
Доказать, что функция и(с;х) = — е'з Дзд удовлетворяет уравнению Шредингера . ди дзи г — + —,, =О. дг дхг 33. 1) Пусть 1 и д - . дважды дифференцируемые функции. Доказать, что функция удовлетворяет уравнению д и = О. д ду 2) Найти функцию и(х;у), удовлетворяюзцую условиям: а) =О, и(хх) =х, ' =х; де и ди(х х) г, дхду ' ' ' дх д" а б) = х+у, и(х;0) = з1пх, и(0;зу) = у. дх ду 96 Гл.
д дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 36. Доказать, что одномерному волновому уравнению ди зда д1д дхе удовлетворяют следующие функции: 1) и = х/(хз — ах1з); 2) и = А61пыхсоааы1; 3) и = 1'(х + а1) + д(х — а1), где 1" и д --. произвольные дважды дифференцируемые функции. 37. Найти функцию и(1;х), удовлетворяюн1ую условиям дои деи ( 2 ) ди(й 2С) а 1 к - .""ь» х*:ь)= а-'1е — хе — уе рвет двулчерному волновому уравнению 39. Пусть )' и д произвольные дважды дифференцируемые функции.
Доказать, что функция и удовлетворяет данному уравнению: дои дои дои 1) и=х)(х+у)+уд(х+у), .—, — 2 + —, =0; дх' дх ду дуе 2) и = Г(х+ 21)еечх ' + д(х — 21), —, — 4 —, + 2 — + 4 — ' = О; д1е дхе д1 дх 3) и = ) (ху) +,/лу д~ — ), т, —, — у — „= О;. ру1 зди идеи ~х)' " дх- дуе )(х — 1) Ч- д(х Ч-а) д'и д и 2 ди х дд дхе х дх' ди ди 1ди 5) и = д(х+ 2ч — у) +д(х — 2ьГ:у), —, + у —, + — — = О, дхе дуе 2 ду у<О; ч'хт хд'и ад'и ди ди 6) и=)(ху)+д( — ), х —,, — у- —, =у —, — х —; 'ч у)' дхе ' дуе ду дх ' 7) и = д(х)д(у), и д и ди ди дхду дх ду ' ди ди, ди ди 8) и = )(х+ д(у)), дх дх ду ду дх' ' 40.
1) Доказать, что п раз дифференцируемая однородная степе- ни о (22, (1)) в области С С й~ функция Г" удовлетворяет в облас- ти С уравнению ( д д д п х — +у — + х — ) Г = о(о — 1)...(а — и+ 1)Г. дх ду дх ч) ь, (* — чь — ч* — ) С Х= й' чу-ь*, д д д~а з 3 2 дх дд дх) ха+уз+ха > О. Уаслпные производные. Формула Тейлора 97 с и+и =х, и- — оз = д, и(3; 3) = 2, о(3; 3) = 1.
7 Под ред. лзПД.Кудрнеиеее, л. 3 41. Найти в указанной точке частные производные второго по- рядка функции и(х; у), заданной неянно уравнением: 1) 2хл+ 2ул+ ил — 8хи — лл+ 8 = О., (2;0;1); 2) т'ллаг + уг/Ьа — иг/сг = 1 (а Ь: с). 42. Найти частные производные второго порядка функции и(х; у), заданной неявно уравнением: 1) еи = с*ьеь"; 2) и = т+ агс18 (у)(и — х)). 43. Найти второй дифференциал функции и(х;у) в точке Мо(хо, уо), если и(х; у) — дифференцируемая функции, заданная ука- занным ниже уравнением и такал, что и(хо, уо) = А, если: 1) 2хуи + (4уз — 2хз)и+ Зтлуа — 4 = О, лл(2; 1) = 2:, 2) из — Зхуи — 2 = О, и(1; 1) = 2; 3) из + ти + уг = О, и( — 2; 1) = 1; 4) т + и = е"", и(0; 0) = 1; 5) из + 2уи+ ту = О, и(1:, — 1) = — 1; 6) у — и = еаи, и(1; 1) = О.
44. Найти второй дифференциал функнии и(х; у), заданной неяв- но уравнением: 1) хгЛлаг + дз,7Ьг + и 7сс = 1; 2) х+ д + и = е; 3) и = 1п(уи — т); 4) ллъ~ ' — дг = 18М~I*'-' — да) 45. Пусть уравнением: 1) 7" (хи;уи) = О, 2) 7'(х;х+ у;х+ у+ и) = 0; где 7" — дважды дифференцируемая функция, определяется дважды д и диффсренцируемая функция и(х;д). Найти дх ' 46. Пусть уравнением: 1) л'(х+ и;у+ и) = 0; 2) л(хли;ули) = 0; где 1 дважды дифференцируемая функция, определяется дважды дифференцируеман функция и(х; у).
Найти аж и(х; д). 47. Доказать, что если уравнениелл у = х7" (зл) + д(и), где 7" и д дважды дифференцируемые функции, определяетсн дважды диффе- ренцируемая функция и(х; у), то она удовлетворяет уравнению 48. Пусть и = Г(и), где р(х;у) функция, определяемая неявно уравнением о = х+ д1(и). д"и д" ' л н ди т Доказать формулу Пагранлса =, ~~н — ).
д ш(3; 3) 49. Найти ' ', если ш = и(х; у)о(х; у), а функции и(х; у) дх ду и и(х; у) заданы неявно системой уравнений 98 Гл. и Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 50. Найти в точке 10; к/2) дифференциалы с1зи, с1зи, если функции и(х;у) и и1х;у) заданы неявно системой уравнений < и+о=х+у, чши х и(0; — ) =;т, и(0; — ) = — —. сйпо у 51. Преобразовать уравнение к полярным координатам, полагая х = тгозуо, у = тейп ус: 1) — + — =0; 2) х — +2ху +у — =0; ди ди идеи ди з ди дх' дуе ' дхе дх ду дуе зди ди иди ди ди 3) у — „— 2ху +х —, — х — — д — =О.
дхе дх ду дуе дх ду 52. Преобразовать уравнение, .принимая и и и за новые независимые переменные: д'х ; дел 1) —,, = аз —,, и = х — а1, и = х + а1: д1е дхе ' д'е д'е д'с дс де 2) —, + — 6 —,, + — + 3 — = О, и = у — Зх, и = у + 2х; дхе дх ду дуе дх ду г 3) —,, — 2 + — =О, и=х, о=х+у; дхе дх ду ду' дее д'е 4) —,, + —, +а~с =О, х =еисоеп, у =еишпо; дхе дуе де де 5) 21х+ у) — + — = О, и = х, и =;~я+ у; ду' дх здх хдее у 6) х — „— у —, =О, и=ту, е= — '; ., д'. д-'.
, д-'. д. д. 7) Зхь —,, — 4хд +у —, +Зх — +у — = О, и = ху, дхе ' дх ду дуе ' дх ду и = ху; з дее дех з д"е х дс у дл 8) х —, +2ху +у —, + — — + — — = 0; дхе дх ду дуе 2 дх 2 ду О) 11 + х ) —,, + 11 + у ) —, + х — + у — = 0; 2 дел де ддхе ' дуе дх ' ду дее . д'х , дее х 10) а1п х,—, — 2узшх +у- —,, =О, и=уь8 — ', и=у.
дхе дхду дуе ' ' 2' 53. Решить уравнение, введя новые независимые поремен- ныеи, о: дее дее дее де де 1) —,, — 4 +3 —, +4 — — 12 — =О, и=у+Зх, и=1ч+ дхч дх ду дуе дх ду +х; 2) — ",, — 4х —,, = — —, х>0, и=у — х, и=д+х. д" зде 1 де,з 2 д*е дуе х дх дес д-'е 54. Доказать, что уравнение Лапласа скх = †, + †, = 0 не издхе дуе Уасганые производные. Формула Тейлора 99 меняется при любой замене независимых переменных х = х1и:, и), р = д1и; и), удовлетворяющих условиям дх др дх др дух, р) ди до' до ди' д)и,г) 55.
Преобразовать уравнение, принимая и и о за новые независимые переменные: дзз д з дзе 1) —,, +2 + —, =О, и=х+з, и=д+з; д*з дх др дрз д хз 2) =(1+ — ), и=х, о=д+з. дд ~ д)' 56. Преобразовать уравнение, принимая ю1х:д) за новую функцию: 1) +а — +Ь вЂ” +се=О. з=юе ~е' '"), а, Ь, с постодзз дз дз дх др дх др янные; 2) з( —, + —,,) = ( — ) + ( — ), ю к хз. 57. Преобразовать уравнение, принимая и, е за новые независимые переменные и ю за новую функцию: 1) — „— 2 +(1+ — ) —, =О, и=х, и=х+д, ю=х+ дхз дхдр 'г х ) дре +р+3; дее дз 2 2) д —, +2 — = —, ди=х, е=х, ю=хе — р; дрз др дзз дзе дз 3) —, +, + — =з, 2и=х+д, 2о=х — р., зо=еез; дхз дх др дх , д-'е ., дз.
д. д. 4) 11 — х ) —,, +11 — д-) —,, =х — -Кд —, х=з)пи, д=з)пе, дхз дрз ' дх др' з=е '; де дзе, де 1 5) г1 — х ) —, — —, — 2х — = — е, ~х) ( 1, 2и = р+агссозх, дхз дрз дх 4 2е = р — агссозх, и = 11 — хз)гзлз;. д'з д" е дзс 6) с)11 + с)) —., — 11 + р + д + 2рд) + р11 + р) —,, = О, где р = дхз дх др дре де дз = —, с)= —; и=х+з, о=зр+з, ю=х+д+з. дх' др' 58. Введя новые независимые переменные и = х+ д, и = зр/х и новую функцию ю = з,сх, решить уравнение 3 дхз дх др др' 59. Преобразовать, приняв за новые независимыо переменные р и х, а за новую функцию х, уравнение; 100 Гл.
и Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (дхду) дхг дуг' , д-'. д-'. , дг. д. д. 2) х, 2ру +0,-0,р-, ядхг дх ду дуг ' дх ' ду 60. Преобразовать, приняв за новые независимые переменные и, х, 1, уравнение: ди~ дги дсо дсо дсе 1) —., — 4, +2 +4 — „+ —. =О, и=х, 2о=х+ дхг дх ду дх дг дуг дгг +д+г, 21=3х+д — г; )4 4 2 +д +д О х, х+ дхг дхду дуде ду дг ' 2 ' 2 1= — — — у+г. 2 61. Преобразовать уравнение, принимая за новые независимые пе- ременные ды Уг, Уз: де 7ь к ги О д х, + хг + х„ дг = х~ — хг + хз, уз = л дх;дх ~<1=.1 = хг + хг — хз; 3 ди 2) ~ хеху - О у = †, Уг = †, Уз = хг — хз.
дх,дх, Яд=1 дги дги д'и 62. Преобразовать уравнение Лапласа †, + †, + †, = 0 к д*г дуг дгг сферическим координатам, полагая х = гсояуосояф, у = гя1пуосояф, г = гяупф, и и,— г к ди к ди 1ди 63. Преобразовать уравнение дх- 'г-л дль дхь„2 дх-,' ' ь=г принимая за новые независимые переменные е у, = ~ хй, г =1,2,...,п. у=1 /дгчгч де дг дг де 64.
Преобразовать уравнение (1 + ( — ) ) †, — 2 — — + 'чду) ) дхг дх ду дхду д(дг/дх, дг/ду) + (1 + ( †) ) †, = 0 при условии ' ф О, применяя дх дуг д(х, у) преобразование Лежандра, т. е, принимая за новые независимые переменные и = дг/дх, и = дг/ду, а и: = хи + уе — г за новую функцию. 65. Разложить по формуле Тейлора функцию 1(х,у) в окрестности заданной точки: 1) ((х;д) = †+ 2ху + Зуг — 6х, — 2у — 4, ( — 2; 1); 2) )(х;у) = 2хг — ху — уг — бх — Зу. (1; -2); 3) 1(х; у) = хз — 2уя + Зху (1. 2) егасганые ароизводаые. Формула Тейлора ьц .1) г(х. у) — хя 5хз ху + уз + 10а.
+ оу (2. 1) 66. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (хо,уа) функцию Х(х; у) = ах~ + 25ху + суа, а, Ь, с -- постоянные. 67. Разложить по формуле Тейлора функцию Х(х: д; е) в окрестности заданной точки: 1) Х(х;у; е) = (х+ у+ е)з, (1; 1; — 2); 2) Х(х:у, ) = ха+3 '-' — 2д — 3, (О;1;2); 3) Х(х;у; е) = хде, (1; 2,3); 4) Х'(х.д , ) ха+ уз+ в Зхдя (1.0.1) 68. Выписать члены до второго порядка включительно формулы Тейлора для функции Х(х; у) в окрестности заданной точки: 1) Х(х;у) = 1Дх — у), (2; Ц; 2) Х(х;д) = тХх+ у, (2:2): 3) Х(х;У) = агсгй(хХУ), (1:1); 4) Х(т;У) = Я1пхсоЯУ, (ха;Уо). 69. Разложить функцию Х(х: у) = хтХТ+ д по формуле Маклорена до о(р ), р = т/тз + уз; и записать остаточный член второго порядка в форме Лагранжа. 70. Разложить функцию Х(х; у) в окрестности точки (ха,.уо) по фоРмУле ТейлоРа до о(РЯ), Р = (х — хо)Я+(У вЂ” Уа)а, и записать остаточный член 2-го порядка в форме Лагранжа, если: 1) Х(х:у) = я1пхя1пд, хо = уо = т~4; 2) Х(х' у) = х'": ха = уа = 1 71.
Разложить функцию Х(х: у) по формуле Тейлора в окрестности точки ЛХо(ха,.'Уо) до о(РЯ), где Ра = (х — хо) + (У вЂ” до)з, если: 1) У(х;У) =,: Мо(0'0)' 2) Х(х;У) = агс18 х, ЛХа(0;0); сову ' 1-~-у' 3) Х(*;у) = ('+х) +,('""', Х)6 К, Мо(0;О); 4) х'(х;у) = агс18(хзд — 2е' '), Лйо(1;3)' 5) Х(х; д) = аггя1п( 2х — — ху), ЛХо( — 1; 1); 3 2 6) Х(х; У) = соа(3агсхйпх+ Уа — 2хд), ЛХо(1/2: 1); 7) У(х; у) = 1п(л — 4агстях+ ха/у), Мо(1;1), ге. е. Е,е угв,мьг,е„,,ар) е де.~е у Л функцию Х(х; д; е) = соя х соя у соя е — соя(х + у + е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
