1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 13
Текст из файла (страница 13)
3. Найти частные производные первого порядка функции У(х;у;х): 1) г =ту+а*е *' 2) З=; 3) х 4) 7' = — + агс18 — + агс18 -'; 5) 7" = хвр; 6) 1 = ( -' 1 х ~у/ 4. Найти частные производные первого порядка функции г(х), хс й") 66 Гл. й Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 5. Вычислить х — + у —, если: дф дф дх ду ' 1) с ~,усхГ+г.
2) с 1псхг + х, + „г) дф дф дф б. Вычислить — + — + †, если: дх ду дз ' 1) З' = (х — у)(у — з)(з — х); 2) Г" = х + (х — у)~(у — х). 7. Вычислить — + — + — в точке (1; 1: 1), если: дф дф дф дх ду д. ц с 1пс.з+„з+ з 2 у ). 2) с 1п11+, +,г+ з) 4 ч дф х1 — хг хч — х1 8. Вычислить ~ —, если Г" = ' + ' дх, ' хз — х4 хг — хз ч=1 9. Решить систему уравнений — = — = О, если дф дф дх ду 1 = тч ~ е е— Л вЂ” у .
10. Найти приращение Ь~ и дифференциал 111 функции 1 = хгу в точках: 1) (1;1); 2) (1;0); 3) (О;0). 11. Найти Ь~(х.,у) и с)Дх, у) функции 7' = хз — уг. 12. Верны ли для функции ~(х), х Е й", следующие утверждения: 1) если функция в некоторой точке им|еет частные производные по всем переменным, то ~(х) непрерывна в этой точке; 2) если функция в каждой точке пространства Й" имеет частные производные по всем переменным, то она непрерывна в Й"; 3) если функция дифферепцируема в некоторой точке, то в этой точке у функции существуют частные производпыо по всем переменным; 4) если у функции в некоторой точке существуют частные производные по всем переменным, то функция дифференцируема в этой точке; 5) если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке у функции существуют непрерывные частные производные по всем переменным, б) если у функции в некоторой точке существуют непрерывные частныо производные, то функция дифференцируема в этой точке.
13. Найти дифференциал функции 7'(х;у), если: 1) ~ = 2хл — 3хгуг + хзу; 2) ~ = (уз + 2хгу+ 3)4; 3) 1= — -~- —; 4) Г'=; 5) 1=2 ) б) 7' = 1п(х+ ~/хг+ уг); 7) Г' =!пззп" 9) Г" = атсЗя х — у ХХ Частные производные 10) 1 = 11+ ху)". 14. Найти точки, в которых дифференциал функций 7" равен ну- лю, если: 1) 1'1х:у) = 15х+ 7у — 25)е (* 1*и"" 1; 2) ~(х; у; з) = 2дз + хз — хуз — ух + 4х + 1. 15. Найти дифференциал функции 7'1х; у) в данной точке, если: з 1) 1 = „ ',, а) 11; 1), 5) 10; 1); хз -Ь уз ' 4) з 21з (ех((хтзи~)) (1. 1). о) з 1п х хУ )1.
О). 1-Ь сазу 6) 1' = агссоз х))хз — 2у, .11; О, 18); 7) 1 = агс18 У ,, 11;, -1); 1+хе 8) 1=с' гагс18 ' ", 11;1); 9) 1=11)агсзгп(х+уз),. ( —;0); 2х -(- Зу . , з / хзЗ . 1 — бху ' 2 10) 7 = агсс18 1п(з()х + )д~), 1е~:,0). 16. Найти дифференциал функции 11х;у;з), если: )) 1 = ичз з з* + "; з) 1 = *'""'. 1) 1 = ( з)г: 4) 1 = хи(з 17. Найти дифференциал функции 11х), х Е й", если: 1) ~=зш~~ х~; 2) ~=1п 1 — ~ ~хз 1+ ~~ хз 18. Найти дифференциал функции 7 в заданной точке, если: 1) 1 = , ' . .. 11; 0; 1); 2) 1 = агс18 — ~, 13; 2; 1); и 3) 7 = (ху+ — '), (1;1;1); 4) 7 = 1п ~~хч, (1;2;...;и).
и=1 19. Доказать, что функция 1 дифференцируема в точке 10; 0), ес- ли: )) 1=*()))+Я вЂ” )); з) 1=)з~ ) *; 3) у=() *+ ((ху); 4) ~ = сй ~/хзу; 5) ~ = зУхз(соз .злу — 1); 6) У = 1п(2 — ~ )Г~'+ Ь~'7'); 7) Х = УРагсгК хзЯ; ) (з(и)З), О, х=О; 9) 7 = у~) ~ агсзш ~/Ц 10) 1 = у -(- сЬ з/хз + уз.
))) у= (1 — )*))')р)')', 12) у=)+*у+и иг)у'. 20. Доказать, что функция 7' недифферонцируома в точке (О;0), 66 Гл. й Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных если 1) / /<~~~~. 2) / Гтг + уг. 3) / ЗчгсХЗ + уз. ч) Г = Ьья 'а — - ь): ') Г = ) )ч+ у*ьо): 6) / = 1г)(3+ ~~/хгу) 7) / = ч1)г(3х+ ~~/хз гуз). ь) Г=) )1ч* чс чччч) ь) Г= к)2 уР— 2)ь ) )0) Г = л )У ч УЗ ь 81 ). 21. Найти частные производные функции / в точке (О;0) и ис- следовать ее на дифференцируемость в этой точке, если: 1) /=уй+ Фхгг; 2) /= з/хе+ух, :3) /=2у+хсоз.загхуу) ч) Г = е ч ' уР ь п', ь) Г = Ьк) '*ч ' е 6) / = У+ 1гг(3+ фхгд), :7) / = агсз1п(хд+ тз/хз + Уч; 8) / = агсг8(ху+ у+ ~~хгу); 9 /= (уз — хз)/<хг + 2уг), осли хг + уг ф': О, ) Х = О если х + у = О; 1 О > ~ ~ ~ ~ ~ ~ з ~ ~ ~ ~ 3 ~ ~ ~~ г г ( .
-'; )у) агс18 (х/у)г, если У ф О, кх/2, если у = 0; 11) У= 1 о > ~ ~ ~ ~ ~ ~ | х 2 ! 2 ~ ! ~ ~ ~ ~ 7 г 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ! е гц'чи), если х +уз фО, О, если ха+ух = О. 22. Найти дифференциал функции / в точке (1;0), если; )) у= Л вЂ” 1)Е) — *к ч) Г=. ьч.' у)Ы вЂ” Оь': ь) г = — у ь) )чч ьГà — ' ~)ее ч) г = ьчь ч, и)*-'у 23. 1) Доказать, что функция (хг + уг) 61п(1/<хг + уг)), если хг + уг ф О, У= О, если х +у =О, ~ ~ г ~ г ~ ~ ~ ~ ! ~ ~ 2 ? | ~ ~ г ~ > > дифференцируема, но це непрерывно диффсрснцируема в й; 2) доказать, что функция 1< (х + уг)", если х, у рациональные числа, О, если по крайней мере одно из чисел х, у иррационально, при о > 1/2 дифференцируема только в точке (0,0) и не является непрерывно дифференцирусмой в этой точке. 24. Найти все значении о, при которых функция / дифференци- руема в точке (О; 0), если /(О; 0) = О, а при хг + уг ф 0 функция / задается формулой: 1)/=(х+у(з +(у!л "; 2)/= ~ ~,, ~ ~, „.3)/= хг-Ьуг ' И+)д~ 4) /= 1 — 1и1хг -Ь уг) ХХ Частные производные 2о.
Исследовать на дифференцируемость в точке (О;0) функцию 1(х;у), если 1(0,:0) = О, а при хл + ул > 0 эта функция задается формулой: ,) у М'Ы'г (хз + ху+ уг)а ' 2 ' 4 ' 3)1= и „,о=1,о= —; (' ау+у ) (х у)~л~ 1 3 (хл+ ул)о ' 2 ' 4 26. Найти все точки, в которых функция 1(х; у) дифференцирусма, если: 1) 1 = х~у~+ у(х); 2) )' = (у — )с|)г; 3) 1 = (хг — уг(; 1 1+ )ху! 27.
Исследовать на дифференцируемость в точке (О; 0) функцию 1(х;у), если )(О:,0) = О, а при хг -ь ул > 0 эта функция задается формулой: 1) 1'— х!п(1 Ь у) — у!лл(1-Ь х) -Ь (хр,Л2)(у — х) Ь уг)зЛг херу — реЬх -Ь (ху/6)(х — рг) (хг+ уз)Ь'г х агсся р — у агсся х -Ь (ху/3) (у — х ) (хг -Ь уг)Ь'г 4) 1— хе" — уе -1- у — х -Ь (хуЛ'2)(х — у) ( .. Ь рг)злз 5)1= " '; 6)2= " +2у.
(хг -Ь уг)з лг ' ~х! + ~р~ В задачах 3.28-3.30 предполагается, что функции 1(и), 1(и;и), Ял: о; ил) диффеРенциРУемы и их пРоизводные 1', ),'о ~„', известны. 28. Для функции Г'(и) найти 1л и 1л, если: и =..'+.; з) =,'Г*'~гз*; з) = "з*..ез1; 4) и = атсс18(х+ 1пу). 29. Для функции 1(ие а) найти 1,' и 1',л, если: 1) и=ху, и=х(у:, 2) и=х' — у', и=е'"; 3) и = х соз у, о = х сйп у; 4) и = атсефп хг, о = з.".
30. Найти дифференциал функции рз, если: 1) со = 1(и), и = хр + Угллх; 2) ~о Г(и. и) и лд)(х+ у) и з,г уз. 70 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций нескольких перелченных 3) р = 2(и;и), и = у-, и = агсгц(у)х); 4) р=)(и;ирш), и=хг+у +гг. и=х+у+г чч~=хуг. 31. Доказать, что если Г"(и) -- произвольная дифференцируеман функции, то функция ьо(х;у) удовлетворяет данному уравнению; 1) чр = у((х~ — уг), дг — + ху — ~ = х, р; 2 др др дх ду 2) ьо = ху+ хГ( — ), х — + у — = ху+ со; гул др др дг ду 3) р = вщх+ 1(81пд — 81пх), сову — + совх — = совхсову; др др дх ду 4) р еи)(дех П2У ч) (х' У2) ~ + ч.у хучр 2 2 дчс дуо дх ду 32.
Доказать, что если 1(и;и) произвольная дифференцируеман функция, то функция Зо(х;у;г) удовлетворяет данному уравнению: 1) р = ) ( —; х + у — г ), 2х- — + 2уг — + (2х + у) — = О; /х, 2 гч, дчо дчо г, дР у )' дх ду ' дг 2) со = Г"( * " .(х д)е — 'гг) хгг — + угг — + (х + у) — = О; дх ду дг 3) р = х 1(ух':, гх '), .х — — ду — — уг — = сир. о 8 дз2 дсс др дх ду дг г ЗЗ. Найти решение и(х;у) уравнения — = 2х+ у, удовлетводу рпющее утловию и(х;х ) = О. 34. Найти решение и(х; у) системы уравнений ди х+ 2у ди у — 2х +У ду х +У удовлетворяющее условию и(О; 2) = О. 35.
Доказать, что если функция 1 дифференцируема в точке (хг,хг,...,хи), то в этой точке существует производная — по дг" направлению произвольного единичного вектора п 1: ( сов ог сов ог ... со8 оп) ~~~ со8 оь: 1 ь=г причеги д1 ч дУ вЂ” — севою д1 х'- дх„ ь=г 36.
Пусть функция 1(х), х Е Я", дифференцируема в некоторой точке и 1 --- произвольный единичный вектор. Доказать, что в этой точке: 1) — = (3гаг(1,1); 2) щах — = ~атас(Д; д1 д1 4 д. Частные производные 71 3) если агас1/ ~ О, то производная — достигает наибольшего д/ д1 значения при ага)1 Х ! агас1Д 37. Верно ли утверждение: производная функции Дх;д) в точд/12'с де) кс 1хо,.до) по направлению вектора (1;0) равна '" ? д* 38. Верно ли утверждение: градиентом функции / = х+ д+ -)- ь/Гхд~ в точке (О;0) является вектор (1; 1)? 39.
Найти производную функции / по направлению вектора 1 в точке М, если: 1) / = Зхз + 5дз, 1 = ( — 1/т/2; 1/з/2), М(1; 1); 2) / = х аш(х + д), 1 = ( — 1; 0), ЛЦк/43 л/4); 3) / = х'+ 2хдз+Здзз, 1= (2/3;2/3;1/3), ЛРХ(3;.3;1); 4) / = 1п(ха+да+ за)3 1= ( — 1/3;2/3:,2/3), ЛХ(1;2;1); 5) / = х,-'+ х,-' — хз+ ха, 1= (2/3:1/3;0; — 2/3), ЛрХ(1;3;2;1): 6) / = з агсз1п хю 1 = ) —; —; ..., — ), 40. Найти градиент функции / в точке М, если: 1) /= 1+хзд', ЛХ( — 1;1); 2) У = дх", ЛХ(2;1); 3) У = 1) * 4 у" '-Р *, Н (1; 2 3); 4) / = агс16(хд/зз), 1у170;1;2); 5) / = е'н*иь иу М(хо',до,'зо)' 6) / = 1п(1 — хз — 2дз — Ззз), М(хо;до; о), хо + 2доз+Ззоз (1 41. Решить уравнение ага)1/ = О, если: 1) / = 2зз + хз + 2дз + хд + Зх — 2д — 6 + 1; 2) / = хз + дз + хз — Зх))з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
