1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Получим Ь~ = рхдд, й',(0,0) = ун(0,0) = О. Формулу (17) длн дифференциала отображения 7' можно записать с17 = ~'ь1х. В случае т = и, производнан отображения 7 (ГН 7з, ..., 7"„) является квадратной матрицей, и ее определитель 2Х Частные производные Предположим, что функция 7" дифференцируема в точке (0,0); тог- да справедлива формула (2), которая в данном случае имеет вид ,:лгхр = о(р), р =,(х~ + рз -4 О. (19) Равенство (19) должно выполняться для любых х и у таких, что ~/хз+ уз — л О.
Пусть у = х и х > 0: тогда р = хьГ2 и из формулы (19) следует, что 3 ьзха = о(х), х л +О. (20) Так как утверждение (20) не является верным, то функция 1 не диф- ференцируема в точке (О; 0). 2) Здесь 7"(х; 0) = 1, 7"(О; у) = 1, и поэтому 2',(О, 0) = 73(0,.0) = = 1. Докажем, что функция г" дифференцируема в точке (О; 0), т. е. удовлетворнют условию (2), которое можно записать в виде 73( = соз,ззхр — 1 = о(р), р = /хз+ уз — л О.
(21) Так как со31 — 1 = — 231п (й/2), а !31п3! < (С(, то, используя нера- венства (х! < р, (у! < р, получим ~ 3У~ < 1 ~ ~2/3~ ~2/3 < 1 4/3 Отсюда следует, что условие (21) выполняется, и поэтоллу функ- ция 1 = соз ззхЧ диффсренцирусма в точке (О; 0). 3) В этом случае 1(х; 0) = 1(0;р) = 1(0;0) = агс335, и поэтому 1е(0;0) = 13(0;0) = О. Докажем, что функция 1 дифференцируема в точке (О;0), т.
с. удовлетворяет условию ~ь~ = агстб(5+ х~льу~з~) — агсй35 = о(р), р = лгх2 + уз -4 О. (22) Используя неравенства ! агс33и — агс335( < )а — М, И < Р., 1У~ < Р, из (22) получаем ~~у~ < ~ ~4/5~ ~2,л7 < 4/54-2/7 зз,л35 Условие (22) выполняется, и поэтому функция 1 дифференцируе- лла в точке (О; 0). 4) Так как 7"(О;О) = О, 7"(х,:0) = агс31пх, 7"(О;у) = агсыпд, то У.(О;О) =1, У,(О;О) =1. Предположим, что функция 7" дифференцируема в точке (О;0). Тогда зз7" =агссфп(хр+ фхз+93) =х+д+о(р), р= лззхз+уз — 40. (23) Если у = х, где х > О, то р = хъ'2, и равенство (23) примет вид агс31п(хз+ ъ'2хз) = 2х+ о(х), х 4 +0, откуда следует, что (572 — 2)х = о(х), х 4+О.
Это равенство не является нерным, и поэтому функция 7" не дифференцируема в точке (О; 0). 5) В этом случае 7(х 0) = 7(09) = О, га(00) = 13(00) = О. Ег Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких перелченных Пусть функция 7 дифференцируема в точке (О; 0), тогда ьу' = ((х;у) = о(р), р = ь7хг+ дг -+ О. (24) Полагая у = х, где х > О, из (24) получаем сх7" = 7(х;т) = (( )~( )) = о(х), х о+О. (25) (2хг):1г 1-~-1 2 Так как 1п ' = 21+ — 1з + о(сз)., ! — ь О, то из (25) следует, .что 1 — 1 3 Ь! = ~(х; т) = = 2 ~чгЗ 'х+ о(х) = о(х), 2ь!гхч т.
е. х = о(х), х -ь +О. Таким образом, равенство (24) не может выполняться при любых х, д таких, что р — ь О, и поэтому функция Г" не дифференцируема в точке (О; 0). а Пригнер 4. Пусть 7"(и;о) дифференцируемая в й~ функция, .г г дф дф дф дф и = хд, и = х — у . Выразить — и — через — и дх ду ди де а По формулам (6) находим дф дф дф дф дф д! — =у — +2х —, — =х — — 2у —, а дх ди ди' ду ди де ' Пример 5. Найти дифференциал функции 1' = 1+ г,1(ха + дг).
л Используя формулы (8)-(10), получаем хг -Ь уг l хг Ч уг (хг ф уг)г 2хе и, 2уе и, 1 (х' -Ь уг)г (хг ж уг)г хг Ч- уг Пример 6. Пусть 7(и;и) дифференцируемая в Яг функция, и = х/д, и = у/г. Найти с(1, если 7" и Д известны. а Используя формулы (4) и (8) — (10), получаем с(! = 7"' с!и + 7,', с!о = , лтх! „лГУ1 л, Уах — хйд 7, с!У вЂ” У ил = — ~' с!х+ ( — ~„' — — „Д) с!у — У, Д сЬ.
а Пример 7. Найти в точке (1;1) частные производные функции и = 1(х,у), заданной неявно уравнением и — 2и х + иху — 2 = О. з г А Из уравненин найдем значение функции и в данной точке: и = = 7(1; 1) = 2. Функция г (х:у; и) = из — 2игх+ иху — 2 равна нулю в точке (1; 1, 2) и непрерывна в ее окрестности, а ее частные производные Ре = — 2и + иу, Ги = их, ги = Зи — 4их+ху 4Х Частные производные также непрерывны, причем Е'(1;1;2) ~ О. Следовательно, данным уравнением в окрестности точки (1;1;2) определяется непрерывно дифференцируемая функция и = /(х, у), частные производные которой можно найти по формулам (11). Так как в точке (1; 1; 2) частные производные функции Е соответственно равны ре 6 ре 2 ре х и и то частные производные функции и = /(х;у) в этой точке равны Д = 6/5, /„' = — 2/5.
А з хи+ус — из = О, х+у+и+ь =О. а Функции Ег = хи+ уи — из и Ег = х+ д+ и+ и равны пулю в точке (1; О; 1; — 2) и непрерывны в ее окрестности, их частные произ- водные (Рг)' = 'и, (Ег) = 1, (йг)ц — — и, (Гг)д — — 1, (Ег)„= х — Зи, 1Рг), = 1, (Ег)е = у, (хг)е = 1 также непрерывны, и нкобиан х — Зи у 1 1 д(Е, Ез) д(и, о) не равен нулю в заданной точке. Следовательно, данной системой уравнений в окрестности точки (1; О; 1; — 2) определяются единственным образом непрерывно дифференцируемые функции и = /г(х; у) и и = /г(х;д), частные производные которых можно найти по формуле (14). Значения частных производных функций Ег и Ег в точке (1; О; 1; — 2) соответственно равны ~Р1)з — 1 (~2)з — 1 (Р))и— (йг)и = — 2, Ж)и = 1, ®)а = О, (Рг)а = 1. По формуле (14) находим матрицу, элементами которой являются искомые значения производных: (Л ),' (/г)'„— 2 О 1 — 2 2 — 1 — 2 1 1 — 3/2 О П р и м е р 9.
Преобразовать уравнение д- где :с — +у — =г, хуго О,. дх ду Пример 8. Найти в точке (1;О;1; — 2) частные производныо функций и = /з(х;у) и о = /г(х;у), заданных неявно системой уравнений 64 Гл. й Дифференциальное исчисление функций нескольких перелсегсних приняв за новые независимые переменные и = х, и = 1/у — 1/х и за новую функцию ш = 1/х — 1/х. Найти решении данного уравнения. дс дх А Найдем выражения производных — и — через частные проах ду изводные функции ш по переменным и и и. Для зтого продифференцируем обе части равенства 1/х — 1/х = ш по переменным х и у. При дифференцировании функции ш воспользуемся формулами (7) для частных производных сложной функции.
Получим 1 дс 1 дшди дшдо дш 1 дш -'-' дх хе ди дх до дх ди хе до ' 1 дс дшди дшдо 1 дш саду ди ду дс ду у' до' следовательно, дс зГ1 дш 1 дшт дс седш дх 1хе ди ха до! ' ду уа до ' дс дс Подставив найденные выражении для производных — и — в дандх ду ное уравнение, будем иметь хха х х — =О.
ди Осталось заменить х и х новыми переменными. Так как х = и,. х = , то в новых переменных исходное уравнение принимает вид ишф1' (иш ж 1) ди Полученное уравнение легко решается. Интегрируя по и уравнеаш ние — = О, находим ш = /(и), где / произвольная дифференди цируемая функция. Возвращаясь к исходным переменным, получаем решения исходного дифференциального уравнения 1/х — 1/х = /(1/у — 1/х), откуда = х/( /(1/у — 1/:) + 1). а Пример 10. Найти в точке (к/4р к/4) дифференциал отображения /; Й -+ Й с координатными функциями иг = 2соахг созхз, из = 2созхг зшхх, из = х/2япхг. я Координатные функции непрерывно дифференцируемы в Я~.
Следовательно, дифференциал данного отооражения существует в каждой точке, и его можно найти по формуле (17): — 2 яп хг соз ха — 2 соз хг яп хз с1/(хг,.хз) = — 2япхг зшхз 2соахг соахз / дх,'г ~ха ч/2 соз хг 0 уз. Частные производные В заданной точке получаем —: —:=Р ')(::)=(-': '::) П р и м е р 11. Найти якобиан ' ', отображения д(х,у,х) д(т,р,у)) х = тсояи)сояф, у = тяпрсояуй х = та)пуп а Согласно формуле (18) получаем соя р соя зо — т яш )р соя ))) — т соя)р я|п ф яп р соя ф т соя)рсоа)1) — тя1п)ряш яп з)) О т соя Ч) д(х,у,х) д(т, )р, з))) , 1 .
— япр — соя)ря1пзр = т сояз) яш соя )р — яп )р яп у) ~ = тасояфз(япз )р+ соя~ у)) = тР соя)р. а соя р соя)р соя з)) + соя з)з яш Во соя ф ЗАДАЧИ 1) г" = ~янах,;; 2) т' = ехр( ~х~). г=1 3 Нод ред. Л.д.нудрнвдева, т.я 1. Найти частные производные первого порядка функции г" (х; у): 1) 7" = хз + уз — Зху; 2) Г" = У; 3) Г" = яшх — хзр; у" 4) 7'= яп — соя '~; 5) 1 = е'(сову+хашу); у х 6) 7 = 1п; 7) )" = агсяп ) 8) У = (1+яш х)'в'о 2. Вычислить частные производныс первого порядка функции 7' в данной точке: 1) 1" = х))у-', (1, :1); 2) 7" = 1п(1 + х))у), (1; 2); 3) 7' = хуе"" '", (1; 1); 4) 1 = (2х + у)з*+", (1; — 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
