1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Найти сЬ(х;у), если: 1) з = сзшо, х = асов исозо, у = 1зяписозо; 2) з=сзйо, х=асозис1зо, у=Ьяпис1точ а, Ь, с настоянные. 76 Гл. и Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 3) х(2у — х) ( — ) + 2ху — + у(2х — у) = О; с'йу'12 йр сьх йх йх — = у+ х(х2 + уз), й, — — — -ьу(ха+уз); ди ди 5) и=х — +у — ' дх ' ду 80. Пусть системой уравнений хсояи-Ь уз|пи+ 1пи = 1(и), усояи — хейли = 1'(о), где 1(и) -- дважды дифференцируемая функция, в окрестности точ- ки (хо, 'Уо, 'ио', ио) опРеделиютси диффеРенциРУемые фУнкпии и(хч У) и с(х; р).
Найти в втой точке: 1) с(и; 2) ~ йтас1и~. 81. Пусть системой уравнений (и — 1(и)) = х (у — и ), (и — 1(и))1'(и) = х и, где Г'(и) --. дважды дифференцируемая функция, определяются диф- ференцируемые функции и(х: у) и и(х; у). Доказать, что ди ди — — = Хр. ах ау 82. 1) Пусть уравнением 1(х;у;2) = О в точке (хо1уо,.со) опреде- ляются дифференцируемые функции х=х(ух), у=у(х; ), = ( у). дх(ус', сс) ду(хс; сс) дс(хс; ус) Доказать, что др дс а.
2) Ность уравнением 1(х11х2, ..цхо) = О в точке хо = (хо;х!?;... ...; хо ) определяются дифференцируемые функции Х1 — Х1(Х2 Х31" хн); " хп — хн(Х1122 "1хп — 1). дх1(хс) дх (х") дхн(хс) Доказать, что Хч Хч Х1 83. Пусть системой уравнений ((х;;у;и;и) = О, у(х;у;и;и) = О, где ( и д дифференцируемые функции, определяются дифферен- цируемые функции и(х:у) и и(х;у). Найти частные производные функций и(хл у) и и(х; у). 84.
Пусть системой уравнений ((чу:и;и) = О, у(и:и) = О, где ( и д дифференцируемые функции, определяются дифферендчс дсо цируемые функции и(х,у) и с(х;у). Найти — и —, если ю = дх ду ' = Е(х;у;и;и) - дифференцируемая функция. 85. Перейти от декартовых координат х, у к полярным, пола- гая х = гсояус, у = гя1п1Г: 2Х с1астные производные 77 7) из=( — ) +( — ); 8) ю= ди ди 6) ш=х — — у —: дх ду' х = ие", у=ее, »=ше д» д» 90. Преобразовать уравнение (» — х) — — у — = О, приняв х за д* ду функцию, а у и» за независимые переменные.
д» д» 91. Преобразовать уравнение (у — ») — + (у +») — = О, приняв дх ду т за функцию, а и = у — », о = р+» за независимые переменные. 92. Решить уравнение, преобразовав его к переменнылз и, о и ш = ш(и;о): д» д» 2 2 1) д — — х — = (у — х)», и = х + у, о = — + —, дх ду У ш =1п» вЂ” х — д; д» д 2) (хд+») — +(1 — у): =»+у/, и=у» — х, о=х» — у, дх ду ш = хд — ». а а а 93. Решить уравнение — + — + — = О, преобразовав его к дх ду д» ди ди 86.
Решить уравнение х — — у — = О, преобразовав его к полярным координатам. 87. Преобразовать уравнение, принимая и и о за новые независилзые переменные: 1) х, — + Л/Т+у» — = ху, и = 1пх, о =!п(у+ Л/Г+уз); д» 2 а» дз: ду 2) (х + д) — — (х — у) — = О, и = 1п л/х» + д', о = агсь8 — ; д» д» 2 2 У дх ' ду д- д3) (х+») — +(д+») — =х+д+», и=х+», о=у+», дх ' ду д» д» х' 2 У 4) х — +у — = —, ц=2х — », о= — — '. дх дд 88.
Решить уравнение, преобразовав его к новым независимым переменным и и о: д» д» 1) — — — = О, и = х + у, о = х — д1: дх ду д» д» 2) х — +у — =», х=и, у=ио; дх ' ду д» д» 3) — +а — =1, и=х, о=д — а», а=сопел; д* ду з) * з' ° д з— ' =*+ зтс» р' ~ *', = -", =*~,~е»з' ее. 89. Преобразовать уравнение, приняв и и о за независимые переменные, а ш за функцию: тя Гл.
Е Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных новым независимым переменным и=х, и=у — х, !=с — х. 94. Преобразовать уравнение дю дю дю (у+ + ю) — + (х+ е+ ю) —, + (х+ у+ ю) —, = х+ у+ е, дх ' ду ' дс приняв за независимые переменные и = !п(х — ю), и = !п(у — ю), ь = Ттт(е — ю).
95. Записать (8гасТи)з, где и = и(хТУ;х), в сферических коорди- натах, полагая х = гсояуосоячу, у = гяТпччсояуц е = ггйпаи 96. Записать (8гасТи)а, где и = иТхт,хз,...,.х„), в ортогональных координатах уч = уг(хм ха' "цхо), ч = 1,2, ...,и, т. е. в координатах, удовлетворяющих условиям (йтасТу„йтас)уь) = О, г,у = 1,2,...,п, 1 < Ь. дчю ди~ ди~ ху 97. Преобразовать уравнение х — + у — + е — = ю + — ', придх ду д. ннв за независимыс переменные и = хТте, и = УТте, ! = е, а за функцию я = ютТз. 98. Найти в точке (2: 1; 1) дифференпиал отображения и = лу, и = = зтТУ. 99. Найти дифференциал отображения и = уз, и = ех, ю = ху. 100. Найти в точке (О;0) производную отображения и исследовать его на дифференцируемость в этой точке: с «=ечче ььг~", и =*+ чч:ТРТР"; аа ~ ! У У! О: ~ Хчг)ху~ соя(1тту), у ф О, О у О ! О, .У=О.
101. Пусть Г" тождественное отображение множества Е С й". Найти Г'. 102. Отображение Г': й" — г й"' с координатными функциями и; = Ьч+ ~~а,ьху, 1 = 1,2, ...,т., а;ь, Ь, = сопя!, ь=. ~ называют линейным. Найти производную линейного отображения. д(чц чч) 103. Найти якобиан '' отображения: д(х,.у) 1) и =х(хз — Зу~), и= УТЗхз — уз); 2) и = сТтхсояу, о = яТтхяшу. 104.
Найти якобиан " ' отображения дТх,у) х = гсоя" уо, у = ганге ус, р б ТТт. 9Х Частные производные 105. Найти якобиац ' ' отображения д(х, у, -) д(г, г, з9) х = асов'Чзсозеу), у = 7 з)пгсосоаеу~, з = ггйпе уй р,д Е И. 106. Найти якобиаи ' ' отображения: д(и, о, т) д(,у, ) 1) и=хух, и=ху — хуз, щ=у — ху; 2) и =;с/ь71 — гх. а = зд!Л вЂ” гз, щ = з7'Я вЂ” гз, гз = хз + уз + зз. д(из, и, > и„) 107.
Найти якобиаи ' '"' отображения: д(хь х... хо) 1 н — ~ А=! и 1 2) и;= — тз+ ~ аьхь, з=1,2,...,п. а=как'г 108. Пусть Ез С Я", Е й й,. 7': Ез — ч Ев, д: Ез — з й~, причем отображение г' диффереццируемо в точке х Е Е„а отображение д диффсрсяцируемо в точке 1(х) б Ез. Доказать, что: 1) композиция д о 1 диффереицируема в точке х и производная композиции отображений равна произведению производных, т. е.
(д(1(х)) о 7(х))' = д'(('(х))~'(х); 2) в случае )с = ьч = и якобиаи композиции д о 1 в точке х равен произведению якобиаиов отображений ~(иыиз,..ди„) и д(аЫиз, ...;и„), т, е. д(оы ..., оо) д(оь ..., ео) д(иь ..., ио) д(хь ..., хо) д(и, ..., ап) д(хь, хп) д(хь ..., хп) д(н, ..., и„) вчастиости,если д=1 ', то ' '"' ' . ' '"' ' =1. д(иь ..., ип) д(хь ..., .хп) 109. Пусть системой уравнений Ях;и) = 0; х Е Е С Яо, и б Йп, г = 1,2,...,п, задается диффсрсццируемос отображение и, = и,(х), и пусть д(зы"'Ы Ф О д(иы, ие) д(хь...,гп) д(хы...,х„) ! д(иы...,а ) ' 110. Доказать, что если 1 непрерывно диффереицируемое отображеяие открытого в пространстве Ка миожества С с якобиаиом, ие обращающизися в нуль иа множестве С, то: 1) отображение 1 локально взаимно однозначно, т.
е. для любой точки х Е С найдется окрестность с центром в атой точке, которая взаимно однозначно отображается ца некоторую окрестность точки 1(х): ВО Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 2) образ 1!С) кгножества С есть открытое множество; 3) если С область, то ДС) также являетсн областью. 111. Привести пример непрерывно дифференцируемого отображения области, якобиан которого нигде в этой области не обрашается в нуль и которое не взаимно однозначно. ОТВЕТЫ 1. 1) — = 3(х — у), — = 3(у' — х): дф 2 дф 2 дх ' ду дф 2х — у дф ху — 2х дф , д7' 2) — = ., ', — = ', '; 3) — =сочх — 2ху, — = — х': У ду Уг дх ду дф 1 х у у , х , у дф х х у 4) — = — сов — сов — + —,, вш — яп —, — = — —,, сов — сов —— дх у 'у' * '-' у *' ду уа''у''х 1 — — яп — яп —; х у х дф д х 5) — = ех(х в!и у + яп у + сов у), — = е' (х сов д — вш у); дх ду дф 2 дф 2х г -+у- ду у/- ьуьг *'аг"-гх ьг '*Л*' — Р 7) дх )х((х' — у') ' ду (у!)у' — хч) 8) — = в!п2Х!пу(1+яп х)'"" г, — = — (1+в!и х)ыо!п(1+ дф дх дх +яп х).
2. 1) 1, — 2; 2) 1ггЗ, — 1ггб; 3) 1 — я, 1 — я; 4) 2., 1. 3. 1) — =у+с, — =х+х, — =х+у; дф дф дф дх ' ду ' д 2) — = — —,— = — —,— = — —,,гххх+у+х; дф х дф у дг дх ' ду ' д 4) — = О, дх ' ду х' дх Р' 5) —" = уз*и !п х, —" = ххх" !п х, — = хуххи дф „д„г, дф б) —" = -е Л вЂ”" = --'Л вЂ”" = ~ . -*. дх х ду у дх 4. 1) — = вш 2хб 2) — = 2х,~, г = 1, 2, ..., и.
дф . дф д, " дхх 5.1) О; 2) 2. 6.1) О; 2) 1. 7.1) 3, 2)З/2. 8.0. 9. (О; 0), !х 3;хчгЗ), знаки берутся произвольно. 10. 1) Ь~ = 2~лх + Ьу + Лхх + 2ЬХЬу + ЬХХЬУ, ф = 2г!х + с!у; 2) ЬУ = Ьу + 2ьхьу + Ьхзьу, сК = г!у; 3) ЬУ = Ьхзьр, Ф = О, 11 гь г Зхзг1Х 2уг1У+ Зхдхз ггуг + дхз ггг' Зхзс!х 2У с!у 12. 1), 2) Неверны, если п > 1: 3) верно; 4) неверно, если и > 1: 82 Гл. 1.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 22. 1) Не существует; 2) е1у; 3) е!х — е!у; 4) г1х+ 2 е!у. 24. 1) о Е (1/3; 3):, 2) о Е (1; 4); 3) ех Е [О; 5/2); 4) сь Е [1/2; +се). 25. 1) Недифференцируема при о = 1/2, дифференцируема при о = 114; 2) дифферснцируема при о = 1/2, нсдифференцируема при о = = 2/3; 3) нсдиффсрепцирусма при се = 1, дифферснцируема при о = 1/2; 4) дифференцируема при о = 1/2., недифференцируема при о = = 3/4. 26. 1) ((О; 0)) !2 ((х; у): ху ф О); 2) ((О, 0)) 12 ((х; у): х ф О); 3) ((О; 0)) !2 (х; у): ха ф ух)! 4) ((О; 0)) 0 ((х; у): ху ф 0).
27. 1) — 6) Недифференцируек|а. 28. 1) Д = 2хД, ~„' = еиД; ЗЛР к„че " ' зутр+*Ет' " 3) // = 38!пбхсо882у/', /,„' = — Зяп Зхв!п4уго82у/,'; !) /~ /и /~ /и 1-8 (х -Ь !ау)е ' " у(1-!- (х -!- !пу)е) ' 29. 1) /' = у/,', + — /,'... /„' = х/,', — —, Д; 2) Д = 2хД + уе"и/„', ~'„' = — 2у// + хе'иД: 3) /,' = соауу„' + аш у)„', /' = — хашу/„' + х сов уД; 1-) /и(у е)есх+/и(х+ )гсу' 2) (2хД вЂ” ",, /,')с!х+ (, Х' — Зу-'/,',)~г!у: 4) (2хД + Д + ух/',)с!х -!- (2УД -!- /', + хх/' )с!у-~- +(2хД + Д + хуЯ<Ь.
33. и = 2х(у — х ) + — (у' — х ). 34. и = — 1п ' ' + 2атс18 — '. а 1 8 6 1 х ! У х 3 2 4 у 37. Неверно. 38. Неверно. 39 1) 2ъ/2; 2) — 1; 3) 62; 4) 5/9; 5) 2; 6) 41/п/15. 40. 1) — 21+ 32; 2) 1+ 2(1 + 1п 2)2; 3)— 14ч/14 4) 1/4; 5) ехс Ьхсес Ьхеискс((1 + уо + уохс)1+ (хо + хохс)2 + хсуо1с); хе1+ 2ус!+ Зхс!с х', -!- 2у,', -!- Зх,-", — 1 41.1) ( — 2;1;Ц; ( — 2;1; — 1); 2) (1;1;1)., !ай. 42.
1) 0; 2) 1/(2а). 43. 1) — 18; 2) 52/5; 3) 1/5; 4) О. 44 Ц вЂ” 1/Л; 2) 3/2:, 3) — 1/ч/3; 4) (2+ Л)/6; 4Х Частные производные гз.Псе; П гс 'г. 4е. — Зт~Р яГ) гГ 4г, — гГг. 48 1) т/290; 2) т/299/2; 3) 7/6; 4) т/137/8 49. 1) 4з ! 53 2) з — ! 3) 2г+ 43 — тг3!с 4) ! — 61с 50. 1000я, й4! ' Л' ЛЗ ' 37 ' 51. 1) агссоа( — 1/т/ГО); 2) атосов(7т/2/10); 3) агссое(-8/9); 4) гг/2. 52. 1) агссое37/(5т/194); 2) гг/2; 3) зг/2; 4) л/2. 56. 1) — х/(ха + уг); 2) (х+ г)/(3фхг + гг) 3) 4(х+ 2у+ Зх)4; 4) 0; 5) (ху/г)(1+ 1пх) -ь х~(у/х; /х). 59.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
