1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Неверно. 60. 1) — = 1, — = 0: 2) — = О, дх ' ду ' дх ' ду 2 дз ди 1 3) — = — = —, ио — - корень уравнения и + !п и = 0; дх ду 1Ьие' ди бис ди 4ие и 4) — = —, — = — —, ие корень уравнения — = 1+ дх 9 ' ду 9 3 и + агстб —. 3' ди ди 10 ди ди 61.1)а) — = — 2, — = —; б) — =2, — = — 3; дх ' ду 3 ' дх ' ду ди ди ди ди 2 2) — = — сов1, — = — 1; 3) — = 1, дх ' ' ду ' дх ' ду 2+и' ди ие -!- гге — ие ди ие -!- ие дх 2+ 2ие+ и„"' ду 2-Ь 2ис -Ь из ди ди ди ди 1 62.
— = О, — = — 1, если и(1; — 2) = 0; — = — 1, — = —, если дх ' ду ' ' ' дс ' ду 2' ди ди 1 и(1; — 2) = — 2; — = 1, — = —, если и(1; — 2) = 2. дх ' ду 2' 63. 1) агх+ агу; 2) (г!х+ ггоагУ)., ие — — коРень УРавнениЯ и г = 1+ !пи.. 1 -!- ие 2дх — ду 64. 1) а) ', б) не существует; 2) а) не существует, б) — Нх — (14)/(9) г/у. 2г!х — иду 2дх — пду 65.
г!и = если и(1;1) = 1; с!и = если гг — 2 2 — зг и(1; 1) = — 1; аги = О, если и(1; Ц = О. ие(дх + ду) — е~( г!х В 66. ' , , ио — корень уравнения и' — 3(хе + ие(ие — 2хе — 2уе) ' + уо) иг + гол — — О. 67. 1) — 2: 2) — 1. 68. (у + х)г( + 1) + + ((у — х)(у-1-1)е" ' — (х -!- з)(з -!-1)) ду (у + х)г( + 1) 84 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменках (ф — ф ) йх -)- ((„— 111) йр дх ' др 3' дх ' др 3 76. д = ~'+~р, д =-дх) +(-'+ -~у1у. Зйг — й»р 3(у — х ) йх -)- Зх йр х 77. с(х= ' .
78. а»х= ', у>— 2 2 2 2)2 = (* '» ")»~/ — Ь вЂ”,— 1, — 21- — ", 1. 80. 1) ие(созна»1х+ 81поос)у)' 2) ~ие~. (д !дх д»»дуч( 83. 1 (д((, д)(д(х, о) д((, д)»)д(у, о) ч( д((, д)!д(и, о) \, д(~, д) /д(и, х) д(~, д))»д(и, у) ( ' д»е дР д»с дЕ д(д;Р)(д(и;о) дф дх дх ' ду др д(1; д)(д(и; о) ду ' ц г 2) й 3) (й» )' 1 — е)п2»»2 »1»»й»д ' й)») ' Му I е»п 2»с йг з Ид) да ди .
ди 4) — =г, — = — 1; 5)»о =о —; 6) ю = гсов2»р — — 81п2»о —; д)а ' 7) ю = ( — ) + —, ( — ):, 8) го =— 86. 1) и = ((хз + уз), ( произвольная дифференцируемая функция. д- дх „ дх дх 87. 1) — + — = ен з»»о; 2) — — — = 0; ди до ' ди до де дх 3) (2и+ о — х) — + (и+ 2о — х) — = и+ о — з; ди до 4) о(хз — и) — = х(х + и). до 88.1) х=~(х+у); 2) х =х~(у(х) 3) х=х+((у — ох):, 1) *=а к»»»ь»е»»)»» ), » - 2 1 ЬЬ 2 цируемая функция. 91. — + — Р = —. ди до о 92. 1) х = е'х»»хх)х +" ); 2) х = ху+ ((ух — х), где ( -- произвольная дифференцируемая функция.
93. »о = ((у — х; х — х), где ( произвольная дифференцируемая функции. Частные производные. Формула Тейлора 94. — + — + — +3«о+ее+ее+е =0 д«е д«о д«о и ди до дс 95. ( — ') + —, ( — ) +,, „( — ') . 96. ~(6га«(у«) ( — ) . «=« гф+ у«Ь у х+х,у ГО 1~ ГО О«« 100. 1) ( 1 О), дифференцируемо:, 2) ( О 01, недифферен- цируемо.
101. Г' - — единичная матрица порядка и. 102. Г'=(а«е), «=1,2,...,т; 1=1,2,...,п. 103.1) 9(х'+у')-'; 2) (сй2х — соа2у)Г2. 104. рг(з«««у«соа«р)е '. 105. ру«з(гйп«осоау«)" «(совы)зо '(айпф)о 106. 1) ху-'; 2) (1 — г") П о о 1ОТ.1) П (х,-хь); 2) (1+Е " ) П(х;-а«). «Ф=.. «.
~) ь «=«с=« ис д 4. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора и ряд Тейлора СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Частные производные высших порядков. Пусть функция и = Г(х), х Е Й", в окрестности точки х = (х,; хз, ..., .х„) имеет частда ную производную первого порядка . Тогда частную производдхл ди ную функции по переменной х; называют частной производной дх«, второго порядка по переменным хь и х«и обозначают д" и о или дх«„.дх, ' Таким образом, по определению ди д Гди1 дхь дх«дх««, дхе / дои де«л В случае « = к производную обозначают д*едх« х1 Частной производной порядка т Е И называют частную производную первого порядка по какой-либо переменной от л«обой частной производной порядка т — 1 (при зтом под частной производной пулевого порядка понимается сама функция).
Например, для частных 86 Гл. й Дифференциальное исчисление функций нескольких персмеиных производных третьего порядка по определению имеем дх: = дх(дх- ~: д*зду = ду(дх- ~ дузд. = дх(ду-) Частную производную по различным переменным называют смешанной частной производной. Например, для функции двух переменных могут существовать четыре производные второго поди ди д" и д'и рядка; —,, —, и две смешанные производные и ду дс дх ду Теорема.
Если две смешанные производные порядка т, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, непрерывны в некоторой точке, то их значения в этой томке совпадают. Функцию, все частные производные которой до некоторого порядка т включительно непрерывны в некоторой точке (или на некотором множестве), называют т, раз непрерывно дифференцируемой в этой точке (соответственно на этом множестве). 2.
Дифференциалы высших порядков. Дифференциалы высших порядков для функции нескольких переменных определяются так жс, как и в случае функции одной переменной (см. [1, 815, и. 2)). Пусть функция и = Г (х; у) дважды непрерывно дифферспцирусма з на некотором множестве С С Я . Ее дифференциал ди ди Ии = — с1х+ — цу дх ду есть функция четырех переменных: х, у., с1х, ау. При фиксированных йх и йу дифференциал с1и является функцией только х и у. Для этой функции вычислим дифференциал, причем в качестве приращений схх и гну независимых переменных возьмем те же самые приращения, которые были выбраны при нахождении первого дифференциала.
Вычисленный при этом условии дифференциал от первого дифференциала называют вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка функции и = 1(х; у) и обозначают оии или йз~. Таким образом, по определению с1 и = с1 ( — йх + — йу) = й ( — ) с1х + й ( — ) с1у = д'и з д" и д" и д" и = —,, йх + аусйс+ с(хйу+ —, Иу=, д*з дх ду ду дх дуз или, учитывая равенство (при сделанных относительно функции и = = Г"(х; у) предположениях) смешанных производных, получим йги = — ах + 2 Ихйу+ — с1у'.
(1) дхз дх ду дуз Аналогично в случае, когда функция и = 1(х;у) является т непрерывно дифферепцируемой, ее дифференциал порядка т определяется как первый дифференциал от дифференциала порядка т — 1 Уаспсные производные. Формула Тейлора при услонии, что при вычислении первого дифференциала в качестве приращений независимых переменных берутсн те же приращения, которые использовались при вычислении (т — Ц-го дифференциала. При этом условии имеем с1 и = п(с1 и).
Для дифференциала порядка т Е И справедлива формула ш из (2) Замечание. Для сложной функции го = )(х; у), где х = х(и; и), у = у(и; и), второй дифференциал функции и, вообще говоря, не выражаетсн через с1х и с1у согласно формуле (1). Следонательно, для дифференциалов порядка т > 2 (в отличие от дифференциала первого порядка) не имеет места свойство инвариантности форлйы дифференциала относительно выбора переменных.
Для сложной функции щ = Т"(х(и;и);д(и;и)) формула (1) обобщается следующим образом: д ю =,, с1х +2 с1хс(д+,, с1у + — с( х+ — с( у. (3) дзи а дзсо дзщ з дщ з дсо дх- дх дд дуз '' дх дд Если х и д — независимые переменные, то с1ах = О, сру = О, и формула (3) совпадает с формулой (1). В случае функции и переменных и = )(хЫ ...,хи) формула, аналогичная формуле (1), имеет вид и и с(~и = ~~~ ".,' Дхз 2 ~~ дх, с)~й. (4) дх-„дх, дхй й=с ' ий=с )<й Формула (2) обобщается на случай функции и переменных = 1(хм ..., хи) слеДУюЩим обРазом: где пс.
! сн! ... ои! а суммирование производится по всем целым неотрицательным о, и таким, что ~ слй = т. йий 3. Формула Тейлора и рнд Тейлора. Пусть функция 1"(х;у) в окрестности точки (хо, уо) имеет непрерывные произнодные до порядка т включительно. Тогда в этой окрестности справедлива форлзупа т й 1(х:у) = ~ ~—, ~ Сй „' (х — хо) '(у — до)'+ о(р"'), (6) й=о ' =о 88 Гл. Д Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных где Многочлен ь=о =о называют многочленом Тейлора т-го порядка функции 1(х; у) в точке (хо';уо), а функцию г (х; у) = з" (х; у) — Р„,(.с; у) остаточным членом т-го порядка формулы Тейлора. Формулу (6) называют формулой Тейлора т-го порядка функции Г(х; У) в окРестности точки (хо,.до) с остаточным членом в фоРме Пеано.
В частном случае, при хо = до = О, формулу (6) называют также формулой Маклорена. Формулу (6) можно записать и в таком виде: Ш 1д7(.) ь=-ось~а ец-я где Если фУнкциЯ 1(х;У) имеет в окРестности точки (хо,.Уо) непРерывные производные до (т + 1)-го порядка включительно, то для любой точки (х;у) из этой окрестности найдется точка ® у) = (хо + д(х — хо); уо + д(у — уо)), 0 < д < 1, такая, что У(х;д) = тес с=с где Р (х; у) многочлен Тейлора (7). Формулу (9) называют формулой Тейлора с остаточн м членом в форме Лагранжа. Если функция 1"(х; у) представима в виде (6), (8) или (9), то говорят, что она разложена по форлчуле Тейлора в окрестности точ(хе; до).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
