1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 24
Текст из файла (страница 24)
й Дифференциальное исчисление функций нескольких перелсенних поверхности имеют вид х — х(ио, :ио) т',. (ио', ио) хо (ио; ио) у — у(ио, 'ио) — х(ио, 'то) у,',(ио; ио) г„'(ио' ио) у~,(ио, 'та) г,',(ио, 'то) = О, (5) х — х(ио; оо) у — у(зсо, 'оо) е„(ио; о„) хи(иа, оо) е',,(ио, ео) х'„(ио; оо) у„(ио; оа) е„(ио, оо) I о уо(иа; оо) зь'(ио; ио) х — е(иа; оо) (6) х' ( о, ид у' (ио; ) х',,(ио; оо) 'уо(ио; оо) Направляющий вектор прямой (6) иногда записывают в виде 1 1 1с о о Хо уо го ь а У, (7) 2.
Особые точки плоских кривых. Под кривой, заданной урав- нением Р'(х;у) = О, (8) где Е непрерывно дифференцируемая функция, будем понимать множество точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют этолоу уравнению. Заметим, что это множество не обязательно будет являться непрерывным образом отрезка, и тем самым "кривая, заданная уравнениегя г"(х; у) = О', может пе быть кривой в обычном смысле (см. (1, й24, п.
2]). Точку (хо, .уо) будем называть особой точкой уравнен я (8), если се координаты удовлетворяют системе трех уравнений: Е(х;у) = О, Р (х;у) = О, Г'„'(х;у) = О. (О) Если в особой точке (хо,.уо) уравнения (8) все частные производные функции до (Й вЂ” 1) -го порядка включительно обращаются в пуль, а среди производных Й-го порядка по крайней мере одна отлична от нуля, то точку (хо, .уо) называют особой точкой И-го порядка. Особая точка уравнения (8) может быть особой точкой кривой, заданной этим уравнением, т, е, такой точкой, в окрестности которой считая., что для такого 'определителя" верна формула разложения по элементам первой строки.
Углом между двумя поверхностями в точке их пересечения называют угол между касательными плоскостями, проведенными к поверхностям в этой точке. Поверхности называют ортогональными, если они пересекаются под прямым углом в канадой их точке пересечения. рб. Геометрические приложения 131 ни в одной системе координат кривая не является графиком непре- рывно дифференцируемой функции.
Для того чтобы точка (ло, уо) была особой точкой кривой, заданной уравнением (8), необходимо, чтобы она бьта особой точкой этого уравнения, т. е, необходимо, чтобы ее координаты удовлетворяли системе (9). Это условие не является достаточным. Например, для уравнения г = уг = 0 точка (О; 0) Рис. 6.1 является особой, но кривая, определяемая этим уравнением 1прямая у = О), особых точек не имеет. Поведение кривой (8) в окрестности особой точки второго порядка зависит от знака определителя ~хе ~яр ~о 1го го уу в этой точке. Если Л > О, то точку называют изолированной. В некоторой окрестности изолированной особой точки нет других точек кривой (рис.
6.1, точка (О; 0)). Если гх < О, то точку называют узловой (двойной) точкой (рис. 6.2, точка (О: О)). Если в особой точке второго порядка определитель Ь = О, то характер поведения кривой (8) в окрестности такой точки может быть различным. Такая точка может быть изолированной точкой кривой (рис. 6.3), точкой самоприносновения (рис. 6.4), точкой возврата первого рода (рис. 6.6), точкой возврата Рис. 6.3 Рнс 6.5 Рис.
6.4 второго рода (рис. 6.6). Для определения типа особой точки в случае яз = 0 нужно изучить расположение точек кривой в некоторой ее окрестности. Направления 11;1с) касательных к кривой (8) в двойной особой 132 Гл. й Дифференциальное исчисление функций нескольких перелсеннъъх точке (хс,. Уо) второго порядка находлтсн из уранненил Ел<хо, 'Ус)1з + 2Еи (хс, 'Уо)1~ + ~ии(хс, 'Уо)~з = О (10) В случае, когда функция с'(х; у) не является дважды непрерывно дифференцируемой, кривая Ркс 6.6 (8) может иметь особые точки и других типов, например угловые точки или точки прекращенил. 3. Огибающая.
Пусть семейство плоских кривых задано уравне- Е(х;у; С) = О, (11) где К непрерывно диффереццируеман в области С с Я функпия, С вЂ” параметр семейства. Огибающей семейства (11) называют кривую, которая в каждой своей точке касается по крайаей мере одной кривой семейства. Если семейство кривых (11) имеет огибающую, то координаты ее точек удовлетворяют системе уравнений Р1х;у;С) = О, (12) Г~(х;у; С) = О. Систеъие (12), помимо точек огибающей, могут удовлетворять и другие точки кривых семейства (11). Дискриминантной кривой семейства (11) называют кривую В(х; у) = О, полученную из системы (12) исключением параметра С.
Аналогично определяется и находится огибающан семейства поверхностей. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ П р и мер 1. Найти уравнения касательных плоскостей к поверхности , г 2 2 в точках пересечения ее с прямой х = у = 2. а Прямая пересекает поверхность в точках (2;2; 3) и (2; 2; — 3). Находим частные производные функции Е = хз + уз — ха + 1 в этих точках: х",(2; 2; 3) = 4, Р'„'(2; 2; 3) = 4, Р" (2; 2; 3) = -6: е(2 2, 3) 4 ~'Р(2, 2 3) 4 Р (2, 2, 3) 6 По формуле (3) получаем 4(х — 2) -~- 4(у — 2) — 6(х — 3) = О, 4(х — 2) + 4(у — 2) + 6(х + 3) = О, или 2х+ 2У вЂ” Зх+ 1 = О, 2х+ 2У+ Зх+ 1 = О.
к П р и ле е р 2. Написать уравнение нормали к винтовой поверхности х = исаев, у = ие1пи, х = и рб. Геолгепгричесние приложения в точке с параметрами и = ио, А Так как дг = гйп о, зи = 0; д„= исозо, е.„= 1, х' = соаиг г ха = — и81пхг, то по форьлуле (6) получаеал т — игг Сае Оа у — ио ып оо сйп гга 0 0 сое оа иа соч са 1 1 — иа еш са сое огг елп са — иа гйП ХП Оа СО3 Оо Рис.
6.7 Рис. 6.8 Рис 6оа ной точкой кривой (рис. 6.7); если а > О, то хх < О, т. е. точка (О; 0) является узловой точкой (рис. 6.8). т. е. Х вЂ” иа Сае Са У вЂ” иа Егл Оа а — Са А чш сгг — соч са ио Пример 3. Исследовать особые точки кривой, заданной уравнением 2+ 3 2 О А В данном случае г'(х; у) = ахз + хз — уа. Так как г 2ат+ Зхз, Еи' = — 2У, то система (9) для определения координат особых точек кривой имеет вид ,3 а ах +х — у =О, 2ах+Зх =О, — 2у=О. Эта система при любом а имеет единственное решение х = О, у = О.
Следовательно, данная кривая может иметь только одну особую точку (О;0). Вычислим частные производные второго порядка функции Г в точке (О; 0): Так как ~",Р' ф О, то при любом а точка (О;0) является особой точкой 2-го порядка. В точке (О;0) определитель Ь = — 4а. Позтому если а < О, то гл > О, и, слодовательно, точка (О;0) является изолирован- 134 Гл. 1. Дифференциальное исчисление фуннаий неснолъних переменных Если а = О, то Ь = О. В этом случае у кривой дз = хз в начале координат --. точка возврата первого рода (рис. 6.9).
Уравнение (10) для данной кривой имеет вид 2асз — 21сз = О. При о > 0 получаем, что касательные в узловой точке имеют направления (1; ~чсса). Рнс. 6.10 При а = 0 касательная к кривой в точке возврата совпадает с осью х. При о ( 0 уравнение нс имеет решений (кривая в изолированной точке не имеет касательной). А Пример 4. Найти огибающую семейства кривых (д — С) = (х — С)з. А Система (12) в данном случае имеет вид (д — С)з — (о; — С)з = 0 — 2(д — С) 4- З(х — С)з = О. Исключая параметр С, получаем дискрилчинантную кривую 4(д— —:с) + 27(д — х)з = О, т. е.
(д — х)(д — х+4/27) = О. Прямая д = х — 4/27 (рис. 6.10) является огибающей данного семейства кривых, прямая д = х дает множество особых точек кривых семейства (точек возврата первого рода). А ЗАДАЧИ Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке (1 — 3). 1. 1) =хд, (2;1;2); 2) а=ха+уз, (1:1;2); гб. Геол)етрачеекие приложения 3) г = 2хг — 4у", ( — 2; 1; 4); 4) г = (х — у)г — х+ 2у, (1; 1; 1); 5) г = ха — Злу+у', (1;1: — 1); 6) г = ч/хг+ уз — ху, ( — 3;4:17); 7) г = т/ха + ул, (О;0; 0); 8) г = х — у+ х/Гху/, (О;0;0): 9) г = 1п;/хе+уз (О;1;0); 10) г = яп(х/у), ()г;1)0); 11) г = е*ееег, (1;0;е); 12) г = атс18(у/х), (1;1:,)г/4).
2. 1) хг + де+ гг = 169, (3;4; — 12); 2) хуг+гз=12, (1;2;2); 3) хг, уз + ге + хуг 4) хуг(гг — хг) = 6+ у', (1;1;2); 1) Р д 1 + *т = . †:- Р -'; * — 4, )2; Ь 6); 6) е- — я+ху = 3, (2:1;0); 7) г = у+ 1п(х/г), (1;1;1); 8) 2'гл+ 2г)л = 8, (2;2;1). 3. 1) х = и + о., у = иг + ог, г = из + ог, (3; 5; 9):, 2) х = и. у = иг — 2ио, г = иг — Зиго, (1; 3; 4); 3) х=и+!по, у=и — 1пи, г=2и+ю, (1:,1;3); 4) х = созисЬо, у = яписЬо, г = вЬс., (сЬ1/ч/2; сЬ1/чг2; зЬ1). 4. Написать уравнение касательной плоскости к поверхности в заданной ее точке (хо; уо; гс): 1) хг/аг + уг/Ьг + гг/сг = 1 (эллипсоид); 2) хг/аг + дг/Ьг — гг/сг = — 1 (двдполостный гиперболоид): 3) х /р — у /у = 2г (гиперболический параболоид).
5. Написать уравнения нормали к поверхности в данной ее точке (хо, 'уо': го): 1) хг/аг + уг/Ьг — гг/сг = 1 (однополостный гиперболоид); 2) хг/р+ уг/у = 2г (эллиптический )ароболоид); 3) хг/а + у~/Ь вЂ” гг/сг = 0 (конус). 6. Написать уравнение касательной плоскости к поверхности в данной точке (хо.,'дс;го) этой поверхности: 1) хп + уп + гп = ап и Е Я. а > 0; 2) (хг + уг + гг)г = аг(хг — дг + гг), а ~ О. 7.
Написать уравнение касательной плоскости к поверхности; 1) х = и сова, у = и з1пю, г = и; 2) х=Зсозисозо, д=2созияпо, г=япи, вточкес параметрами и = ио, о = оо. Выразить коэффициенты полученного уравнения через координаты хс, уо, го точки касания. 8. Написать уравнение касательной плоскости к поверхности: 1) х = (5+асов~,'))сов)р, д = (5+асоз15)з1п)р, г = аяп)р, 5 > >а>0; 2) х = яп)рсоза), у = яп)ряпф), г = 1п 18()р/2) -Ь сов)р в точке с параметрами )р = Ро, ф = Чо. 136 Гл. и Дифференлиалъное исчисление фуннаий неснолъних иереиеннъъх 9. Написать уравнения касательных хг + 2уг — Згг + ху + дг— в точках ее пересечения с прямой х, = 1, 10.
Доказать, что поверхности г = ху касаются друг друга в точке (2; — 3; 1), и сательной плоскости. плоскостей к поверхности 2х. + 16 = 0 у = 2. хг + 8 е - г .ежгисл найти уравнение общей ка- отсекают на координатных осях отрезки, сумма которых равна а. 19. Доказать, что касательные плоскости к поверхности гъэ+ 273+ 273 273 > 0 11. Найти на поверхности точки, в которых касательные плоскос- ти к ней параллельны координатным плоскостям: 1) хг+дг+гг бр+42 12. 2) хг+уз 2 2х О.
3) хг + 2уг + 322 + 2ху+ 2хг+ 4уг = 8, 12. Написать уравнения тех касательных плоскостей к поверхнос- ти, которые параллельны данной плоскости; 1) г.г, 2дг+ гг 2) гг + ху -Ь хг = 1, х — д+ 22 = 1; 3) 4хг + 6уг+ 422 +4хг — 8у — 42+ 3 = О, х+ 2у = О. 13. Написать уравнение касательной плоскости к поверхности, проходящей через точку ЛХ и параллельной данной прямой; 1) хг уг Зг М(О 0 — 1) х=2д=ж 2) 90хг -~- 160уг -Ь 57632 = 2880, ЛХ(12; — 3; — 1), х = О, у = О. 14. Написать для данной поверхности уравнение касательной плоскости, перпендикулярной данной прямой: ( х †у †, 1) х +У +г =2х, 12х 2д 2=4 2) г=ху, х=д= — 2г. 15. Для поверхности 2хг + 5уг + 222 — 2хд + буг — 4х — р — 22 = = 0 написать уравнение касательной плоскости, проходящей через х/5 = у/4 = (г — 1)/О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
