1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Доказать, что всякая интегрируемая на этом множестве функция ограничена на нем. 48. Пусть функции 1 интегрируема по множеству Х положительной меры, Хо -- множество всех точек замыкании Х, в любой окрестности каждой из которых функция 1 не ограничена, шХ . множество всех внутренних точек Х. Доказать, что расстояние между Хо и 1пХ положительно.
49. 1) Пусть функция 1 интегрируема по множеству Х положительной меры, 1пХ множество всех внутренних точек Х. Доказать, что 1 интегрируема и ограничена на множестве Х Г1 шХ и й(х) йх = ~ 1(х) Д' Хт!п Х да. Кратный интеграл Рилгана и его сеойстеа 189 2) указать множество Х положительной меры и определенную на нем функцию Г, которая интегрируема на Х Г1 шХ, но не интегри- русма на Х.
50. Пусть функция 1 интегрируема по множеству Х положитель- ной меры, шЛ" множество всех внутренних точек Х. Доказать, что существует такое подмножество Ха С Х пулевой меры, что 7 ограничена на Х 1 Хе и расстояние между Хо и шХ положительно. 51. Пусть Х .-- множество положительной меры, шЛ -- мно- жество всех его внутренних точек, Хо с Х, ге(Хо) = О, р(Ло, ш Х) > > О. Доказать, что если функция 7 определена на Х, ограничена на Х 1~ Хо и интегрируема на Х Г~ шХ, то 7 интегрируема на Х и / 1(х) г1х = / 1(х) дх. Х ХГ11нх 52.
1) Доказать свойства 2), 3), 5), 7), 8), 10) кратного интеграла Римана: 2) пусть функции Г и д интегрируемы на множестве Х положи- тельной меры, ш Х - - множество всех внутренних точек Л, д не меняет знака на шЛ'. Доказать, что: а) существует такое число Л, что ш1 7" < Л < апр 7'., / 7" (х)д(х) сЬ = Л / д(х) с1х; 1иХ Х б) если к тому же Х линейно связное множество или замыка- ние линейно связного множества и 7 непрерывна па ш Х, то сущест- вует такая точка С Е 1пХ, что / 7(х)9(х) и = т 1 д(' )ег .
53. Пусть функция Г интегрируема на Л. Доказать, что для лю- бого е > 0 есть такое б > О, что для любого измеримого подмно- жества Л1 С Х такого, что р(Х1) < д, / У(х) ах < е. 1 54. Пусть функция Г интегрируема на Л, и пусть 1(х) = 0 в каждой точке х Е Х, в которой она непрерывна. Доказать, что /,Г(х) дх = О. х 55. Пусть функция 7" непрерывно дифференцируема на квадра- те Х=(0;Ц х (О;Ц. Найти (/' 1 ~ (1 1)) х н1=1 ще Гл.
г. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы 56. Пусть линии уровня непрерывной функции /(х;у) — . простые гладкие замкнутые кривые., пусть ие .-- фиксированное значение /, Й(и) - - область, ограниченная линиями уровня /(х; у) = ие и /(х; у) = и, Я(и) площадь этой области. Доказать, что /(х;у) дхду = / иЯ (и) аи. п(ь) "0 Указание. Рассмотреть разбиение й(и) линиями уровня /(х;у) = и, где (ий), г' = 1,...,п, разбиение отрезка [оо,.и], 57.
Пусть функция / интегрируема на Х и а < /(х) < Ь, т Е Е Х, функция д непрерывна на [а: Ь]. Доказать, что композиция д о / интегрируема на Х. 58. Пусть функция /' интегрируема на Х и а < /(х) < Ь, х Е Л, функция д выпукла (вверх или вниз) на [а;Ь]. Доказать, что композиция д о / интегрируема на Х. 59. Пусть функция / интегрируема па Х. Доказать, что для любого р > 0 функция [/]г ицтегрируема на Х. 60. Пусть функции / и д интегрируемы на Х, р > 1, 1/р + 1/д = = 1.
Доказать, что /']/(*) (*)]"*-< -' Г]/(.)]'"" -' /'] (х)]'"' р Ч х х х Указание. Доказать неравенство Юнга ]аЬ] < аг/р+ ал/д и воспользоваться им. 61. Пусть функции / и д интегрируемы на Л, р > 1, 1/р + 1/д = = 1. Доказать неравенство Гельдвра /"]./(*)д(*)] . ( /']/(.)] *) ""( /"]д(*)] х)"'" х х х Указание. Применить результат задачи 60 к функциям гл/ и д/о, подобрав о.
62. Пусть функция / интегрируема на Х, р > 1, 1/р + 1/д = 1. Доказать, что /']/(.)[ . - (.(Х))"(/']/(хн' х)в Я х х 63. Пусть функции / и д интегрируемы на Х. Доказать неравенства Минковского: 1) если р > 1, то 0 ) (/' ) (У ) 98. Кратний интеграл Рилгана и ого соойстоа 191 2)если О<р<1, то ( / ~уФ+р(х)~рйх) > (~%хярй ~ + (/ЬФ~рйх) х х Х 64. Пусть функция 1 интегрируема на Х и 11х) = О впе Х, пусть Ьб Я". 1) Указать такие Х, Р" и Ь, что функция Р"1х+ Ь), х Е Х, не интегрируелга на Х; 2) пусть дополнительно 1' ограничена на Х. Доказать, что функцил 11х+ Ь), х Е Х, интегрируема на Х для любого Ь Е Я"; 3) при тех же условиях, что и в 2), доказать, что ! ьи1 / ~1'1 )х + Ь) — 1" 1х) ) ~ йх = О; ь — зо / х 4) не предполагая ограниченности 1 на Х, доказать, что существует такое д > О, что для любого Я Е Ян такого, что )11~ < б, функция 11х+ Ь), х Е Х, интегрируема ца Х: 5) при тех же условиях, что и в 4), доказать равенство из 3).
65. 1) Пусть функция 1 интегрируема и ограничена на Х с Я", 1' . измеримое множество в Я", У з Х. Пусть 1' продолжение 1 нулем на У *). Доказать, что 1' интегрируема на У и У х 2) указать измеримые множества Х и У из Я", Х С У, и функцию 1, интегрируелзую на Х, такие, что 1 продолжение 1 нулем на 1 1см. 1)), не интегрируемо на У. 66. Пусть Х и У измеримые множества в Я", Х С У, 1 открытое множество или замыкание открытого множества. Пусть функция 1 интегрируема на Х, а ее продолжение нулем на У интегрируемо на У.
Доказать, что 1 ограничена на Х. 67. Одно из возможных определений интеграла Римана таково 1х = 1хм ..., хн)), Пусть 1 = 1х е Я": аг < хг < Ьь г = 1, ..., и) --. прямоугольный параллелепипед в Я' с ребрами, .параллельными координатным осям 1говорят также: промежуток, брус). Мерой ЛХ11) такого параллелепипеда называют произведение П 1Ь1 — о,), 1=1 *) Э го значит, что 1 = 1 нз К, 1 = О нз 1'1 Л.
192 Гл. 2. Кратные, нриоолинейно~е и пооерхноотные интегралы что совпадает с мерой Жордана (О 7) прямоугольного параллелепипеда. Рассматривают разбиении данного параллелепипеда 1 на параллелепипеды же плоскостями, параллельными координатным. Пспользуя только такие разбиения, определяют интеграл по 1 от функции 7', определенной на 1, посредством сумм Римана так же, как и в определении (2) в начале этого параграфа. 1) Доказать, что для параллелепипеда 1 такое определение интеграла от г' по 1 равносильно определению (2). Далее, пусть функция 1 определена на ограниченном множестве Х, 1 параллелепипед, содержащий Х, Х С 1. Пусть нх характеристическая функция Х*).
Если существует интеграл **) / 1нх (х) ах, то его называют интегралом Римана от 1 по Х и обозначают / 1(х) йх, т. е. х ~ 1(х) 11х = ~ ~ (х) ах. (33) *) Это значит, зтх(х) = 1 пли х а Л", нх(л) = О еие Х. **) Считают по определению 1н = 1 ио Х и 1„х = О ене Х. 2) Доказать, что существование интеграла (33) и его величина не зависит от ныбора параллелепипеда 1, содержащего Х. Отметим, что в определении (33) множество Х не предполагают измеримым по Жордану.
3) Доказать, что если Х неизмеримо по Жордану и 1 = сапог ~ О на Х, то 1 не интегрируема на Х в смысле определения (33). Мерой ограниченного множества Х С Ян называют число д(Х) = / 1 ах, х если этот интеграл в смысле (33) существует. 4) Доказать, что такое определение меры равносильно определению из О 7 меры Жордана, а сами меры совпадают. 5) Доказать, что если функция 1 интегрируема на Х в смысле (33), то 1 ограничена на Х. 6) Указать такое множество Х и определенную на нем функцию 7, что 1 интегрируема на Х в смысле (33), цо Х неизмеримо по Жордану и, следовательно, интеграл от г" по Х в смысле определения (2) не существует. 7) Указать измеримое по Жордану множество Х и определенную на нем функцию 7, которая интегрируема на Х в смысле определения (2), но не интегрируема на Х в смысле (ЗЗ). 8) Доказать, что на классах измеримых по Жордану множеств и 48.
Кратной интеграл Ранена и его свойства 199 ограниченных функций определения интеграла (2) и (ЗЗ) равносильны. 68. Пусть семейство измеримых в Я" множеств Х(Л), Л Е [О; Ц, таково, что функция р(Л) = р(Х(Л)) непрерывна на ]О, :Ц и Х(Лг) с с Х(Лг) для любых Л1 и Лз из (О; Ц таких, что Лг < Лг. Пусть функция г' интегрируема на Х(1). 1) Доказать, что функция 9о(Л) = / Г" (х) дх непрерывна на (О; Ц. х[л1 2) Пусть р(0) = О, Г'(х) > 0 для любого х 6 Х(1).
Доказать, что для любого й 6 (О; Ц найдется Л(й) е (О; Ц такое, что й / ~(х)дх = / Р(х)М . х1Ц хил<ай 3) Пусть дополнительно к условиям 2) функция р(Л) строго возрастает на (О; Ц. Доказать, что для любого в Е (О; Ц уравнение относительно Л(В) из 2) имеет только одно решение. 4) Пусть дополнительно к условиям 2) и 3) Х(0) = (хв) точка в Я", ийапгХ(Л) — э 0 при Л вЂ” + О, функция Р непрерывна в точке хо. Найти р(л(й)) 11п1  — зе д 69. Пусть функции Г" интегрируема по Л, хо 6 Х, 1пп Г"(х) = а. г-ееа Пусть саул -- куб с центром хо и ребрами длины Л, Хл = Х П Ол и р(Хл) > 0 для любого Л > О.
Доказать., что 1пп / г(х) дх = о. л-~о р(Хл) лл 70. 1) Пусть й„, п Е И, последовательность открытых шаров с центрами в начале координат и с радиусами Ян > О, 1цп В„= =+ос. Пусть функция г" определена на Я", интегрируема по любому шару Йе, и Е И, и 1пп Г"(х) = а. Доказать, что 1пп / Р'(х) с(х = а.
1 и ' р(йн) и 2) Доказать предыдущий результат, заменив последовательность шаров Й„такой произвольной последовательностью измеримых открытых множеств Хи, и е Ш, что Гл(Х„) > О, Х„с Х„ты п е И, и О Х„= Я". е=1 71. Пусть Х = (О; Ц х (О; Ц, х = (хшхз), функция Р" непрерывна на Х. Найти У(х] хг) Дх. ' оо,/ 1З Под ред.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
