1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 38
Текст из файла (страница 38)
153. Найти среднее значение функции Г" на области С, если: 1) У(х;р;г) = хе+де+г', С = (ха+ да+ г' < х+д+г); 2) у(х.д.г) ехр хг(аз+уз(Ь2+ ге( 2 С ( з(аз +уз (Ьз+ -ь г-,(с < 1). 154. Вычислить интеграл Ц~х"'уегедхдд(1г, где С = (хе+ -~-д +г- < Ц, гп, и, р целые неотрицательные числа. 155. Выразить через значения Г-функции интеграл Дирихле О х,"дог" (1 — х — д — г)е дх дд г1г, где С=(х>0, д>0., г>0, х+д+г<1), р>0, (7>0, г>0, е>0. 244 Гл.
2. Кратные, нриеолинейные и поаерхноетные интегралы У к а з а н и е. Можно воспользоваться заменой х + у + = С, д + + х = ьч, х = ьчь. 156. Пусть Х и Ог - измеримые мникества, ~р - отображение Л на Г с такими же свойствами, как и в теореме 7 п. 3 етого параграфа. Доказать, что: 1) существует такое д, что 2пЕ [Нет оп'(х)[ < д < ьцр ]ПеГ ~о'(х)] и р((7) = Вр(Х); 2) если Х -- связное множество, то существует хо е Х такое, что р(ЙГ~ = [бег р'(хо)[р(Х). дг г 157.
Найти Я (х;у:г)йхг(уг(г, полагая С = [омал] х дхдудг в х [Ь2; Ьг] х [сы сз]. 158. Пусть функция 7'(х; у; 2) непрерывна на цилиндре хг + уз < < Л2, 0 < х < Н. Доказать непрерывность на [О; Н] функции Г(х) = О 2 (х; у; х) агх гад. 2< ае 159. Пусть функция Г(г) непрерывна при г > О. Найти —, где аг ' гжигч- 2<2 160. Пусть функция г"(х:д;2) непрерывна на замкнутой области х > т/хи+ у . Найти —, где 2 2 РЯ = Ц~ 7'(х;д;,г) Йхе7уг(х. иг г~ 4- иг < г < г 161.
Пусть функция 7"(х;д; х) непрерывна при х > О, д > О, х > О. йр Найти —, где Ь(4) = Щу(х;д; )дхдудх, 0% д(4) = (х > О, д > О, х > О, х + д + з < 4). 162. Пусть функция 7(х;д; 2) непрерывна при х > О, у > О, х > О. де 1г Найти, где дх дуде ' п(г,ил) С(х;д; г) = [О;х] х [О;д] х [О:2]. 28. Кратный интеграл Рил<ана и его оеойетеа 163. Записать интеграл от функции Р' на множестве С в виде повторного по возрастанию номеров координат, если: 1) С = (О ( (Х1 < хг ( (хз ( (хл ( (а); 2) С = (Х1 + хз -~-хз -~-хл < а., х1 > О, хз > О, хз > О, хл > 0); 3) С=(уз+уз+хз (~Н2, 0(х4( Н); 5) С = (х, + хз + хз < а х4 0 < хл < Н). 164. Вычислить на множестве С = (х1 + хз + хз + х4 ~( а, х1 ) О, хз ) О, хз > О, хл > О); 1) /<Лх< а<уз <<хз <Лхл, '2) / (х1 + х2 + хз + хз) <ЛХ1 <Лхз ахз <2Х4, о > О С С 165.
1) Проверить, что (х = (х<,тз,хз,х4)) а 21 '22 хз а а а а ~ <<у< / <Лхз / <13 з ~ 1 (х) <1Х1 = ~ <2Х4 ~ <Лхз / <<хз / Й х) <Лх< ,' о о о о О 24 ХЗ Х 2) вычислить интеграл из 1) при Дх) = 1. 166. 1) Проверить, что (х = (х1, .хз, хз, .хл) ) а а — х< а — х1 —.22 а — х1 — 22 — хз ~<<уз / <<хз / ахз / г (Х) <<ул = о о о о а а — 24 а — хх — хг а — хх — хз — хг /<хх4 / ихз / ихз / < (Х) <ЛХ1,' о о о о 2) вычислить интеграл из Ц при Дх) = 1. 167. Вычислить на множестве С = (О < Х1 < х2 < хз < Х4 < а) интеграл: 1) / х1х2ХЗХ4 их1 ахз ихз их4, '2) / (Х1Х2 + хзх4) <<х1 ахз ихз ихл.
С С 168. Вычислить на множестве С = (х21 + хз + хз з( Нз, 0 ( ха ( < Н) интеграл: 1) / <<Х1 <<хз <2ХЗ дХ4., 2) / (Х1 + ХЛ + Хз + хл) ах1 <1Х2 <<хз <лха. С< С 169. Вычислить на множестве С = (хз + Х2 2+ хз з( агх42, 0 < х4 ( < Н) интеграл: 1) / <<х1 Ыз <<хз <зх4; 2) / (х1 + ха + хз) <<х< <<хз <<хз <ЛХ4 С С 170. Вычислить на множестве С = (х21 + хз з( а', хзг + х4 2< 63) интеграл: 1) / <<х <~х <<х <<х4.
2) / (у + у,, у, у4)2 <<х <1Х <<х <1х4 С С 216 Гл.я, Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы 171. Пусть функция 1'(х) непрерывна на кубе (О < х; < а, 1 = = 1, ..., н). Доказать, что а л1 а — г ап — 1 о о о о а а а а — / г Хп / глХп — 1" ° / СгХ2~1(Х1 "КХп) глХ1 ° о а аг уг 172. Пусть функция Я) непрерывна на [О;+ос). Доказать, что: а а1 а — г 1) ~ 1х ~11х ... ~ 11хп 1 ~ 1(хп) йх„= ' „, ~У®( — 1) и ' 42; о а а а а а ) 1 14хг — 1 '.— / ~(х.)Д,..= („'„, 1~()"-'Д; о а — г а о а 21 ап — г — п а ') 1"Х1 2 У""-- 1 П~(Х) Ха=А(Г~()«) 6 о о О =1 о а а1 — 2 — 1 4) ~хг 11хг ~гсг охг...
/ хп 1 йхп, ( 1(хп) 11х„= о о о о /( 2 12)п — 1г( ) игр 2п '(и — 1)! 1 о и 173. Пусть функция 1(1) непрерывна на [О;+со), С = ~ ~ хг < < о, хг ) О; 1 = 1, ..., 11~. Доказать, что ~1(хг + ... + хп) Дхг ... дх„=, ~ Ят) 1"-1 Нт. О о 174. Пусть функция К(х; у) непрерывна на квадрате 1 = [о;6] х [а;6[ = [а;6[". Обозначим 1 = [а; 6[, 1п = 1 х 111 1, н ) 3, и пусть Ка(х:у) = ~К(х; С)Л(С, у) ггС, 1 К - (' у) = ~К (х;с)К(рыу) Г; т (х;у)Е12, о>2, Доказать, что К чг(х'р) = ~ К(х'ЫК(рг ~ ~2)" КТ~; у) 146...
сК„, 48. Кратный интеграл Ринана и ого ооойотоа Кое„;,1(х; у) = /Кт(х, :~)К4~; у) д~, (х; у) Е 1, т, и б И. 1 175. Вычислить интегРалы по кУбУ Ян = [О; а)а Е 11", п > 2: п 1) / х~гс1х, 1<й<п, р>0; 2) / ~ хы1х: Я С1„Ь=-1 3) / ~хитах, р > О; 4) / (~хь) Йх, р > О; гй Ь=1 5) / е"*''"е'"'"Вх, отфО, 1=1,...,т1; Я 6) / сояг — (х1+ ... + ха) йх 2ап Я 176. Вычислить интегралы по пирамиде П„= 10 < х„< х„1 < ... ... < хг < х1 < а): п 1) / Мх; 2) / х1хг...х„о1х; 3) / ~хнах.
и„ и и„ 1=1 177. Вычислить интегралы по пирамиде Ва = ( ~ хь < а, хь > >О, lг=1,...,п): 1=.1 и н 1/2 1) / йх; 2) / ~хнах; 3) / ~х~йх; 4) / (~ хи) й,; я 1=1 ь=1 Ь=1 5) / ( ~ хь) ах, р > О. В, 1с= 1 178. Найти объем пннюрпого параллелепипеда, ограниченного плоскостями агох1 ~51, 61 > О, 1= 1,...,п, 1'=1 при условии г)е1(а,о) ~ О. 179. Найти объел1п-мерной пирамиды Š— "- '— ' <1, х, >О, аг >О, 1=1,....,п.
аг г=-1 180. Сферические координаты в К" можно получить индуктивно следу ющим образоь1. Пусть Х = '1Х1, ...,Ха — ЫХа) Е Й ~ х' = (х1,...,х„1) проекция х на й" 1. Пусть гл = ~х'~, 61,... ...,гр„ г сферические координаты в Я ' 21В Гл. 2. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы Набор (г', фЫ ..., ф„з, хп) называют цилиндрическими координатами точки х в Л". Совершим еще одну замену по формулам г г = гсовф„,, хп = гв1пфп — и оставляя координаты фз,..., гоп з прежними. Здесь г = ]х], ф„1 Е е ~ —.г/2;.г/2], якобиан замены, очевидно, равен г.
Тогда ка'кдой точке х сопоставлены сферические координаты (г; фЫ ..., фп г), а якобиан перехода от (хы ...,хп) к (~цфЫ ...,.грп г) равен,7„= гдп ы где дп 1 . - нкобиан сферической замены в Йп '. Вывести: 1) формулы перехода к сферическим координатам хп — г в1п Чп — 1 хп 1 — — г сов ф„~ вш фп — з, уп — 2 = гсовфп — 1 совгрп — 2 в1пфп — в~ хг = г сов ф, .ы..совфа шпфз., хз = '~ совфп ы.. сов фа совфы где гр1 Е )О; 2к), ф Е ~ — к/2п к/2], г' = 2, ..., и — 1: 2) формулу для якобиана перехода к сферическим координатам в Л" дп = г и ' сова фа-1 сова ггп-з... сов' фз сов фз.
181. Найти объем и-мерного шара ~ х~ ( Л . и — 1 182. Найти объем и-мерного цилиндра ~ хг < Лг, О < хп < Н. и — г 183. Найти объем и-мерного конуса ~ ~х~ ( хзх~, О ( хп ( Н. 184. Вычислить интеграл /' х-„'дх, х = (хы.,.,.хп), где п — 1 а = ( ~ х', < Л', О < и < Н). 185. Найти объем п-мерного эллипсоида ~ —.', < 1. аг г=1 186.
Вычислить интеграл / (Лз — х'-' — ... — хгп)1~в дх, где гг и, ч 1 г и шар з х; <Л. 48. Кратный интеграл Римана н его сеойстеа 219 187. Пусть функция 1(г) непрерывна при т > О. Свести к однонг Г *-г. (Л,Л,'Г.,Ланг*, ° ° О .г2 Н'СН'. и г=1 188.
Пусть Я = [О; а]"', с,(х) = [О; х1] х [О; хг] х ... х [О; х„], хь > О, Й = 1, ..., П, И ПуетЬ фуНКцИя 1(Х) НЕПрЕрЫВНа На Я, Х = (ХЫ ..., Хо), и = (иы ...,и„), Г(х) = / 1(и)йи., х Е с2. С2(г) дог Найти дхг...дхн 189. Пусть функция 1 непрерывна и положительна на [О; о], с,[ = = [О; а]", х = (хы, х„). Вычислить интеграл т н 1„, = / ( 2 ,((хь) /'2;2(хь)) Йх, 1 < т < п. ь=~ ь=г 190. Пусть функция 1 непрерывна на [О;1], б)н = [О:1]".
Доказать, что (х = (хм, х„)) 1пп (' 1(х1хг...хн) йх = 2 (0). с2 191. Пусть Яо = ~ ~ ~хь ( 1, хг > О, 9 = 1, ..., гг). Получить фора=1 скулу Дирихле (х = (хг, ....., хн)) Г(р, Ь рг + ... + р„-Ь 1) ' РЬ 192. Пусть Я„та же пирамида, что и в задаче 191, 1(1) непрерывная при 1 > 0 функция. Получить формулу Лидеилля 1(х~ + ... + ха)хт хо' ...х"„" их~ йхг...йх„= в ~~Я1Р' ог "+Р" 'ас, рь > О, Й = 1, ...,и. Г(р, + рг+ ... + р„) 1 о 193. Показать, что введенное ранее (см.
[2, гл. П1]) понятие несобственного интеграла в Я не равносильно данному здесь опре- 1 делению. А именно привести пример однократного интеграла, сходящегося в прежнем определении и расходящегося в данном здесь определении. 194. Доказать: 1) линейность несобственного интеграла; 2) аддитивность несобственного интеграла по множествам, 220 Гл. 2. Кратные, нриеолинейные и паеерхноетные интегралы 3) если Г" < д на С и обе функции интегрируемы на С в несобственном смысле, то / ) (х) дх < / д(х) с(х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
