1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 33
Текст из файла (страница 33)
1) Сформулировать критерий интегрируемости 1Ъ' в терминах последовательностей: 2) доказать равносильность утверждения из п. 1) критерию 1У. 12. Доказать равносильность определений кратного интеграла Римана в терминах г — б и в терминах последовательностей. 13. Доказать критерий Коши интегрируемости функции.
14. Пусть функция 1 определена и ограничена на измеримом множестве Х. Доказать, что: 1) длн любых двух разоиений г,(Х) и гг(Х) '.,® < ~тФ; 2) для побой суммы Римана о,(У;О) г,(У) < о (У!О) < 5;-(г) 184 Гл. 2. Кратные, нриеолинейные и поаерхноотные интегралы 3) для любого разбиения г(Х) = (Хб г = 1, ..., И) о Я,(Г) — а,® = ~~ ио(~;Хг)1л(Х,), г=г где иг(г';Х,) = зпр 1.г(х') — 1(хн)( - колебание 1 на Х„г=1.....,И; г',л" ЕХ, 4) для любого разбиения г(Х) = (Хб 1 = 1, ..., И) е,о) = 1п(о,(1;О,), Б„(() = апра,(1;О,); 5) 1л® < 1 (1); 6) 1л® = 1пп а,®, 1*® = 1пп Я,()').
~ -1хд-го ~;-1х1~- о 15. Доказать, что определение п-кратного интеграла Римана в случае п = 1 и Х = (а; 6) с 1л' равносильно определению интегра- ла Римана от функции одного переменного по отрезку 1а;Ь) (см. (2, з 6]). 16. Пусть Х Е й", д(Х) = О. Доказать, что любая функция, опре- деленная на Х, интегрируема на Х и / 1(х) г1х = О, х = (хй ...1х„). 17. Пусть функция 1 интегрируема на Х, Хо подмножество Х нулевой меры. Доказать, что 1 интегрируема на Х ) Хе и / 1(х) г1х = / 1(х) дх.
х~хе х 18. Пусть й --- измеримое открытое множество, й -- его замы- кание, й с Х с й. Доказать, что функция, .интегрируемая на Х, ограничена на Х. 19. Доказать, что 1л(г"; Х) < л*(1; Х), если Х = (О; Ц х (О; Ц, х = = (хг1хг) Е Х, а: 1) Г"(х) = 1, если хг и хз рациональны, 1(х) = 0 в остальных случаях; 2) 1(х) = 1, если хг + хз - рациональное число, 1(х) = 0 в осталь- ных случаях. 20.
Доказать, что функция 1 интегрируема по Х (х = (х~,.хз)), если; 1) Х=(0;Цх(0;Ц; ((х)=( — 1)" при 1((п+Ц<хг<1ггги»,ЕИ, 0 < ха < 1; гг(0;хг) = 1 при 0 < хг < 1; 2) Х = ((хйхз): ~х~~+~х~~ < Ц; 1(х) = ( — 1)а при 1 — — < < !х~! + /хз/ < 1 — Ц(п+ 1), и Е И; ((х) = 0 при !х~! + /хз/ = 1; 3) Х = ((хг1хг): хг, + х~~ < Ц; ((х) = 1ггп при 1/(и+ Ц < < хггхг + х., < 1/и, п Е И; 1(0; 0) = О. р8. Кратний интеграл Римана и его свойства 185 21.
Доказать, что функция / интегрируема по Х, и вычислить интеграл от / по Х (х = (х~, .хг) Е Х), если: 1) Х = [ — 1; Ц х [ — 1; Ц; /(х) = а1ръ х1ха'., 2) Х = ((хм ха); 0 < х1 < 1, 0 < хг < 1 — х1); /(х) = ( — 1)" при 1/2" < х1 + хг < 1/2" 1, и Е И; /(О; 0) = О; 3) Х = ((х~,.хг): х~+хг < 1); /(х) = 1/2а ' при 1 — 1/2н ' < < т/хг + х, '< 1 — 1/2, п Е И; /(х) = 1 при т/х', + хг = 1; 4) Х = [О; Ц х [О; Ц; /(х) = 1 /(Ц1 -Ь Цз), если х, = Р;/Цб где Р,/Цг несократимые дроби, р, Е И, ц; Е И, г = 1, 2; /(х) = 0 в остальных точках Л'; б) Л = [О; Ц х [О; Ц; /(х) = 1/(цаца), если х, = р,/ц,, где р,/у; несократимые дроби, р, Е И, ц, Е И, г = 1,2; /(х) = 0 в остальных точках Х.
22. Доказать, что функция / неинтегрируема по Х = (О; Ц х [О; Ц, если (х = (х1, 'хг) Е Х): 1) /(х) = 1, если х1 и хг остальных точках; 2) /(х) = 1, если хг . - рациональное число; /(х) = 0 в остальных точках Х; 3) /(х) = 1, если хз нерациональное число; /(х) = х1 в осталь- ных точках Х, 4) /(х) = 1, если х1 = р1/ц, хг = рг/ц, где р1/у и рг/ц --- несо- кратимые дроби, рг, рг,. ц Е И; /(х) = 0 в остальных точках Х: 3) /(х) = 1/(цгуг), если х; = р,/ц„где р;/ц, несократимые дроби, р,, ц, Е И, г = 1, 2; /(х) = 1 в остальных точках Х.
23. Указать функцию, непрерывную на измеримом множестве, но пе интегрируемую па этом множестве (для сравнения см. достаточное условие интегрируемости). 24. Пусть функция / непрерывна на открытом множестве Х. Доказать, что / интегрируема на любом измеримом множестве Х,, лежащем строго внутри Х (в том смысле, что каждая точка за- мыкания Х1 является внутренней для Х). 23. Пусть функция / непрерывна на открытоги множестве Х и для любого измеримого открытого множества Х„лежащего строго (см. задачу 24) внутри Х, / /(х) дх = О.
Доказать, что /(х) = 0 на Х. 26. Доказать, что функция, равномерно непрерывная па измери- мом множестве, интегрируема по этому множеству. 27. 1) Пусть функция / определена на измеримом по 111ордану множестве Х и множество всех ее точек разрыва имеет положитель- 186 Гл. 2. Кратные, нриоолинейноге и пооедхноетные интегралы ную меру Жордана.
Доказать (не используя теорему Лебега), что Г" не интегрируема по Риману на Л; 2) указать интегрируемую на множестве Х (измеримом по Жордану) функцию, множество точек разрыва которой (лежащих в Х) не является множеством меры нуль по Жордапу. 28. Указать функцию, определенную и неограниченную на множестве Х положительной меры Жордана, но интегрируемую на Х. 29. 1) Пусть множество Х измеримо, функция 1 определена и ограничена на его замыкании Х и интегрируема на Х. Доказать, что Г интегрируема на Х и /)(х) йх = / Г(х) йх; Х 2) указать функцию, определенную на замыкании Х измеримого множества Л, интегрируемую па Л", но не интегрируемую ца Л.
30. Пусть Х измеримое множество, Х его замыкание, функция 1 интегрируема на Л. Доказать, что г интегрируема на Х и / Г'(х) г1х = / Г'(х) дх. Х 31. 1) Пусть функции г" и д определены и ограничены на измеримом множестве Х и различны лишь на множестве жордановой меры нуль. Доказать, что если г интегрируема на Х, то и д ицтегрируема / д(х) е1х = / г(х) дх; х Х 2) указать функции 1 и д, определенные на измеримом множестве Х, различающиеся лишь на множестве меры пуль, но такис, что Г интегрируема на Л, а д не интегрируема на Х.
32. Пусть функции т' интегрируема по множеству Х, шХ множество всех внутренних точек Х, Л1 измеримое подмногкество ш Х, Хз = Х 1 Лы Доказать, что 1 интегрируема на Л1 и на Лг и / 1(х) е1х = / Г"(х) сЬ + / Г'(х) г1х. Х Хг Хг 33. Указать множество Х полоькитольцой меры и функцию, определенную и неограниченную на Х, но интегрируемую и на Х, и па любом измеримом подмножестве Л. 34. Указать непсресекающиесн множества Х1 и Хз положительной меры и функцию, интегрируемую па Х1 и на Хз, но не интегрируемую на Х1 г1 Хг (см.
свойство 3)). 35. Указать множество Х положительной меры и функции г' и д, неограниченные и интегрируемые на Х и такие, что; Г8. Кратный интеграл Рилгана и его оеойетеа 187 1) произведение г' д интегрируемо на Х; 2) 1пГ~д(х)~ > 0 и частное (,7д интегрируемо на Х (см. свойст- Х во 5)). 36.
Указать: 1) измеримое множество Х и определенную на нем функцию 1' такие, что функция ~Д интегрируема на Х, а 1' не интегрируема на Х (см. свойство 7)), 2) множество Х положительной меры и интегрируемую неограниченную на Х функцию 1 такую, что функция ~Д интегрируема па Х и / 7'(х) дх < / ~Дх) ~ Нх. х Х 3Т. Пусть функции 1 и д интегрируемы на множестве Х, непрерывны в его внутренней точке хо и )(хо) < д(хо),.
У(х) < д(х), х ~ Х. Доказать, что 1(*) . 1(х). х 38. Функция г непрерывна и интегрируема на множестве Х и / 7"(х) дх > О. Доказать, что существует куб 1„) с Х такой, что х 1(х) > 0 на гг. 39. Пусть Х измеримое множество пологкительной меры, функция г иптегрируема на Х и 1(х) > 0 для всех х Е Л. Доказать, что / 1(х) дх > О. 40. Пусть Х7 линейно связное измеримое множество, Хе множество меры нуль, Х = Хг 0 Ло, и пусть функция Г ограничена и интегрируема на Х и непрерывна на Хи Доказать, что существует такая точка с Е Х, что / Г(х) е(х = 1(~)7г(Х7).
Х 41. Доказать неравенства (х = (х7,хз)); 1) 1,96 < / (100+ сонг х|+соагха) 'Дх < 2, где Х = ((х~,хгз): )х,! + )х.) < 10); 2) — - < ~', , „ , Д, < †, , где Х = ((х7; ): 1 < .'1 + х~ < ,/ 4+х',жх4 Х < 4); х 188 Рл. 2. Кратные, нриоолинейноге и пооерхноетные интегралы Указание. Мегино воспользоваться результатом задачи 6. 42. Пусть Ха = [О;гг) х (О;и), р„= Хаог '1 Х„, и Е И. Доказать, что 1пп / )(х)дх =О, и„ если для х е У„„п е И, х = (х~, .хг): 1) 1(х) = (х-, + х;,)", и < — 1/2; 2) 1(х) = х~хз/(х~ + х )л; 3) 1(х) = (1+ х,хз) -, 4) 1(х) = е 43.
Пусть Уо множества из задачи 42. Доказать, что !пп / 1(х) е1х = +со, и — гео З если для х е 1гн, и е И, х = (х~, .хз): 1) 1(х) = (2хг + хз) 'г-'; 2) 1(х) = (1 + ~х~ — хз~) 44. Пусть 1"„ множества из задачи 42. Доказать, что (х = = (:гг1хз)) . г йх 11ш о-ож / 1+хг1п(хг+х ) и„ 45. Пусть функция 1 непрерывна, неотрицательна и интегрируема на Х, ЛХ = знр1.
Доказать, что П (/У( ))" Ь) =М. 46. Пусть функция Г" интегрируема по Х, Хо множество всех таких точек замыкания Х, в любой окрестности каждой из которых функция 1 не ограничена. Доказать, что существует такое д ) О, что для тобаго разбиения г(Х) с н|елкостью 1т(Х) ~ < б мера любого его элемента, замыкание которого имеет с Хо общую точку, равна нулю. 47. Пусть измеримое множество таково, что существуют его разбиения сколь угодно малой мелкости, все элементы которых имеют положительную меру.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
