1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Приложения кратных интегралов 241 9) г = 6 — хв — уз, г = ьг/хз + уз. 13. 1):вз + уз = аз, у + = ха, у — г = ха; 2) г=ху, г=х+уь х+д=1, х=О, у=О; 3) х = а, у = 6, гг = хуь а > О, 6 > О,: 4) х/а. -ь у/6+ г/с = 1, Зх/а+ у/6-р г/с = 1, Зх/а+ у/Ь вЂ” Зг/с= 1, д=О, а>0, 6>0, с>0; 7) хв/ад+ гз/62 = 1, хг/ад л-уз/62 = 1; 8) гв — хз = аз, гг — уз = ад, г = а Г2ь а > О; 9) х'гв + азуд = с'х', х = а, а > О. Найти объемы тел, ограниченных поверхностями 1можно воспользоваться цилиндрическими координатами) 114, 15).
14. 1) (хи+уз)' = 2ху, г = х+ у, г = 0 (х > 0); 2) хв + ув = х, хв + дв = 2х, г = хв + уг, г = О; ,в г 3) ха+ уг = 1, г = е ьв ьв /, г = О; 4) хз + уг = гз, хг + дг + аз = 2г-', а > 0 ( > 0); 5) хз+ 92+ гг = ад, хз+у > а(х~ь а > 0; 6) ха+ уз+ гв = аз, 1хз+ ув)2 = а21хд — ув)ь а > О, )х! > (у); 7) у = д/18а, у = д/18/3, г = с сов|яд/хд+ уг//2а)), г = О, т/х'+у~<а, с>0, 0(а<,П<2х: 8) г = хв + у' хд + у' = аз(хз + уз) г = О. 9) хв + уз = 1, хв + ув = 4, г(х -р у) = ад: + Ьу, г = О, х > 0 у > О, а>0, Ь>0.
15. 1) 2/аз р дд/62 = 1 хв/аз+ дв/62 = 2г, - = О; 2) хв/ав + ув/Ьв = 1, сг = хд, г = О, х > О, д > 0; ь) *в/'ьь/ь'=*/ь,*/ =О. /е+Ь/в, *=ь,ь ь; 4) 1хд/аз+ уз/62)2+ гг/сз = 1„. 5) хг/аг + уг/Ьг + гг/сз = 1, хг/аз + уг/Ьг = г/с, с ) 0: 6) хл/ал-Ь у /Ь =ха/аз+ уз/Ь, хв/ав+ ув/62 = г/с, г = О, с) 0; 7) х /ад+у /Ь =г/с, х/а+г/с=2, а)0, с)0. Найти объелды тел, ограниченных поверхностями (можно использовать сферические координаты) 116, 17). 16. 1) у, + у + г = 4, г = ь/Х' + д' (г ( „//Х + //2); 2) ха+уз+ = 2аг г =,/хе+уз (г ) 1/ха+ д'); 3) (хз + да+ гз) = азх, а > 0; 4) 1хз + ув Ч- гв)" = а"1хд + уд — гв); 5) 1хд + у~ + г~)2 = ахуг а > 0 6) (хз + ув + гв)2 = аг1хв + ув).
а > 0; 7) (хз + ув)г + г4 = азд, а > 0; 16 Под ред. Л.д.кудрявиеве, т.З 242 Гл. 2, Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы 8) (хз + уз)з + зе = азхуг а > 0 17. 1) (хз/аз+уз/52+ за/сз)2 = х/р р > О. 2) (хз/аз + уг/Ьг + зз/сл)з = хз/аз + уз/Ьз; 3) хз/аз + уз/Ьз + зз/сз = 1, хг/ог + уз/Ьз = з/с, с > 0; 4) хз/аз + уз/Ьз+ зл/сл = 1; 5) (хз/аз+ уз/бе+ за/сз)2 = хуг/рз, р>О.
Найти объемы тел, ограниченных поверхностями (18 — 20) (все па- раметры положительны); 18. 1) (х'/аз+ уз/Ьз)2 = 2ху/с-', гз = 2ху, х > О, у > О, з > 0;. 2) (х/а+ у/Ь)г+ зз/сз = 1, х > О, у > О, з > 0; 3) х+у=1,. зз=ху, з>0:, 4) (х/а+ у/Ь)з + зз/сз = 1, (х/а+ д/Ь)2 = х/а, у > О, з > 0; 5) х+ у = 1, хауге + узрз =, х > О, у > О, г > 0; 6) (х/а+ у/Ь) + зз/сз = х/р+ у/д, х > О, д > О, з > 0; 7) (х/а + у/Ь)2 + зз/сз = х/р — у/о, х > О, у > О, л > 0; 8) хз/аз+уз/Ьз+з/с = 1, (х/а)згз+(у/Ь)згз = 1, з = О, ((х/а)зг + (у/Ь)з/з < 1): 9) хз/аз+уз/Ьз+зз/сз = 1 (хз/аз+уз/Ьз)2 = х'/аа — уз/Ьз ((, 2/ 2 + уз/Ьз)2 С 2/ з дз/Ьз) 19.
1) (хз/аз + дз/Ьз)з + хл/сл = х/р; 2) (х/а + у/Ь+ е/с)2 = е/р, х > О, у > О., е > 0; 3) (х/а+ у/Ь+ г/с)з = х/р+ у/д, х > О, у > О, з > 0; 4) (х/а+ у/Ь+ г/с)з = х/р — у/д, х > О, у > О, з > 0; 5) (х/а+ у/Ь+ /с)2 = х/а+ у/б — з/р, х > О, у > О, е > 0; 6);/х7а + „/у/Ь + т/з/с = 1, :7) (х/а) 2(з + (у/Ь) 2!з + (з/с) 27' = 1.
8) ((т/а)з!з + (у/Ь)з~з)з+ (з/с)2 9) ~фх/а+ ~фу/Ь+ 1з/з/с = М, х > О, д > О, з > О. 20. 1) ту=аз, з:у=Зов, х=2у, х=Зу, =х~+уз, к=О:, 2) уз=ах. уз=Ьх, х=1щ, х=цд. в=1/хд, в=О, Ь>а, д>р: 3) уз = 2х, уз = Зх, хз = у, хз = 2д, з = ху, е = О; 4) ху=1 хд=4, уз=х, у =Зт,, зз=ху, 2=0; 5)х+у+х = а,х+у+з = 2а,х+у = з,х+у = 2з, у =х, у = Зх; 6) з = ха+ уз, г = 2(ха+ уз), хд = аз, ху = 2аз, х = 2у, 2х = у, х>0, у>0; 7) ха+за=аз хз+зз=Ь2. хз — уз — за=0 х>0 Ь>а 8) -''+ — "+ — =1п / "/ /, х=О, с=О, -'+ — =О, — + а Ь с х/а+у/Ь ' ' Ь с а д + — + — = 1.
Ь с 99. Приложения кратных интегралов 24З 21. Найти объем параллелепипеда, ограниченного плоскостями а,х+ Ь,У+с1 = ха1, азх+ Ьгд+ сзх = хйз, азх+ ЬзУ+сзх = хйз, считая, что о1 Ь1 с1 аг Ь2 С2 аз Ьз сз ф О. 22. Найти объел4 эллипсоида (а1х+Ь1у+с12) +(агх,+Ьзу+сзх) +(азх+Ьзд+сзг) = 1 при условии, что й ф О, где гл из задачи 21. 23. Найти объем части цилиндра (о1х + Ь1у + с12)2 + (азх + Ьзу + сгг)2 < 1, отсеченной плоскостЯми азх + ЬзУ + сгз = хд, пРи Условии, что хз ~ ~ О, где гл из задачи 21. 24. Пусть 1'и --.
объем п-мерного шара радиуса Л. Доказать, что; 1) существует такое со > О, что для любого Л обьем шара Ън = = с„Л"; 2 2з. 2) р =2 (2 ) Лгь41., 14 = (2 ) Лзь, Ь~Ы. (2Ь -Ь 1)О ' (2Ь)й 25. Найти объем четырехмерного прямого кругового: 1) цилиндра с радиусом основания Л и высотой Н; 2) конуса с радиусом основания Л и высотой Н. 26. Пусть у = у(х) . непрерывно дифференцируемая на отрезке (о; Ь) функция. Доказать, исходя из формулы (6), что плошадь о поверхности, образованной при вращении графика этой функции вокруг оси Ох, равна =2 1' /Н )/Д+ь ( )г а (см. (2, ~8, (8)]): 1б* 27. Найти площадь части сферы хг + уз+ зз = 2аг, заключенной внутри конуса х + у 28. Найти плошадь поверхности ах = ху, ха + уз < а'. 29. Найти площадь части цилиндра хг+ 22 = аг, заключенной внутри цилиндра уз + 22 = аг.
30. Найти плоШадь части параболоида у = хг + х-', расположенной в 1 квадранте и внутри цилиндра хг+ 22 = 1. 31. Найти площадь части сферы хг + уз + хг = а, заключенной внутри цилиндра хз/аз + уг/Ь2 = 1, Ь < а. 32. Найти плошадь части цилиндра х = хз, отсеченной плоскостями х+у=ьг2, х=О, у=О. 244 Рл. 2. Кратные, нриоолинейньге и пооерхноетные интегралы 33. Найти площадь части поверхности еа = 2ху, отсеченной плоскостпми х + у = 1, х = О, у = О. 34.
Найти площадь части сферы хв + да + ео = аз, расположенной вне цилиндров ха + уг = хах. 35. Найти площадь части цилиндра хз + уг = ах, расположенной внутри шара хг + уз + гг ( аг. 30. Найти площадь части конуса х~ + уз + ез, заключенной внутри цилиндра хз + уз = 1. 37. Найти площадь части конуса г = ьггха+уз, заключенной внутри цилиндра хг + уг = 2х. 38.
Найти площадь части конуса хг = уз + г~, отсеченной поверхностью ау = хз. 39. Найти площадь части поверхности 2х = ез — уз, расположенной внутри цилиндра уо + га = 1. 40. Найти площадь части цилиндра ха + да = аз, отсеченной плоскостями х х е = О (х > О). 41. Найти площадь части поверхности хз + уз = 2е, заключенной внутри цилиндра (хз + дз)з = хг — уз. 42. Найти плошадь части сферы х~+у -Ь ~ = а-', заключенной внутри цилиндра (ха + уз)з = 2агху, 43. Найти площадь части поверхности хз/а — дз/6 = 2г, отсеченной цилиндром х-'/аз + д-'/6 = 1 и расположенной при е > О (а > О, ь> 0). 44.
Найти площадь части поверхности хз/а+ дз/Ь = 2е, отсеченной цилиндром хз/а + д-'/Ьз = 1 (а > О, Ь > О). 45. Найти площадь поверхности (х + у)а + г = 1, х > О, у > О, е > О. 40. Найти площадь поверхности (х + д)о + 2 ~ = 2а', х > О, у > О, е > О.
47. Найти площадь части сферического треугольника хо + уз+ + з~ + г' = о,', х > О, у > О, е > О, х + у < а. 48. Найти площадь части конической поверхности го = хз + уз, имеющей краем винтовую линию х = г сов г, у = лойпе, О < г < 2п, и отрезок образующей. 49.
Найти площадь части поверхности сйп = айхаЬу, д > О, отсеченной плоскостями х = 1 и х = 2. 50. Найти площадь части сферы х~ + уо + га = Лз, ограниченной двумя параллелями гр = рц, гр = фг > дй и дву'мя меридианами го = еоы :р = ооо > ео„где о и ф углы сферических координат. 51. Найти площадь поверхности тора х = (6+ асоагр) сезар, у = 99. Приложения кратных интегралов = [Ь+ а сов уь) зьп ьо, з = а з|п ф, 0 < а < Ь. 52. Пусть 1гз и 1~ моменты инерции относительно начала ког о г о, у г=~оо~,г = й'гу- я расстояние от С до оси ОЛ., М масса тела. Доказать, что: 1) 1о = 1с+ гаь1; 2) 1„= 1,, + пььью где 1,, момент инерции тела относительно оси Сх', параллельной Ох и проходящей через С.
53. Пусть для тела й С ьт~ площадь Я[х) его поперечного сечения плоскостью х = сопзь является непрерывной функцией х е [а; Ь[, и пусть плотность р тела зависит только от х, р = р(х). Доказать, что для массы тела М, его статического момента Ми, и момента инерции 1„', верны формулы [см.[2, .3 9, (1о)-[17)[): ь ь 1) М = ~Я[х)Р[х) аьх; 2) Ми» вЂ” — ~хат)Р[х) ь1х; о а 3) 1„', = [ хзЯ[х)р[х)ььх. 54. Пусть тело й получено при вращении вокруг оси Ох фигуры, заданной неравенствами 0 < уь[х) < у < уг[х), а < х < Ь, где уь[х) и уг[х) - - непрерывные функции, и пусть плотность тела зависит только от х, р = р[х). Доказать, что [см.
[2, 29, [19), [206: 2 1 е ь 2)1 1 + /,г[„г[) „г[)) [)д 1 55. Пусть основанием прямого цилиндра является область площади Я, а "крышка" цилиндра плоская. Пусть Н длина лежащего внутри цилиндра отрезка прямой, проходящей через центр масс основания параллельно образующим. Доказать, что объем цилиндра равен 511. 56.
Для квадрата й = [О;я12[ х [О;я12[ с плотностью р[х;у) = = ро ойп[х+ у) найти: 1) массу; 2) координаты центра масс; 3) моменты инерции 1, и 1„„относительно осей Ох и Оу; 4) момент инерции относительно прямой у = х. 5Т. Для круга й = 1хг + уг ( 2ах) с плотностью р[х; у) = Ро~й-' + уг найти: 1) массу; 2) координаты центра масс; 246 Гл. 2. Кратные, нриеолинейные и поеерхноотные интегралы 3) моменты инерции 1„и 1ии относительно осей Ох и Оу; 4) момент инерции относительно прямой х = а. 58. Для треугольника й = 1х+ у > а, .а > х > О, а > у > 0) с плотностью р1х; у) = х найти: 1) массу; 2) координаты центра масс: 3) моменты инерции относительно осей Ох и Оу; 4) момент инерции относительно прямой д = да, где уа ордината центра масс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
