1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 43
Текст из файла (страница 43)
59. Пусть начало координат О нвляется центром масс плоской фигуры й, прнмая 1 проходит через О и составляет с осью Ох угол а. Доказать, что 1г = 1,л соева — 21,„вша сова+ 1„„з|п а, (27) где 1г моьлент инерции й относительно оси 1, 1 и центробегкный клемент инерции: 1ли = ~~хур1х~ У) ггхНУ 128) 60. Найти координаты центра масс однородной плоской 1р = 1) фигуры: 1) у-'/а(х<2а — у, а>0; 2) хе+ уз ( аг, )у/ ( хьйа., а Е (О;л/2); 3) д < а-'/х, У'/)8а) < х < 2а, а > 0; 4) т < а(1+ гйпно): 5) ограниченной петлей декартова листа хз + у = Захд; б) ограниченной аркой циклоиды х = а1г+ вш1), д = а(1 — соз1) и прямой у = 2а; 7) чгх-ь /у<ьга, х>0, у>0.
61. Найти статический момент однородного 1р = 1) тела ~(х~ + +уг) « - 1 — хз — уг) относительно плоскости Оху. 62. Найти координаты центра масс однородного 1р = 1) тела: 1) 0 ( Ьх < ЦЬ вЂ” у), азу > Ьх~, а > О, Ь > О, Ь > 0,: 2) (дл + 2ев)/4 < х < 2. 63. Найти координаты центра масс тела с плотностью р: 1) )О; а) х ~0; а) х ~0; а), р = реях+ у+ г)з; 2) в+уз+ г < Нз >О ~ гсг+уг. 3) Л (х +у +е (4Л у>0 р=ро(еа+х +у ) 4) ьгх +уз« Ь, р=роел; 5) х' + у' < г < Ь, р = роъ% - ьц б) х'+уз+ ' <Л >О Р=ре1хг+дге еа) — 'ьа Т) х'+ Уз — г' < а', О < х < Ь, Р = Рех, 8) 0 < х < хз — уг, хе + ул < 1, х ~ )О, р = роз.
99. Приложения кратных интегралов 247 64. По пространству вне шара хг + 92 + 22 > Вг распределена г=ги ', ° ° г, — 1* 7» +*". Найти эту массу. 65. По пространству нне эллипсоида хг/аг + у~/Ьз + 22/сг > 1 распределена масса с плотностью р = роехр( — й 7г > О. Найти эту массу. 66. Найти момент инерции относительно координатных осей и относительно начала координат однородной (р = 1) плоской фигуры: 1) хг + 92 < аг, ~у~ ( х18о, о й (О;.т72); 2) (х — а)2 + (9 — а)2 > аг, а > х > О, и > у > 0: 3) х7'а+ 97с < 1, х(Ь+ р/с > 1, у > О, а > Ь > О, с > 0; 4) г < а а1п2~р, 0 < ио < л/2; 5) г < а(1 — аш го); 6) хг 2 2 + 62)Ь2 < 1. 7), 4 Ь,р~ аг(х~ 1 92). 8) хр=аг, ху=2аг, х=2у, д='2г (х>0., 9>0). 67.
Найти полнрный момент инерции относительно начала координат однородной (р = 1) плоской фигуры: 1) х/а+ р/Ь < 1., х > О, у > О, и > О, Ь > О,: 2) аз > 62 > ах > О, а > 0; 3) г = а~/соа292. 68. Найти момент инерции плоского однородного (р = 1) правильного треугольника со стороной и относительно оси: 1) содержащей его высоту; 2) проходлщей через центр масс треугольника и составляющей с его высотой угол сг. 69. По шару радиуса Л распределена масса ЛХ с плотностью р. Найти момент инерции шара относительно его диаметра, если: 1) плотность р в точке пропорциональна расстоянию между этой точкой и центром шара; 2) плотность р и точке обратно пропорциональна расстоянию между этой точкой и центром шара.
70. Найти моменты инерции относительно координатных осей однородных (р = 1) тел; 1) ~0; а) х ~0; Ь) х [О; с]; 2) хг + уз < Лг, 0 < 2 < Н; 3) 0 < Вя < Н (Л вЂ” Ьгхз + 92). 71. Найти полярный момент инерции шара хг+ 92+ 22 < Лз с плотностью р = ре(ха + 92+ 22) относительно его центра. 72. Найти момент инерции относительно плоскости Оху однородного (р = 1) тела хг+ уз+ 22 < Лз, хг+ уз+ 22 < 2Л2. 73. Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородных (р = 1) тел: г48 Гл. 2. Кратные, нриеолинейные и поеерхностные интегралы 1) х/а+ у/6+ з/с < 1, л > О, у > О, > О, а > О, Ь > О, с > 0; 2) ')" + х')о+*') .' ( 1: 3),/У7З +ОЙ с *) ( 1; 4) хг/аг + уг/Ьг -~- зг)'с'" ( 1, хг/аг + уг/Ь ( х/а, а > О, Ь > О, с>0; 5) (хг/а' + уг/6~)/2 < г/с < х/а+ у/Ь, а > О, Ь > О, с > О.
74. Найти момент инерции относительно оси Ог однородных (р = 1) тел: 1) 2ах > зг, хг+ уз < ах; 2) хг+уг(а", х+у+з<ат/2, >О; 3) 0 < з < хг + уг, )х + у! < 1, )х — у! < 1; 4) хг + уг -)- зг ( 2 > ° /ххг ч уг 5) (хг с уг + г~)г ( з б) (х/а)г1з + (у/6)г/з + (г/с)гуз < 1. г), д'))г + *')г с ) . с 1. с, з з . ю. 75. Найти момент инерции тора х = (Ь+ исоа)))) соз)р, у = (Ь+ +асозсэ) ашсо, з = а,шп))ц 0 < и < Ь, относительно: 1) оси О; 2) оси Ох. 76.
Найти момент инерции однородного (р = 1) цилиндра ха + +у < Лг, ~г~ < О относительно прямой х = у = г. 77. Пусть начало координат О совпадает с центром масс тела С, ось 1 проходит через точку О и составляет с осями координат углы о, )3 и у. Доказать, что момент инерции 1) тела относительно оси 1 равен 1) = 1„ созг ст + 1„„ соз' )3 + Хл соаг у — 21ги соз сг соз Д— — 21„, созДсоау — 21л, соз с созе), (29) где 1.„=Я.ура. йуДз, 1„а=фу р Ь1уйз, 1,=Я ра йуйз (30) центробежные моменты инерции тела. 78. Найти логарифмический потенциал, если й = (хг + уг ( аг), и, кроме того: 1) )л = сопят; 2) р(х;у) = /(г), г = „/хг + уз 79.
Найти ньютонов потенциал в точке Мо, создаваемый шаром плотности ро *) и радиуса Л. 80. Найти ньютонон потенциал в точке ЛХо, создаваемый полым шаром с плотностью ро, если его внутренний и внешний радиусы есть Лз и лог, Лг < Лг. 81. Найти ньютонов потенциал, создаваемый шаром хг+уз + *) Всюду а задачах этого пункта рс = сапах. Х 9. Приложения кратных интпегралов 249 н*;е )=изхю'+*' 82. Найти ньютонов потенциал в центре основания цилиндра с радиусом Л, высотой Н и плотностью ро. 83. Материальный конус с образующей 1 и высотой 6 имеет плотность ро.
Найти потенциал гравитационного поля конуса: 1) в его вершине; 2) в центре его основания. 84. Найти в точке (О;0,6) ньютонов потенциал полушара ха+ + ул + хз < Лз, х > 0 с плотностью ро. 85. Найти в точке (0,0;6) ньютонов потенциал цилиндра хе+ + рз < Лз, 0 < х < Н с плотностью ро. 80.
Найти ньютонов потенциал эллипсоида (хз + д~)/аз -~- х~/Ь = 1 с плотностью ро в его центре. 87. Найти силу притнжения материальной точки ЛХо массы т шаром радиуса Л с плотностью ро. 88. Из материального шара радиуса Л и плотности ро вырезан шаровой сектор с углом в осевом сечении 2о. Найти силу, с которой этот сектор притягивает точку массы т, расположенную в его вершине. 89. Для материального шара с плотностью р = Х(г) доказать, что: 1) точка вне шара притягивается шаром с такой же силой, как и точечной массой, равной гиассе шара и помещенной в его центре; 2) на точку внутри шара наружный шаровой слой не оказывает никакого действия; 3) потенциал в точке вне шара таков же, как и от точечной массы, равной массе шара и помещенной в его центр; 4) если шар полый, то потенциал шара в полости постоянен.
90. Найти силу, с которой цилиндр с плотностью ро, высотой Н и радиусом Л притягивает точку массы т, расположенную в центре основания цилиндра. 91. Найти силу, с которой конус с плотностью ро, высотой Н и радиусом основания Л притягивает точку массы т, расположенную в вершине конуса. 92. Найти силу притяжения материальной точки массы т с координатами (О; 0; 6) материальным кругом (хз + р < Л, х = О), по которому равномерно распределена масса с поверхностной плотностью ро.
93. Найти силу притнжения материальной точки массы т с координатами (О; 0; 6) материальной плоскостью, по которой равномерно распределена масса с поверхностной плотностью ро. 94. Расстояние меекду центрами двух шаров равно а, масса одного шара равна ЛХы другого -- ЛХз, плотность каждого шара постоянна. 250 Гл.
2. Кратные, криволинейного и поверхностные интегралы 98. Горизонтальный уровень жидкости совпадает с плоскостью Оуг, ось Ох направлена вниз, в глубь жидкости. Плотность жидкости ро. Показать, что сила давления жидкости на вертикальную пластину 11, расположенную в плоскости Оху, равна р„О ха. йу., и а ее точка приложения находится на глубине 6, определнемой из фор- мулы К ~~хпхг1у = Цх гХхну. (31) 99.
Показать, что кинетическая энергия твердого тела О, вращающегося вокруг оси Ох с постоннной угловой скоростью ш, равна 1 г (32) где Х„осевой момент инерции тела. 100. Пусть тело О вращается вокруг оси Ог с постоянной угловой скоростью ш. Главный вектор сил инерции (центробежных сил) Р = (Р,: Ги., Ре) определяют по формулам Е, = шз / хр а1г = газ ЛХ„е, Е„= е аМл„Рг = О. (33) и Главный момент М = БАЛХ.,;ЛХи,.М,) этих сил по формулам = '"' Х Ухд'г~ = ш Хил С М„= шзХ„, ЛХ = 0 (34) Исходя из формул (21), (20) доказать, что сила притнжения одного шара другим равна силе притнжения между двумя н|атериальными точками, помещенными в центры шаров и имеющими массы ЛХ1 и ЛХз соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
