1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 46
Текст из файла (страница 46)
/ !х+ у) Не, Г четверть окружности хз + уа + г = х, расположенная в 1 октанте. 17. /хаеЬ, Г окружность ха+ уз л-зз = аг, х-Ьу+ з = О. г 18. /гав, Г дуга кривой хе+да = гг, уз = ах от точки ! !О;0;0) до точки !а;а;анГ2), а > О. г =а,у= Вычислить криволинейный интеграл второго рода по кривой Г, пробегаемой в направлении возрастания ее параметра х 119, 20). 19. 1) /худ, Г дуга синусоиды у = а!пх, 0 < х < л; г 1! 2) /)х — — )а!д, Г дугапараболыд=хе, 1<х<2: г у 3) / хду — дух, Г --- кривая у = х,', 0 < х < 2; г 4) / УЫ+Ну, Г кривая у=!их, 1<х<е; г 5) / 2ту дх+ хз ду, Г -- дуга параболы у = —, 0 < х < 2; г 6) /2худх — хзду, Г дуга параболы у = )/ — "', 0 (х ( 2.
г 20. 1) / саедшах. — а!пуе1у, Г отрезок прямой у = — х, — 2 < г <х<2; 2) /!ху — уа) дх+хф, Г кривая у = 2нгхн 0 < х < 1; г 3) / !хз — 2ху) дх+ !д~ — 2ху) е1у, Г дуга параболы д = хз, г -1(х(1; 4) /!х -~-уз) дх-Ь !х — у ) ду, Г кривая у = 1 — !х — 1~, О < г (х(2. 264 Гл. 2, Кратные, нриоолинейные и пооерхноетные интегралы Вычислить криволинейный интеграл по кривой Г, пробегаемой в направлении возрастания ее параметра 1 (27, 28). 27. Ц / д'йх, Г г дуга окружности х = сов 1, у = ейп1..
0 < 1 < < .г/2; 2) / хг1у+ дух, Г г О ~~1( и/2; дута окружности х = Лсоз1, у = Лзьп Вычислить криволинейный интеграл по кривой Г, .пробегаемой от точки А к точке В (21-25). 21. ~хг1у — дг1х, А(0;0), В(1;2), если; г Ц Г отрезок АВ; 2) Г дуга параболы у = 2хз; 3) Г ломаная АСВ, где С(0; Ц, 22. /хуАх — узе(у, Г дуга параболы уз = 2х, .4(0;0), В(2;2). г 23. ~ — дх — — е1д, Г дуга параоолы х=у, А(4;2), В(1;Ц.
Г Зх 2уе з у х 24. / — е1х — г(д, Г дуга параболы д = хз, .4(2,4), В(1; Ц. й у х г 25. (' хйу, Г полуокружность хз+ уз = а-', х ) О, А(0; — о), г В(0; о). 26. Вычислить криволинейный интеграл по отрезку АВ, ориен- тированному в направлении от точки А к точке В: Ц ~хзг1у — худ, А(0; — 2), В(1,:3); г 2) / — Зхз с~х + дз Йу, .А(0; 0), В(2; 4); г 3) / (2х — у) дх + (4х + 5у) ду, А(3; — 4)., В(1; 2); 1 4) / (4х + 5у) г1х + (2х — у) г1у, А(1; — 9), В(4; — 3); г 5) /(, о +д)йх+ ~ ., и +х)ду, А(1;О), В(3;4); г 6) 1 (х + д) йх + (х у) йу, А(0, Ц, В(2,3) 4 10. Бриввлинепные интеграле~ 3) /уг1х — хйу, Г эллипс х = асозг, у = бзшг, 0 г 4) /у е1х+х~е1у, Г верхняя половина эллипса х г у = Ьвшй 28.
1) / (2а — у) е~х+ (у — а) е1у, Г дуга циклоиды г — а1п1), у = а(1 — соз1), 0 < 1 < 2л:, Г х ду — у Их 2) ~ ' ' ~, Г дуга астроиды х = асоазг, у / х513+удз О < 1 < п1 2. (1(2л-, = асоз1, = агйп 1, 3 Вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой Г, про- бегаемой так, что ее внутренность остается слева (29, 30). 29. 1) / (хз + уз) е1х, Г граница прямоугольника, образованг ного прнмыми х= 1, х= 3, у=1, у = 5:, 2) / (хг — 2ху) йх+ (х — 2у)з Иу, Г . - граница прямоугольника, г образованного прямыми х = О, х = 2, у = О, у = 1; 3) / (Зхл — у) дх+ (1 — 2х) е1у, Г граница треугольника с верг шинами (О:0), (1;0), (1; 1); 4) / (хе + уг) еЬ+ (хз — дг) е1д, Г --- граница треугольника с верг шинами (О:0), (1;0), (О; 1).
30. 1) / 2(х~ + д~) е1х+ (х+ у)~ е1д, Г граница треугольника с г вершинами (1; 1), (1;3), (2;2); г дх+ Ыу 2) 11 ", Г граница квадрата с вершинами (1;0), (О;1), г (-1;0), .(О;-1); 3) / „., ", Г окружность ха+уз = Вз; хе+ уг г г ху е1х — х у4у 4) 11 'д; гу ~, Г -- правый лепесток лемнискаты г' = хг ж уг г = аа сов 2ев. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по прост- ранственной кривой Г, пробегаемой в направлении возрастанин 266 Гл.
2, Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы параметра 1 (31-36). 31. /дйх+зйд-~-хйв, Г виток винтовой линии х = асоя1, г у = а 61п С, е = 'оп 0 ( 1 ( 2я. 32. / (уз — з~) йе+ 2увйу — хлеЬ Г кривая х =1 у =1з г =13, 0<1<1. 33. / уе йх + л „/и~ — дв йд + ху йз, Г г х = а соя 1, у = а 61п 1, е = ав,г(2я), 0 ( 1 < 2к.
34. / (у+ в) йх-Ь (в+х) йу+ (х+у)йг, Г кривая х = аяш г у = 2ая1п1соя1, з = асояз1, 0 ( 1 ( к. 35. /хйх+(х+д)йу+(х+у+е)йл, Г кривая х = аяш г у = а сояг, е = а(яш1+ сояг), 0 < 1 < 2л. 36. /уйх+гйу+хйз, Г окружность х = асояасоя1, д = г = а соя а яп Фв х = а сйп а ( а = сопя1 ) . дуга винтовой линии Вычислить криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой Г (37 — 44). 37. / х йх + у йу + (х + д — 1) йв, Г отрезок АВ, пробегаемый г от точки 4(1; 1; Ц к точке В(2; 3; 4). 39. / х(е — у) йв, + у(л, — е) йу+ г(у — х) йе, Г ломаная 4ВСА, г где А(а;0;0), В(0;а;0), С(0;0;а). 40. / уз йх+ елйу+хейв, Г --.
линия пересечения сферы ха+ г + дл + е~ = Хл и цилиндра хз + ул = Хх (Х > О, е ) 0), пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть из точки (О; 0:, 0). 41. / (у — е) йх+ (е — х) йу+ (х — у) йе, Г окружность ха+ г +у + е = а, д = х13а (О < а < л), пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной полуоси Ох. й 10.
Криволинейные интегралы Прилгеняя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой Г, пробегаемой так, что ее внутренность остаетсн слева (45 — 55). 45. / (ху+ х+ у) Йх+ (хд+ х — у) Йу, если: г 1) Г эллипс хг/аз+уз/бе =1; 2) Г оьрул!ность хз -Ьда =ох, 46. ( (2ху — у) дх+ хй е1у, Г эллипс — ",, + — '",, = 1.
г 47. 1 ~ У, ", Г -- окружность (х — 1)г+ (у — 1)л = 1. .! тг + уг г 48. / (х+ д)~ йх — (хг + уз) ду, Г -- граница треугольника с верг шинами (1; 1), (3; 2), (2;5). 40. ~(д — х')ах+(х+д')4у, Г г ра 0 < г < Л, 0 < ео < о < л/2, где (г;!д) полярные координаты. 50. / с*[(1 — сов д) дх + (яп у — у) Ну), Г граница области 0 < г <х<л, 0<у<ягн.
2 2 з 2 51. й! е" ' (сов2худх+яп2хуе1у, Г окружность хг+у- = г 52. / (е'япу — у) е1х+ (е сову — Ц е1у, Г граница области г тг + д- < ах, у > О. граница кругового секто 42. / (уг — ла) Пх+ (ее — хг) е1у+ (хг — уг) еЬ, Г граница час! ти сферы ха + уг + гз = 1 (лежащей в 1 октанте), пробегаемая по ходу часовой стрелки, если смотреть из точки (О; 0;.0). 43.
/(д+ )дх+(г+х)др+(х+у)дг, Г окружность хе+ г -!-уз+ з~ = и, х Ч- у+ э = О, пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной полуоси Оу. 44. /(дг + ег) йх+ (хг + ее) !1у+ (хг + уг) г1х, Г --- линия перег сечения поверхностей х +у +е =2Лх, х +у =2гх, 0<г<Л, е>0, пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной полуоси Оя Заа Гл. х, Кратные, нриеолинейные и пооерхноетные интегралы Г Их — ду 53. ~ ' ', à — граница квадрата с вершинами (1;0), (О;.1), х -ь у г (-1,:0), (О; -1).
54. /ЬГхз + уз дх+ у(ху+ 1п(х+ тггхз + уз)) г1х, Г окружг ность хз + у = ггь. / (х + у)з лх — (х — у)з е1у, Г граница области, образованг ной отрезком АВ, где А(1;1). В(2;6), и дугой параболы у = ахз -Ь + ух+ с, проходящей через точки А, В, 0(0; 0). Убедившись в том, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл по кривой Г с началом в точке А и концом в точке В (56 — 68). 56. /хду+удх, А( — 1;3), В(2;2).
г 57. /хссах+ уг1у, А( — 1;О), В( — 3;4). Г 58. / (х+у) дх+ (х — у)ду, А(2; — 1), В(1;0). г 59. /2худх+ х'е1у, А(0:,0), В( — 2; — 1). г 60. / (хе + 4хуз) Их+ (бхзуз — 5ул) е1у, А( — 2; — Ц, В(0;3). Г 61. / (хз + 2ху — у') сЬ + (х~ — 2ху — уз) Йу, А(3; 0), А(0; — 3). Г 62. /(Зхз — 2ху+ уз) е1х+ (2ху — хг — Зуз) ду, .4( — 1;2), В(1; — 2). 63. / г"(х+ у)(агх+ е)у), 1(Г) непрерывнан функция, А(0;0), Г В(хо, уо). 64. / фх) е1х+ ф(у) г1у, у(1), 1о(1) непрерывные функции, г А(хыуг), В(хз,уз). 65.
/ехсоауух — ехз1пуду, А(0;0), В(хо;уо). г 4 10. 1сриввлинеаньсе интегральс 269 66. ~хе)х+ у~ с1у — ге асг, А[ — 1;0; 2),. В[0; 1, :— 2). с' 67 «у» Йх + х с)у + ху с)г, А[2; — 1; 0), В[1; 2: 3). ! гг. 1 '' ', сея,еег, я, -;г сфера хг + у- + + гг = Вг, яг --.
сфера хе+ уз+ гг = Вг [Вс > О, Вг > О). Найти функцию и по заданному полному дифференциалу этой функции [69 — 77). 69. аьи = хз дх + уз осу. 70. ди = [егг — 5узе*) с1х + [2хезг — 15узе*) с1у. 71. ди = е*' " [[1 + х + у) с1х -ь [1 — х — у) с1у~. ух + сьу + с1г у" с1х -~- хг ссу -~- ху се 73. с1и = 74.
ди = х -~- у -~- г 1 -Ь хеуггг глв пе зависел от пути интегрирования Глв? 79. Исходя из определения длины в спрямляомой кривой Г = = 1т[1), а ( 1 < Ь), данного в [1, 9 24, п. 2), доказать, что если Г кусочно гладкая кривая, то в Й ь ь = У"= У вЂ”,1[') "= У (41) '(41) "( ь) г е е ав Й сс =1 — (е~е=1Д вЂ” ) +[ль) л. (е2) г е е 75. аси = [хг — 2уг) с1х+ [уг — 2хг) ду + [ 2 — 2ху) сЬ. 76.
ди = (1 — — + — ) с1х + ( — + — "„) Йу — —, асг. у г - у [х -Ь у — г) ссх -Ь [х Ч- у — г) с1у -Ь [х -Ь у ж г) с1г 77. аси— хг -~- уг ж г' -~- 2ху 78. Какому условию должна удовлетворять дифференцируемая функция Р[х; у), чтобы криволинейный интеграл 270 Гл. 2. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы (34) *) Задачи о вычислении длв дуг кривых их длин, масс, центров масс, моментов инерции сосредоточены в (2, 1 7]. 80. Доказать, что: 1) если плоская криван Г график непрерывно дифференцируе- мой функции у = С(гг), а < х < 5, то = С чт+гг'7Р г*: (33) о 2) если плоская кривая Г задана в полярных координатах уравне- нием г = г(гр), а < р < 5, где функция г(гр) непрерывно дифферен- цируема на [а;Ь), то =(,С'(-:.)' " а 81.
Найти длину дуги плоской кривой е): 1) аут = хз, 0 ( х ( 5а; 2) у = 1 — !псовх, 0 ( х ( ягг4; 3) у = ас1г(х(а), 0 < х < хо, 4) г = ав1пз(гргг3); 5) г = а(1+ соя гр); 6) х = е' сйп С, у = е' соя С, 0 < С < 2я; 7) х = Во + вгп р, у = 1 — соя гр, [со[ < .г; +, з гдз 1 > 5. 9), Сз + угСз згз 82. Найти длину дуги пространственной кривой: 1) х=ЗС, у=ЗСз, з=2Сз, 0<С<1; 2) х=зсовС, у=зяшС, х=С, 0<С<ьГ2; 3) х = а(1+ совр), у = а(гр — вшгр), х = 4аяш(со,72), 0 < гр < 2гг; 4) х = С сов Сз, у = С яш Сз, з = Сз, 0 < С < ъ'2я; 5) 2рх = хз, бртд = зз, 0 < х < р; 6) хз — уз = 9 з,г8, (х+ у)2 = 8(х — у) от точки (О;0;0) до точки с аппликатой зо = 1ГЗ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
