1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Доказать, что для всех изотсрм — = сопзш О(Т) Т 4) Циклом Карно называют замкнутый контур, образованный двумя адиабатами и двумя изотермами ри = ХТ, и ро = ХТ2, Тз > Т,. Пусть этот контур ориентирован от точки с наибольшим давлением вдоль изотермы ро = ХТ . Пусть Я полное тепло, полученное газом на цикле Карно, а Яз -" на изотерме рь = ХТ2. Доказать, что к. п. д.
цикла ц = е,)Я2 определяется по формуле ц = (Тз — Т„)(Т2. 123. В установившемся стационарном потоке жидкости плотность и скорость в каждой точке потока не зависят от времени, т. е, р = = р(х;у), ч = (и(х;у);и(х;у)). 1) Найти количество жидкости, прошедшей за единицу времени через ограниченную область С с кусочно гладкой границей дС; 2) получить уравнение для и и о, предполагая, что в области С 7кидкость не нозникает и не исчезает (т. е. нет ни источников, ни стоков) и что жидкость несжимаема.
124. Найти логарифмический потенциал простого слоя и(х; у) = ~р(С;71) 1п( — ) еЬ, г (40) 18* 120. Найти напряженность гравитационного поля, создаваемого однородной материальной прямой с линейной плотностью ро. 121. С какой силой масса ЛХ, равномерно распределенная вдоль окружности хз + уз = аз, з = 6 > О, притягивает точечную массу т, помешенную в начало координат. 122. Пусть (р; и) координаты, определяюшие на плоскости Оро состояние одного моля идеального газа (давление и объем). Уравнение состонния одного моля такого газа имеет вид ро = ХТ, где Х = сопзг > О, Т абсолютная температура.
При переходе из состояния (р~, .ое) в состояние (рз,оз) по кривой Г количество получаемого (или отдаваемого) тепла газом определяют по формуле Зтс Гл. 2. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы где Г - . окружность 5з + Нз = 1, ориентированная против часовой = д а — *)' д (д — д) '. -"": 1) рг(с;ц) = ро = сопег; 2) 1лфй) = сов пир, гн Е И; 3) р(С;г1) = зги тзр, гп б И. Здесь гр —.- полярный утоп точки (Е; г1). 125.
Вычислить интеграл Гаусса ~ соз(х, п) (41) во где дС кусочно гладкая граница области С, г = МИ, М(х; у) Е 1г~, н~д;д)ддо, =да е дИ УТ: """ д дв, (г,п) угол между г и и, предполагая, что: 1) МкС; 2) МЕС. 126. Вычислить логарифмический потенциал двойного слоя и(х;д) = ~ и(бгг1) ' ' сбз, (42) г где Г окружность ц~ + ц~ = 1, ориентированная против часовой = а — *:и — дь = тд — Сгде — дх, нормаль к Г, если; 1) р(Е:д1) = сонтаг т е И; 2) р(Е;Н) = ьтптгр, т е И, Здесь р полярный угол точки (б; О). Рассмотреть случаи /хз + рз > 1 и,/х' + из < 1 ОТВЕТЫ 1. 1) з/5/2; 2) 3+ 2ч/5; 3) 1+ у/2; 4) — у/51п2; 5) 1п((3+ ч/5)/2). 2. 1) 0; 2) аЬ(аз+ аЬ+ба)/(3(а+Ь)); 3) 24.
4. лаз/2. 5. 2казнжг. 6. 1) гга'/2; 2) 2аз 7 1) азз/2; 2) 2азз/2/3. 8. 2аз(2 — ч/2). 9. 4агрз, 10. 1) 32аз/3: 2) 25баз/15 11 1) 2кгаз(1+ 2кз). 2) ((1+ 4ггз)зр 1)аз/3 12. 1) 8кбз,Я~ + Ьз/(Заз); 2) (/а~ + бз/аб) агс18'(2кб/а); 3) 2ггу/аз + бз(Заз + 4дгзбз)/3. 13 1) И1+ 2кз)згз 1)2ч/2/3. 2) ((1+ 2кз)згз 1)4у2/3 14. 2каз. 15.
ал/6. 16. азз/2. 17. 2каз/3. 18. (100ч/38 8— 72 — 171п((25+ 4ч/388)/17))азз/2/512. 19. 1) гг; 2) (14 — 3!п4)/3; 3) 8; 4) 3/2; 5) 4; б) 12/5. 20. 1) 2з1п2; 2) — 8/15; 3) — 14/15; 4) 4/3. 21. 1) 0; 2) 2/3; 3) 2. 22. 8/15, 23. — 11. 24. (5 — 1п8)/3 25. ггаз/2.
26. 1) 7/12; 2) 56; 3) 8; 4) 6; 5) 12+ 1п5: б) 4. 27. 1) — 1/4; 2) 0; 3) — 2каб; 4) — 4абз/3. 28. 1) паз; 2) Зкалгз/16. 410. Криволинейные иносегрвльс 277 29. 1) — 48; 2) 4; 3) — 1/2; 4) О. 30. 1) 4/3; 2) 0; 3) — 2.г; 4) О. 31. — ггао, 32. 1/35. 33. О. 34. О. 35 — гга'-. 36. — таа сое' а. 37. 13. 38. Зъ'3.
39. ае. 40. — иЛо/4. 41. сгао2ес~ о!п(гг/4 — а). 42. — 4. 43. О. 44. 2иЛгс. 45. 1) 0; 2) —.га'/8. 46. ггаЬ. 47. О. 48. — 140/3. 49. О. 50. (! — е )/5. 51. О. 52. ггао/8. 53. — 4. 54. сгЛл/4. 55. — 2. 56. 7. 57. 12. 58. 1. 59. — 4. 60. — 1148/5. се-сие ес и 61. 0 62. ЗО. 63. / /(!) (И. 64.
/ ~р(!) гИ+ / ~(1) гИ. о лс Ус 65. ес' соо уо — 1. 66. — 1/6. 67. 6. 68. Ло — Ля 69. и = (хо + де)/3+ С. 70. и = хехи — 5деес + С. 71. и = е* и(х + у) + С. 72. и, = (е" — 1)/(1 + хо) + у + С. 73. и = 1п !х + у + е~ + С. 74. и = агсга (хде) + С. 75. и=(хо+до+хо)/3 — 2хде+С. 76. и=х — х/у+ху/в+С. сс.
=1 сиссе~*'с -НОД,суй+о. 78. хЕ'(х;д) = уЕ„'(х;у). 81. 1) 335а/27; 2) 1п(1+ ъ'2); 3) а65(хо/а); 4) Зега/2; 5) 8а; б) (со — 1)ч'2; 7) 8; 8) 4аЕ(гг/2;исаа — Ьа/а); 9) ба. 82. 1) 5; 2) ъ'2+!п(ъ'2+ 1); 3) 4ега; 4) ис2т(3+ 4тг)/3; 5) 7р/б; б) Оъг2/16 83. е о' л. 84. 4/2Е(гг/2: 1/~/2) — 7,6404. 85. 1) 5 ге; 2) 2ЛО; 3) (Ьй5-2 /2)/б; 4) ~М17-Ъ1К12! 5) 4(63 — Зис55)И/9. 86. ог/а. 87. 1) йсгас 2) Ы(2а)осе; 3) Зъ'2ггавсс; 4) а4со 5) (то — 8!п2)/16; Ь' аЬ . исае — Ье 9тае 6) — -г- — агсяпе, е =; 7) —; 8) 2а~. 2 2- а ' 64 88. 1) г/2 агс!82ог; 2) — ( 1п + 2г/3 — — ); За с' АЗ-~-2 21 16,3 3) ' 3) 4((1+2гг~)~с~ — 1)/3' 4) ъ/31ас/2 5) 2644!е/1ог б) 1/16; 7) 2ъ'бегай !9 89. 1) (О! а); 2) (сга: — ); 3) ( ' ';О); 4) ( —;0); 5) (О; — ); 6) хс = ° — ( ) —.
7) ( — 0). 6 ' с/2+ гсс(с,с2-> Ц 16 ' 46 ' 90 1) ((Ло!и ро)/ро, 'Л(1 — сов сро)/ ро; (сроИ)~/(4х) )! 2) (Л/(1+ 4г~) 2ггЛ/(1+ 4гг~); 6(1 — (и, + 1)е. и)/(1 — е с')). 91. (2/5.1/5;1/2). 92. х = д ° = = а 7~2+3!~(~2+1) 24 нс2 -!- !п(ис2 -~- 1) 94. аЛе 95. ЗогЛе 96. 1е = 32ае/5 1д — — 8(ого — 256/45)ао ст. с =с,= с 'усы(с оссс)Гс 1 278 Гл.
2. Кратные, нриоолинейные и поеерхноетные интегралы 98. 2яаз/3. 99. 1) 8т/2аз/3; 2) Заз 3) 2яз(2яз+ 1)аз 101. 1) 1/3; 2) 9/8; 3) 9/2; 4) 4/5; 5) яаЬ; 6) 27я/2; 7) Зггаз/8. 102. (7я + 3)аЬ/12. 103. 1) я; 2) аз/6; 3) 4/3; 4) 8я/3; 5) аз; 6) 5яаз/8; 7) (Зт/3+ 4г)/9 /3. 104. 1) 3/2; 2) 4аз/3; 3) 1/30. 106. 1) я(об2а — 2а)/4; 2) 9яз; 3) 8я/3; 4) 32яаз/105; 5) лз/2. 107. — 8/15. 108. — аЕо.
109 1) 4/3; 2) 17/12. 110. 1) 22; 2) 106; 3) 64. 111. 1) 0; 2) 113/3, 3) — 6яаз; 4) — Зя/2; 5) яаЬ. 112. 1) а) 4; б) я; в) 1; 2) а) — (яЛ+ 2уо)Л; б) (ялг — 2уо)Л. 113. 1) и 2) д(1/гз — 1/гг), где г; = )//х + д~,,1 = 1, 2. 114. 1), 2), 3) я/2. 115. 1) 2гг: 2) О. 116. 1) 2) Л(~з~+д~~+~ф/2. 117. 1) 23; 2) 1/2; 3) — 4/3; 4) агп(2яЬ) — паз; 5) 2яаз; 6) (2т/2 7/3)аз. 7) 2яЛг/т/3 е 118.
/,Ги) л.., = УЯл р' ~,', б = 1, 2. 120. —,, (х; у; О) (прямая совпадает с осью Ох). 2Ьре хе -Ь де 121. (О;О;ЬМпгЬ/(аз+(га)згз). 122. 1) ВТ1п(Рг/Р ). 123. 1) ~ р(х;д)(о(х;у) г1х — и(х;у) ду); 2) р + р = О. да 124. 1) О пРи г = Ь/хо+ Уз < 1, — 2лройпг пРи г > 1, 2) — соаа~р при г > 1, — гн сод вр при г < 1 ((ггр) — полярные пги п координаты точки (х; д) ); 3) агппгр при г > 1, — г" ьбпауп при г < 1.
пгп п 125. 1) О; 2) 2я. 126. 1) яг" соа игр при г < 1, — аг и соап~р при г > 1 ((г; у) полярные координаты точки (х: у) ); 2) яг" сбп агр при г < 1, — яг "ягн пгр при г > 1. 3 11. Поверхностные интегралы СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Поверхностный интеграл первого рода. Пусть поверхность 8 задана параметрически: х = х(и;о), у = у(и:о), х = х(и;о), (и;о) Е Й, (1) 4П. Поверхностные интегр лы 279 причем функции х[и:,и), у[и;и), г[и;и) дифференцируемы в измеримой области Р. Пусть на этой поверхности задана функция Дх; у; г). Поверхностный интеграл первого рода Ц7[х;у;г)0Я от функ- в ции 7'[х;д;г) по поверхности Я может быть определен следующим образом: П 7внвге= ЦЛ О:Я1ЮЫ: ''): Ы; гоев — е*г г.
Р) 5 77 '=(Й)2 (Й)2 (~х)2 '=(Й)'.(Й)'.(2)2 дх дх ду ду дг дг х' = — — + — — + — —. диде диде диде' Если подыптегральная функция в правой части равенства [2) непрерывна в Р [в частности, если функция 7 непрерывна на Я, а функции [1) непрерывно диффоренцируемы в Р, то интеграл / Дх; у; г) сБ заведомо существует. Поверхностный интеграл может быть определен и как предел соответствующих интегральных сумм [см., например, [3] или [4]).
Если поверхность 5 задана уравнением х = г[х,:у), [х,:д) й Р, [3) где г[х; у) --. дифференцируеман в Р функции, то равенство [2) принимает вид .О [ .О дх ду. [4) Часто поверхность Я не может быть задана в виде [3) или [1), но ее удается разбить на части 5; так, что каждан из частей допускает представление в нужном виде.
В таких случаях под интегралом по поверхности Я понимают сумму интегралов по ее частям: И "'=~-П "' [б) л г.=1 Если 2[х;у;г) плотность массы, распределенной по поверхности 5, то интегралы [2),[4) дают массу всей поверхности. Потенциалом в точке Л!о простого слоя, распределенного с плотностью р[х; у; х) на поверхности 5 называют интеграл 1 [х;,7; ) = О' р[' 'д") ао, г где г расстояние между точкой ЛХ[х;д;г) поверхности 5 и точй Л7в[хо, дв; хв).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
