1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 52
Текст из файла (страница 52)
При тех же предположенинх о поверхности В, что и в формуле (19), длв непрерывно дифференцируемых полей а и и верны фор- ЗОО Гл. г. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы мулы Ц [~п, ~г), а) сБ = — ~ (а, .дт), (21) Ц(™'= 1.' (22) с)1иа(М) = 11ш — Ц (а,п) с)Я. 1 вбз1-со рС ао (24) При тех же условиях на область С, что и в формуле (23), для непрерывно дифференцируемых полей а, и и и и верны формулы Щ(~, )др = Ц(,, ]д8, и ас (25) Яс. д1Г= Ц ПК, (26) Ц~( и'и, и'и) Л' = Ц и(п,П1о) дя — ~Ци схс д1г, (27) Я(истс| — осли)сЛ' = Ц (и ио — и "сти,п) сБ.
(28) Равенства (27), (28) называют форлсулалси Грина. Из них следует, что Я) и'и~а Л' = Д и(п, йи) с1о — (ЦиЬиЛ; (29) ао Ц( слисЛс = Ц (п, й'и) с1$. (30) ап Пусть С -- ограниченная область, С с (1, с кусочно гладкой границей дС, ориентированной внешней нормалью п. По формуле Гаусса — Остроградского с учетом обозначения (9) ил|еем Ц(.п =Ш --=Я(:-)' ап и О т. е. поток поля а через границу области равен интегралу от дивергенции поля а по атой области.
Пусть точка Л1 б й, рассмотрим совокупность содержащих ЛХ областей С с (1, для которых справедлива формула (23). Пусть д(С) -— диаметр, рС --. объем С. Тогда 412. Скалярные и векторные паля зи 5. Потенциальные и соленоидальные поля. Все поля в этом пункте считаем непрерывно дифференцируемыми.
Поле а в й называют безвихревым, осли соса = О в й. Поле а в й называют пвтенци льн м, если существует на й скаля ное поле и такое что Если это условие выполнено, то потенциал формуле м и = / адг+ сопес, Ме где ЛХв .- фиксированная точка Н., интеграл сочно гладкой кривой, соединяющей ЛХо и ЛХ. Условие поля определяется по (32) берется по любой ку- (ЗЗ) соса = О необходимо для потенциальности поля, но, вообще говоря, не доста- точно. Если область й односвязна, то условие (33) достаточно для потен- циальности поля.
Говорят, что область й однвсвязни, если любой при- надлежащий ей кусочно гладкий замкнутый контур можно стянуть в точку этой области так, что во всех промежуточных положениях при стягивании контур будет оставаться в й (в этом случае говорят, что любой замкнутый контур гвмотвпен точке). Например, всякая выпуклая область односвязна. В односвязной области безвихревое поле потенциально.
Поле а в й называют свленоидальньсм, если для любой области С С й с кусочно гладкой границей дС поток полн а через эту границу равен нулю, О (а, Ґ) сБ = О, ва где и внешняя нормаль к дС. Для соленоидальности поля необходимо и достаточно, чтобы сйк а=О в й. (34) Векторное поле А называют вектврньсм потенциалом поля а, ес- ли а = гос, А. Условие (34) необходимо, но, вообще говоря, нс достаточно для существования векторного потенциала. Р а = ягасХи. (31) Функцию и называют потенциалом поля а. Для потенциальности поля а в й необходимо и достаточно, чтобы его циркуляция по любому кусочно гладкому замкнутому контуру равнялась нулю; у а дг = О. г Зег Гл. г. Кратные, нриеолинейные и поеерхноетные интегралы Любое гладкое поле а в Й является суммой безвихреного и соленоидального полей (теорема Гельлсгольца).
Потенциальное соленоидальное поле называют гармоническим (лапласовым). В односвязной области поле а, у которого го1 а = О и сйи а = О, гармонично. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ При мер 1. Пусть скалярное поле и, а также векторные поля а и Ь дифференцируемы на й, с постоянный вектор. Показать, используя правила действия с з7, что: 1) с1в (иа) = (Вгас1и,а) + ис11иа, т. е.
(T,иа) = ('7и,а) + и,(з7, а); (35) 2) с11ъ [а, Ь] = (Ь,соса) — (а,госЬ), т. е. (1т, [а, Ь]) = (Ь, [1С а]) — (а, [й, Ь]); (36) 3) го1[с, а] = сс11иа — (с, T)а, т. е. [М, [с, а]] = с(и, а) — (с, T)а. (37) а 1) Сначала преобразуем выра кение (зс,иа) с учетом дифференциального характера и: ('7, иа) = (зс, й а) + (з7, и а). (38) В первом слагаемом перенесем скаляр й к й, не переставляя их: (зс, й а) = (зг й, а). Здесь T соединен операцией (3) с и, поэтому опускаем метку: (й й,а) = (ии,а) = (8гас!и,а).
Во втором слагаемом из (38) выносим скаляр и, переставлня его с 17: ( и', и а) = и(T, а), и, поскольку и соединен операцией (9) с вектором а, опускаем метку: (з7, и а) = и(У7,а) = ис(1иа. Складывая результаты, получаем равенство (35). 2) Имеем ( й, [а, Ь]) = ('7, [а, Ь]) + (17, [а, Ь]). Для первого слагаемого воспользуемся формулой циклической перестановки в смешанном произведении (р, [а, Ь]) = (Ь, [р, а]) и получим ( й, [а, Ь]) = (Ь, [7, а]). 212. Скалярные и аекгаарные наля зоз Здесь 17 соединен с а операцией (10), поэтому метку мазано опус; (T, [а, Ь]) = (Ь, [T,а]) = (Ь,го1 а).
Во втором слагаемом сначала совершим перестановку [а, Ь] = — [Ь,а], затем преобразуем его, .как и первое, и получим (T, [а, Ь]) = — (и, [Ь, а]) = — (а[T, Ь]) = — (а, [T,Ъ]) = — (а,го1Ь). Сложив результаты, придем к равенству (36). [хг, [с, а]] = [ч', [с,а]]+ [и', [с, а]]. Поскольку с = сопзз, результат действии и на с есть нуль, поэтому и первое слагаемое равно нулю.
Длн второго слагаемого воспользуемсн формулой преобразования двойного векторного произведения [р, [с, а]] = (р, а) с — (р, с) а. Получим [и', [с, а]] = [ а', [с, а]] = (T, а)с — ( а, с) а . Переставив T и с в произведении (17,с) (это будет символ вида (7)), придем к требуемому результату; [17, [с, аП = ( 17, а) с — (с, 'а') а. а Пример 2. Найти поток поля а = = у1+ «1+ лк через поверхность Я = = (ъ'х+ тГу+ ~з = ~/г), нормаль па которой направлена от начала координат.
а Оченидно, с11гра = О. Воспользуемсн теоремой Гаусса-Остроградского. Рас- Рис. 1а1 смотрим область С -- "криволинейный тетраэдр" ОАВС (рис. 12.1). Часть его границы, лежашую в плоскости Оку, обозначим Я1, в плоскости Оуз -.- Яз, в плоскости Оса Яз. Потоки поля а через Я, 51, Яз, Нз (нормаль внешняя к О) обозначим соответственно П, Пг, Пз, Пз. По теореме Гаусса — ОстроЦ (а, и) а = О1 сй а Л' = О,. ап С т. е. П + Пг + Пз + Пз = О, а П = — (П1 + Пз + Пз). Вычислим, например, Пз. Пз = ]] (а и) еИ. лз Здесь п = (О; — 1;О), а = з1+шк. За параметры па Яз криволинейном треугольнике АСС возьмем л и з. Дуга АС задаетсн 304 Гл. 2. Кратные, нриеелинейные и пееерхнаетные интегралы уравнением хгх + хсх = хссг, т.
е. х = (осг —;ссх)2, 0 < г < г. находим Съ'с — йг1 Пз= О (-х)а*а=+ 1. ~ ! =- — '. 30 олсг 0 0 Таковы же Пс и Па, Слодовательно, П = 3. гзгс30 = г Сс10. а Пример 3. Доказать формулу (27). а По формуле (35), полагая а = оо, получаем с!Ь (и17о) = (и'и,'7о) + и( и, иго). Отсюда, учитывая, что (17, 1го) = с1!идгас1 о = Ьо, находим (хги, 'оо) = с!ти(ичсо) — и сло, и, следовательно, ~О (47и, о о) с!1' = Ц~ с!!о(исси) сй' — фи Ьо сй'.
о С и Полагая а = и170 и применяя к первому слагаемому правой части формулу (23), получаем (27). а П р и м е р 4. Пусть 7 часть линии пересечения эллипсоида хз + + р сс4+ з = 1 с цилиндром х + р- = 1, лежащая в замкнутой 2 г 2 2 Рис 12.2 области х ) О, х > 0 (рис. 12.2) и ориентированная по возрастанию ординат точек. Найти работу поля а = у!+ х3 + г 1с; 1) вдоль 7; 2) вдоль 7с — части 7, лежащей в первом октанте. а 1) Легко найти, что го1а = О. Воспользуемся формулой Стокса (19).
Замкнем 7 дугой 7с = АС (см. рис, 12.2), лежащей в пересечении зллипсоида с плоскостью Оух. Контур Г = АВСА --. зто край части о поверхности зллипсоида. По формуле (19) г = 1(п 1а) с!Я = О. Отсюда 1а с1г+ 1 а с!г = О. 5 12. Скалярные и векторные нале 305 Дугу т' замкнем отрезком .4С, направленным от А к С. Получившийся контур служит краем части плоскости Сую Из того, .что гота = О, как и выше, получаем / айаг+ / айаг = О. На отрезке .4С а = у1+ — 1с, дг = (О;др;О), 2 поэтому ае1г=О и / анг=О. ло Отсюда следует, что и а дг = О, / а дг = О. 2) С п особ 1. Вычислим работу по "~' непосредственно, используя параметризацию "/. Полагая г = сову, д = аш у, О < у < я/2, ,Гз из уравнения эллипсоида получаем з = — япу. Тогда на у' 2 ц3 а = яцу1+ соз.р3+ — яп у1с 2 дг = ( — япу1+ созу3+ — сов у1с) Жр Л 2 поэтому к/з 2 3 3 / ( — яп у Ч- соз у+ — зш усову) ду = —. 3 о Способ Н.
Контур т взаимно однозначно проектируется на ось Ор. Опустим перпендикуляры из точек контура на зту ось. Они образуют гладкую поверхность, край которой состоит, кроме т', еще из ломаной СВОВ. Используя формулу (19) и то, что года = О, получаем / айаг+ / айаг+ / айаг+ / ае1г = О. си оо ов На ОВ а = х3, дг = 1дг, поэтому аг1г=О и / аг1г=О. ов Аналогично, / айаг = О. Поэтому / адг = — / аг1г = / айаг. оо ос з 20 Под ред. Л.д.иудрввцевв, т.э 306 Гл.
2. Кратные, нраеолинейные и поаерхноотные интегралы На Х)С а = |+ з1с, )1г = 1|~В, поэтому н зй,)з / айаг= / гсЬ= —. ст) о 3 Таким образом., как и ранее, (' а)Хг = —. а 8 ЗАДАЧИ 1. Найти поверхность уровня поля и = хз — уз + зз, содержащую точку: а) (1: 1; 1); б) (1; 2; 1). 2. Написать уравнение нормали в точке (2; 2: — 2) к поверхности уровня поля и = агссоз(з))~х~~+ уз), проходящей через эту точку.
3. Пусть а и Ь вЂ”. постоянные векторы, а~О, Ьф-О| г= (х;у;г). Найти поверхность уровня поля: (а, г) (Ъ,|) ' |.г|* ге * рг =|)).+Ц'+у'| '| | ))),:|)|||||*' * Ф г |||'|*' =и.'. |. г | г гг = )гтгтГ|| пипи в шаре (х — 1)з + (у — 1)з + (г — зХ2)з < 1. 6. Найти 8гас)и(ЛХо), если: 1) и = ху + уз + г х; Ыо (1; 1' 1); 2) а = 1п(х'+ у'+ гз); ЛХо(1; 1; — 1); |) =|) |„|,)),/ |„|,; и,)|; — 2; — 2); 4) и = зе' о" +'; Мо(0;0;0).
7. В каких точках 8габ(х + уз + 18зз — Зхуз): а) перпендикулярен оси Ог; б) параллелен оси О-, в) равен нулю? 8. Найти угол между 8гас1и(ЛХ)) агст8(х,)(у+ х)) и 8га)Хи(Мз), если: 1) и = (х + у)елее; ЛХ|(0; 0), .Л|з(1; 1); 2) и = агст8 (х)) (У + з) ); ЛХ| (1; 1; 0), Мз ( — 1; 0; 1); 3) и = х,)(хе + уз+ зг); М)(1;2:,2), ЛХз( — 3:,1;0); |), =*) т|тр||у; ы)|; |;-2), н|) |;1;2 '|). 9.
На поверхности уровня полн и = х,)(хе+ уз+ гг), проходящей через точку (1;1;1), найти наименьшее значение ~8гас1и~. 10. Найти шХ~8га)1и~ и апр(8га|1и~ в области 1 < г < 2, ес- 412. Скалярные и аекгяарные наля 307 11. Пусть и и а — дифференцируемые поля, о и Д .- числа. Доказать, что: 1) 8гад(и + и) = йгас1 и + бгад и; 2) йгад(ои) = о 8гад и; 3) 8гад(ои+,!Зе) = ойгади+ (лбгас1и; 4) йгад(ии) = а8гади+ идгас1сд , /ид ебгадсс — нбгас1гс 5) дгад ( — ( = , ссрО. е юе 12. Указать в 1сз такие дифференцируемые полн и и и, что векторы сси и 1ти не коллинеарны ни в одной точке (для обычного вектора р векторы ри и ра обпзательно коллинеарны). 13.
Пусть и диффереццируемоо поле, Я) дифференцируемая функция, 1 Е сС. Доказать, что бган 1(и) = Х (и) 8гас1и. 14. Пусть и и и - . дифференцируемые поля, Х(1; е) -. дифференцируемая функция, (1;,е) Е Х1-. Доказать, что 8гас)Х(и; а) = — (и;и) йгади+ — (и;и) бгади. аХ ОХ ас ' ае 15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
