1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 54
Текст из файла (страница 54)
69. 1) а = (т — 2з;х+ Зд+ з;5х+д); Я --. противоположная началу координат сторона плоского треугольника с вершинами (1; 0; 0), (О;1;0), (О;0;1); 2) а = (хз; дз; зз); Н вЂ” внешняя сторона полной поверхности пирамиды, ограниченной плоскостями х + д + з = 1, х = О, д = О, з = 0; 3) а = (д~; ха: з~); Я часть внешней стороны цилиндра ха + дз = = ае, расположенная в первом октанте между плоскостями е = 0 и а=он а>0:, 4) а = (О; дз: з); Н ограниченная часть внешней стороны параболоида з = хл + д-', отсеченная плоскостью з = 2; я"=Оеи*'ГФ'-СС е """" """ е ° ее ланда хз + д — зз = 1, заключенная между плоскостями з = 0 и з = = тсЗ; 6) а = (д; з; х); Я вЂ” - часть внутренней стороны цилиндра хз + дз = = Ла; расположенная в области х > ф; 7) а = (Зх; — д, — з); Н часть внешней стороны параболоида хз + дл = 9 — з, расположеннан в первом октанте; 8) а = (хд;дз;зх); 8 -- часть внешней стороны сферы ха + дл + + з~ = 1, расположеннан в первом октанте; 9) а = (хьч деслз); Н часть ннешпей стороны сферы ха + дз + + за = 9, расположенная в области > 2; 10) а = (х;д;хдз); Я вЂ” часть внешней стороны цилиндра х' + + д- = лез, расположенная в области х > ~д~ и отсеченная плоскостью з = 0 и параболоидом з = ха — дз: 11) а = (ху — д-': — хз + хд + 2хс о); Я часть внешней стороны цилиндра хз + дз = 1, отсеченная конусом з = ол/2+ д-'.
412. Скалярные и нектарные наля ззз 70. Найти поток поля а через поверхность Я непосредственно или по теореме Гаусса-Остроградского, если: 1) а = хз1+узл+ззк, Я внешннн поверхность куба ~х~ < а, (у)<о, ф<ьи 2) а = (з — у) 1+ (х — з) т + (у — х) и; Я --. полная внешняя поверхность тетраэдра, ограниченного плоскостями х + у + з = 1, х + у— — я=1, У=О, л:=О; 3) а = узз1 — де З+х(уз+с )1с; д полная вношнян поверхность цилиндра уз + зл < аз, О < х < а; 4) а = 2х1+2уз — з1с; Я - полная внешняя поверхность конуса т/хе+уз « Н; 5) а = (х+ е) 1+ (у + х)3+ (е + у) 1с; Я вЂ” внешнян поверхность тела хз + уз < Лз, О < з < у; 6) а = х У1-~-ху З-ь хдек; о' внешняя поверхность тела хе+ жуя+за<Не, х>О, у>О, з>О; 7) а = хауз)+ хдзз3 + ху з к; Я -- часть внешней стороны зллипсоида хз/а + уз/Ь + з /с = 1, расположенная в первом октанте; 8) а = хз1+дз3+зз1с; д половина вцешной стороны сферы ха+ уз+ -з = Лз е > О О) а = (зн — У") 1+ (х" — ск)3+ (у" — х") 1с; Я --- половина внешней стороны сферы хз + д + аз = Л, з > О.
з 71. Пусть А(г) = ~ адх;хт "-. положительно определенная не=1 квадратичная форма, г = хг1+ хз1+хз1с. Найти поток поля а = = г (А(г)) з1з через единичную сферу (г~ = 1. 72. Указать с точностью до о(ез) приближенное значение потока поля а: 1) из задачи 38,4) через внешнюю сторону сферы с центром (3; 4; 0) и радиусом е; 2) из задачи 38, 5) через внешнюю сторону поверхности куба с центром (1; 1; 2) и ребром длины е. Т3.
Доказать формулу (24). 74. Пусть поле а непрерывно диффсрепцируемо в й, С произвольнан область с кусочно гладкой границей, С с Й. Доказать, что поток гота через дС равен нулю. 75. Пусть ограниченнан область С имеет кусочно гладкую границу дС, ориентированную внешней нормалью. Доказать, что поток радиус-вектора г через дС равен ЗУС, где УС объем С. Тб. Пусть кусочно гладкая граница дС области С, ориентирована 314 Гл. 2.
Кратные, нриеолинейные и пооерхноетные интегралы нормалью и, с -- постоянный вектор. Доказать, что Ц соз(йс) 43 = О. ас 77. Доказать формулы: Ц (25); 2) (26): 3) (28); 4) (29); 5) (30). 78. Пусть поле и дважды непрерывно дифференцируемо в й, С -- область из й такая, что С с й и граница дС является поверх- ностью уровня поля и. Доказать, что Я гЛи Л' = т Ц ~Яги~ сЫ, с да где следует выбрать один из знаков. Объяснить выбор знака. 79.
Доказать, что ~Ц(Tи,(хг,а)) Л' = Ц (а, йи,п) еьз. а да 80. Пусть и и а непрерывно дифференцируемые полн в й, С область из й, С С й, дС вЂ” кусочно гладкая поверхность, ориентированная внешней нормалью. Доказать, что Ц (и а, и) сБ = ~Ц (и(хг, а) + (а, хги)) Л'. да а 81. Пусть Я вЂ” гладкая поверхность, ориентированная нормалью и, и пусть замыкание Я не содержит начала координат. Показать, что интеграл Ц сое(г, и) гХо' та-' н есть поток некоторого поля через Я. 82. Пусть С ограниченная область с кусочно гладкой границей, ориентированной внешней нормалью и, 0 ф С, г = (рй у; з), г = ~т~.
Доказать, что: 1) Ш - 'Х~ = -' и:.а(т —,и) дЯ; с да 2) ШЬ ' — 1 Ц * Ы$3 с да 83. Пусть ограниченная область С имеет кусочно гладкую грани- цу дС, ориентированную внешней нормалью, ЛХо фиксированная а(М) = ЛХоЛХДЛХоЛХ~, Яе(ЛХо) сфера с центром Мо и радиусом е, лежашая в С, ориенти- рованная внешней нормалью. Доказать, что поток а через дС равен потоку а через Яг(ЛХо). 84. Пусть ограниченная область С имеет кусочно гладкую грани- цу дС, ориентированную внешней нормалью, ЛХо фиксированная 512. Скалярные и нектарные наля 315 точка, а(Л|) = РХаЛХ/~Л1оЮ . Найти поток полн а через дС, если: 1) ЛХа ф С; 2) ЛХа е С. 85.
В условиях задачи 83 пусть ЛХо е дС и в окрестности ЛХо граница дС дважды непрерывно дифференцируема. Пусть дСе-- часть границы дС, лежащая внутри шара ~ЛХаЛХ~ ( е, а П, поток полн а через дС ~, дС,. Найти 1пп Пе. ; — о 86. Сформулировать аналог теоремы Гаусса-Остроградского длн плоских областей и полей. 87. Пусть 7 гладкая плоская простая (с.
295) кривая, замыкание которой не содержит начала координат, п — непрерывная единичнан нормаль к т. Показать, что интеграл Гаусса сое(г, и) т есть поток некоторого полн через Г. 88. Пусть в условиях задачи 87 Г есть граница ограниченной области С. Вычислить интеграл Гаусса, если: 1) О ф С; 2) О е С. 89. Покажите, что значение интеграла Гаусса из задачи 87 равно полярному углу, под которым видна кривая т из начала координат.
Найти работу поля а вдоль примой от точки А(г1 ) до точки В(гт) (г = х1+ уД + як, г = (г/) (90, 91). 90. 1) а=г: 2) а=г/г; 3) а=г/гз; 4) а = Х(г)г, Х(г) —.- непрерывнан функция, г > 0; 5) а = (с, г), с = сапам 91. 1) а = + +; .4( — 1;0;3), В(0; — 1;2); уч-а е-~-х х-~-у 2) а = 1е" а +3 еа ' + к е* а; А(0; 0; 0), В(1; 3; 2); 92. Вычислить работу плоского поля а вдоль кривой 7, если: 1) а = (х+ у) 1+ (х — у)3; 7 -- часть графика у = ~х~ от точки ( — 1; 1) до точки (2; 2); 2) а = (уа1 — х'3)/т/х.'+ у'-'; à — полуокружность ха+ у' = 1 от точки (1; 0) до точки ( — 1; 0) в области у > 0; 3) а = Х(х)1+ Х(у)3; Г дуга астроиды хтХз+ у'-Хз = 1 от точки (1;0) до точки (О; 1), расположенная в первом квадранте ( Х(х) непрерывная функция).
93. Вычислить работу поля а = у 1 + з3 + х к от точки А(а; 0; 0) до точки В(а; 0; 2115): 1) вдоль винтовой линии х = асое1, у = аз1пг, х = Ы; ЗСа Гл. 2. Кратные, нриеолинейньсе и пооерхноетные интегралы 2) вдоль отрезка АВ. Является ли данное поле потенциальным2 94. Найти по формуле Стокса (19) циркуляцию поля а вдоль кон- тура Г, ориентированного по часовой стрелке при взгляде на него из начала координат, если: 1) а аз 1 + хз4 л уз 1с.
1. (хз , уз Ь ег 1 х + у + г 2) а = (у + з) 1 + (з + х)4 + (х + у) 1с:, Г = (4(хг + уз) = зз, х + у + +г=1); 3) а=хз1+узйч гз1с; Г=(г=хз+уг, +у=2); 4) а = у1 — х3 -~- х1с; Г = (хз + уз + га = 4, хз -~- уз = зз. г > О); 5) а = з~й+ хз 1с; Г = (уз + гз = 9, Зз+ 4х = 5); 6) а = лх1+ худ+ уз 1с; Г = (уз + гз = 1, х+ у+ г = Ц. 95. Дла полЯ а= — У1гг(хз -~- Уз) + х3гс(хе + Уз) найти циРкУлЯцию; 1) по окружности ха + дз = Гс~, з = го, ориентированной против часовой стрелки при взгляде из точек оси Оз, где г > го, 2) по окРУлсности (х — Н)з+ (У вЂ” 2Н)з = Лз, = го, оРиентацин произвольна.
96. Найти циркуляцию полн а = ( — у1+х3)/(хз -~-уз)+е1с по окружности з 2 2 Г=(х +д +з =1, х+у+з=О), ориентированной против часовой стрелки при взгляде из точек оси Оз, где е > 1. 97. В условиях задачи 64 найти циркуляцию поля и: 1) по окружности радиуса Н, которая лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, и ориентирована по направлению вращения; 2) по окружности радиуса Н, которан ориентирована так же, как и в 1), но плоскость которой составляет угол а с осью вращения.
98. В условиях задачи 64 примем ось вращения за ось Оз, направив ее по вектору угловой скорости. Пусть С ограниченная одно- связная область в плоскости Оху с границей "? кусочно гладким простым замкнутым контуром, Ц цилиндр с основанием С и образующими, параллельными оси вращения. Пусть Г --. замкнутая кусочно гладкая кривая на поверхности цилиндра Ц, которая взаимно однозначно проектируется на з. Доказать, что циркуляция полн и по Г равна 2ш.рС, где рС площадь С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
