1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 56
Текст из файла (страница 56)
34. хг + у' = Л~, г = С (ось Ог совпадает с проводником, а по направлению с током). 35 хг+„г 4гз 36. Четверть тора 8[уз + гг) = (хг + уз + гг + Цг. 38. Ц 3, 2) 4гд 3) 2/~", 4) 2хз/(хг + уг)вгг; 5) 12хуг+ 4хз — бхг. дн ди ди 39. йи = —, + —, -1- —, — д'- дде д.е ' 40. ц (8гас1и)2+ ис11у8гас1и = (17и)г+ ийи; 21 Под ред. Л.д.Кудрявцева, т.з 322 Гл. 2. Кратные, нриеолинейные и поаерхноетные интегралы 2) (8гас1и,8гас1и) + ий»8гас1и = (зти, зги) + иЬи. 41. 1) 6; 2) 0;. 3) (г, с)/т; 4) г /'(т) -~- 3/(7'); ! 5) /"(т) + 2 ; 6) (г, с)/'(г)/т; 7) 0; 8) — 2(с, г).
42. 1) и(т) = —,,; 2) и(т) = — ' + С; 3) и(т) = Ст~ 43. О. 44. с1Ю» = О, й»»и = 2иг. 1 а 1 да„. 46. й»а — — (та„) + — — ". ° а. " ° др 47. 1) й»а = — — (та,) + — + 1д 1аа, д,. т дт ' т дсз дз ' 2) йз а = —, — (т а„) -~-, — + — (а сов~). 1 д 2 1 даи 1 д тз дт " г сиз 9 дзз тсоз9 д»З 48. 1) (г,а'(г))/т; 2) (и'(г)(г,а) + и(т)(г,а'))/т. 50.
1) 0; 2) [г,и)/т; 3) [а, Ь); 4) и'(г)[г, и)/т; 5) О. 5 .. 5 51. 1) 1-~-2; 2) — — 1 — 1-~- — 1с. 4 2 52. Неверно. 53. 1) т,./2; 2) агссоз(З/5). 54. 1) 2с; 2) З[г,с). 57. О. 60. — ( — (та, ) — — '1. тсдг'дзбl 1 д 1 да„ 1 (та„) (и~[ ) + и[ с)) с т дт т сон 9 дно )) т 1 д г' ди1 1 ди ди 63. 1) Ьи = — — (т — л1 + —., —. + —,,; — дт (, дт ) тз доз доз 1 д(зди1 1 ди 1 д ( ди') тз дт С дт/ гасоззсо дрз госсет д9 С д9/ 64.
(О;О; 2иг). 68. 1) зги(а,п); 2) пггз 3) ЗггЬВз 4) 4гг 5) 4ггГсз/(В) 69. 1) 5/3; 2) 1/4; 3) 2ал/3; 4) — 2и; 5) 2»'Згг; 6) О, 7) 81н/8; 8) Зи/16; 9) 45н; 10) Лл: 11) О. 70. 1) 24а'; 2) 0; 3) — ггаз/4; 4) ггНз. 5) 2йз. 6) Нз/3; 7) азЬзсз/8. 8) 16гг/5: 9) О.
71. 4и Яе~(аг ). 72. 1) (24/125)тез, 2) 4ез. 84. 1) 0; 2) 4п. 85. 2г. 88. Ц О; 2) 2и. г12. Сналярньге и оенгяорные наля "г 90. 1) Гтз — 112)/2; 2) тв — тг, '3) (тв — тг)/Ггто; 4) / и/(и)йи; 5) (с,гг,гз). 91. 1) (1+!пЗ)/2; 2) 4е — 3 — е -'; 3) 15. 92. 1) 5; 2) — 4/3:, 3) О. 93. 1) — лаз:, 2) 2лаб. 94.
1) 4лт/3/9; 2) 0; 3) О; 4) — 4л; 5) 0; 6) л. 95. 1) 2~: 2) О. 96. 2.1. 97. 1) 2~~Л2; 2) 2~~Лзя~ж 99. 2) а) 4гг1; б) 4л1агпа. 100. 1) — лез; 2) з/Зтел. 1/З 103. 1) да; 2) нет; 3) нот; 4) да. 104. 1) да; 2) нет. 105. 21 агссоа(х/;/х~ + дз) 106. 1) ху+уз-Ьхх-1-С; 2) агс13(хуз)+С; 3) ху+е +С; 4) т+ С; 5) тз/3+ С.
О. 1Ст + 'о 112. 1) Потенциально и соленоидально; 2) потенциально, несоленоидально. 113. 1) нет; 2) да: 3) пот; 4) да. 115. С/тз. 116. Нет. 118. Ц вЂ” ~с,.г) + Ь*); 2) — хдел+ Ь; 3) хх1+ уз1с+ Ь; 4) — хд1 — ул ' — х 1с+ Ь„5) — х(х+ 2) '+ (хз + уз) 1с+ Ь; 6) — хе" 1 — уе-2 — лет 1с+ Ь. 120. ( — 11п(хз+ уз)) 1с+ Ь). 121. тазг/(4тт) *) Ь произвольное безвилревое поле.
21* ГЛАВА 3 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 3 13. Собственные интегралы, зависящие от параметра СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ Если при каждом значении о Е Е С й функция 1(х;о) ицтсгрируема по Риману как функция от х на отрезке [и; 6), то интеграл ь 1(о) = / )'(х; о) дх (1) называют собсгпаенныгл ингпегрилож, зивисящиж ои параметра о. Наряду с интегралами вида (1) рассматринают интегралы более общего вида е(а1 Ф(о) = / т'(хра) дх, (2) еМ зависншис от параметра. 1.
Непрерывность интеграла по параметру. Если функция 1(х,о) непрерывна в прямоугольнике Л = ((х;а): и < х < б, оь < о < оз)., (3) то интеграл (1) есть непрерывная функция параметра о на отрезке [аы из). В частности, если функция г"(х;о) непрерывна в прпмоугольнике К и оо б [оЫ из], то ь ь 1 1и (4) а а т.
е. возможен предельный переход под знаком интеграла (1). 2. Интегрирование интегралов, зависящих от параметра. Если функция 1(хра) непрерывна в прямоугольнике (3), то интеграл (1) есть функция, интегрируемая на отрезке [оЫиз), и справедливо равенство а~ Ь Ь а (3) а а~ а1 а ртз. Собственные интегралы, зависящие вт наралгетра 325 3. Дифференцирование интегралов, зависящих от парад1(х; а) метра.
Если функции г(х: а) и ' непрерывны в примоугольда нике (3), то интеграл (1) — непрерывно дифференцируеман на отрезке (аггаз) функция, производную которой можно вычислить по правилу Лейбница ~ дг(х;а) (0) да а дУ(х; ) Если функции 1(х; а) и ' непрерывны в прнмоугольнида ке (3), функции гр(а) и ф(а) дифференцируемы на отрезке (а; аз), .а их значения принадлежат отрезку (а; о), то интеграл (2) - функция, дифференцируеман на отрезке (а11 .а ), причем еГа1 Ф'(а) = Ы(а);а)зр'(11) — )(р(а);а)4(а)+ ~ д ' й . (7) Ф1а1 ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1. Найти 1пп / (х+ совах)е*и""с1Х.
а — гв / — л Л Так как подынтегральнаи функция непрерывна в прнмоугольнике К = ((х; а); — зг < х < зг, — 1 < а < 1), л то искомый предел А равен / 2"(х;0)агх, где Г"(х;0) = 1пп(х+соаах) елст = х+ 1. а — га Следовательно, л А = / (х + 1) с1х = 21г, а П р и м е р 2. Вычислить интеграл Хаз Хаз 1= 1 г1х, 0<аз<аз. 1пх о а Рассмотрим функцию 2(х;а) = х . Эта функции непрерывна в прямоугольнике К = ((х; а): 0 < х < 1, а1 < а < аз), где аг > О. Применил формулу (3), получаем 1 аз аз 1 ~ ( ~х" г1Х) йа = / ( / х" а) г1 о О а, З26 Гл.
3. Интегр льс, зависящие от иаралсетра. Интеграл Фурье 1 с 1 с!а Так как усх с!х= —, то левая часть формулы (8) равна ~— а+1 ел+ 1 о Ос 1 + аг = 1п . Правая часть формулы (8) равна 1, так как 1+ а1 аз ,аг хас ха с!а = !их 1=!и . А 1 Ч- а 1+ ос Пример 3. Найти Р(а), если 1(а) = / е"' ссх 1 й Приьсенян формулу (6), получаем 2 ал ~2 са а 2 1'(О) = / Еал ХС!Х =— 2а 1 2а 1 П р и м е р 4.
Вычислить интеграл л,со 1(а) = ( 1п(яп х+ аасоззх) с!х, о ~ О. о л Пусть о > О и а ф 1. Так как функция 1(х;а) = 1п(яп х+ а сол л) д1(х; а) непрерывна и имеет непрерывную производную ' в прямода угольнике 12 = ((х;а): О < х < пс(2, ас < а < аг), где ос > О, то по формуле (б) получаем лс'2 2асое х яа х+агсовгх о Используя подстановку 1 = 18х, находим 211 1 С 1 1 / (12 -Ь 1нгг л- а2) о2 — 1 1 ~12 -Ь 1 11+ аз) о о 2а 1 агс181 — — агсс8 — 1! ~ аг — 1 ( а а О а-Ь1 откуда 1(а) = л1п(о+ 1) + С.
Так как 1(о) функция, непрерывная при а > О, и 1(1) = О, то С = = — л !и 2. Следовательно, 1(о) = л!п((о+ 1)сс2) при о > О. Учитывая, что 1(о) четная функция, отсюда получаем 1(а) = и !пЦ~а~ + 1)сс2), если афО. А р/3. Собственные интегралы, зависящие от пара»/етра 327 Пример 5. Найти Ф'(сс), если Ф(о) = / соз а А По формуле (7) находим Ф'(о) = сова. О5(осйп а) + сйпо в11(асов о) в1/ах а/х.
+ / х с1/ох дх. а ЗАДАЧИ 1. Доказать, что функции 1(а) непрерывна на й, если: 1 2 1) 1(о) — / /пп ох с/х, 2) 1(о) — / с/х. о 2. Найти предел: с) ~2 / д + . г; 2) 3 / о/зг г а — )О ./ а — )О ./ Π— 1 л 1 5) 1пп /',,; 4) 1нп 1/ хгеа» с/х; а — з1 г 1 -)- х -)- а~ а-з1 г о л 5) 1)пс / х соа(1+ а)х с/х. а — >О,/ о разрывна при о = О. 5.
Выяснить, справедливо ли равенство 1пп / /»(х;а) с(х = / 1пп /»(х; сс) с/х, если; 1) /(х;о) = —, е ' /'; 2) /(х;с») = 6. Пусть функция /(х) непрерывна < х < Ь. Доказать, что 1пп — / [/(/ + о) — 7(/)) /11 2ха (ог+ хг)г на отрезке [а; Ь) и а < ао < = 1( ) — /( о). ав 1 3. Доказать, что функция 1(а) = / а)йп(х — а) с/х непрерывна на Й. о 4. Пусть функция /(х) непрерывна и принимает положительные значения на отрезке [О; 1]. Доказать, что функция 1(сс) = /,,,/'(х) с(х о Зла за.
3. Интегр ля, зависящие вт аврал!етра. Интеграл Фурье 7. Пусть (Зз„(х)) ..- последовательность функций, интегрируемых по Риману на отрезке [о,;Ь] и принимаюших на атом отрезке неотрицательные значения, равномерно сходится к нулю на множестве Е = (х: О < д < ]х] < 1) при любом 6 > О, причем !!ш /;с„(х) с1х = 1. — 1 Доказать, что для любой непрерывной на отрезке [ — 1; 1] функции Г(х) справедливо равенство 1 1!п1 / 1(х)!ри(х) ь!х = 1(0). 8. Выяснить, равны ли интегралы 1 ! ! 1 /( /Я(хгя)ь!о) дх и / ( /Ях;с!)сбх]йт, о о о о если; 1) 1(зя1~) = „,,; 2) Г'(х; ) = 9.
Пусть функция г(х;о) при каждом о Е [оз.,оз] интегрируема по х на отрезке [а;Ь], и пусть на зтом отрезке сушествует функЦиа Р(х) такаЯ, что Пзп 1(х;о) =!Р(х), гДе оо й [оь,глг, РавномеРно а — ьаь относительно х Е [а, Ь]. Доказать, что: ь ь 1) 1пп /1(х;.гл) дх = /!р(х) с(х; а а 2) 1пп ! Г" (х;о)д(х) 11х = /:р(х)д(х) аЬх, где д(х) функция, пни — !аь,! и, е тегрируемая на отрезке [а;Ь]. 1 асс!а х г до 10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
