1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 60
Текст из файла (страница 60)
е. /е 'дх= —. (19) о Перестановка порядка интегрирования в равенстве (18) законна, так как подынтегральная функция д = 1е ' 0 ли ~ неотрицательна при 1 > О, у > 0 и непрерывна, интегралы от функции д, взятые по 1 и д, сходятся равномерно по д и 1 соответственно на отрезках [О;~] и [О;о) при любых ~ > 0 и 0 > 0 (признак Вейерштрасса), а один из повторных интегралов сходится и равен л/4. А П р и мер 4. Вычислить интеграл Лапласа ж с,с 1(а) = / е ' соз 2ох дх.
о А Дифференцируя интеграл 1(о) по о, получаем асс 1'(о) = — 2 / хе * аьпп2охйх. (20) о , е Применение правила Лейбница законно, так как функция е е соа 2ох непрерывна при х > О, .о е Й, интеграл 1(о) сходится при каждом о е е Я, а интеграл в правой части (20) сходится равномерно по о на К (признак Вейерштрасса). Преобразуем равенство (20), применяя метод интегрирования по частям: с -Ьсс / е 1'(о) = е ' яп2ох[ — 2о / е ' соа2охг1хл (21) о Из (20) и (21) следует, что 1'(о) = — 2о1(о) или = — 2одо, отН1(о) 1(о) куда 1(о) = Се -~-сс Полагая о = 0 и учитывая, что 1(0) = / е ' дх = — (пример 3), о получаем (22) е ~ соз2охдх = — е с .
а 2 о Пример 5. Вычислить интегралы Френеля -еж / япх Йх и 1л = / совх Лх. ЗЯ2 Гл. зк Интегр ли, зависящие ат паральетра. Интеграл Фурье (24) (26) / г 0х откуда = — . Следовательно, 1+ х' 2ь/2 1 а 1 /Г ,/л 2Я 2 у 2 Для обоснования законности перестановки порядка интегрирования в формуле (25) можно воспользоваться (см.
(23)) при о ~ О равенством -~-сс -~-се -~-сс е — с/1 = — / е яш/Ж / е е/и сс 1 Г азг я1аг 1 1 „'-'г . 1 — гез 2,/ ь// з/а,/ о о о й Полагая хг = 1, запишем интеграл 1 в следующем виде; 1 = / я/п:г г/х = — / — г/1. 2 1 г яш1 (23) 2 /,/,- о о Пусть 1 > О: тогда справедливо равенство -ь се 1 2 Г гез — — /е "0и, , г,/= ./ 2 для получения которого достаточно в интеграле / е " е/и сделать о замену переменной по формуле тЛи = х и воспользоваться интегралом (19).
Из (23) и (24) следует, что -~-сс ~-сс 1 = — / я/п1й /' е "' е/и. (25) о о Меняя порядок интегрирования, получаем -<- сс -~- сс з — / е/и / е а яшей. о о Используя формулу (5), находим -~-сс = — /' ттх 1 1Ч-ил' о Вычислим интеграл (26). Заметим, что -~-Х -~-сс о / х с/х / /1/х ) с/х / с/г / с/х 1Ч-х' / 1ж(1/х)' / 1жг' / 1-Ьх'' о о ' сс о Поэтому .ь~ -~-сс -~-сс -~-сс / (1 + ц з~)с/х /' с//х - 1/*) ,/ 1 -~-хл 1 1 Ч- хл ,/ хз ж 1/хг 1 (х — 1/х)еж 2 о о о о Зтб.
Дифференцирование и интегрирование ла ларадсетрр Збз Аналогично можно доказать, что 2 1 с'л совх с1х = — с1 —. А 2 '1' 2 о (28) ЗАДАЧИ 1. Пусть а > О, Ь ) О. Применяя формулу Фруллани (6), вычислить интеграл: -~-оа хсо сов ах — сова Ьх, / вьп ах — в1п Ьх о о 3) / ' дх; 4) / с1х. о о Используя интеграл Днрихле (12), вычислить интеграл (2 — 4). .~-с:о 2 2.
1) /,,в с1х: 2) / ( — ) г1х: 3) / — г1х; о о о -~-сю -с-оо ) о о о н-~ .с. оа -~-сю з 3. 1) / йх 2) / Их: 3) / ( ) Их о о о .ь~ -~-оа всю о о о е 4 1) / вспхсов х 4 2с с 2вспадс — в1п2ах Д с4х; 2) хз дх; о о .~. о о 3) / "" ' 1 4) 1 "' * "в~* 2 хв 1 хе 2З Пад ред. Л.Д.Кудрявцеве, т.з .~- оа -~- оа -1-сю = — / С4и / Е си ' и ~ В2ПЬС41 оа — / о о о Переходя здесь к пределу при ех -> О (законность перехода к пределу следует из равномерной сходимости интегралов), получим равенство (26),из которого следует, что -~-аа / в1пх с4х = — ~.
(27) о ЗЬ4 Гл. 3. Интегр лы, зависящие вт паралсетра. Интеграл Фурье -1- ос 4-со ) / совах+соеох — 2 1 0 зз О 6) 1 е!и хсоеах хг ,/ хг о о 5. Используя интеграл Дирихле (12) или интеграл Фруллани (6), вычислить интеграл: япаляаДх о 2) ~ аяпх — ь!пах 1 > 0 о 3) У ' д с)х, а>0, И>0; о 4-ос -~-ж ~ ахсовх — вгаах ., Г яаахяпДх хг и, О, ) 1 о о -~-со яп хсоьах о 6.
С помощью дифференцировании по параметру вычислить интеграл: 4-х -1-со о о — ос — !1г 3) / яп Лх с1х, а > О, Д > О, Л ф 0; о — ог — !1г 4) / сов Лхс1х, а > О!,3 > 0: о 1 -1-ос о о .!. со 7. Доказать, что если а > О, то ~ ',' с1Х = — 1п(1+а). асс!а ах !с / *(1+*2) 2 о 8. Используя результат примера 7, доказать, что: е/2 г,сг 1) 1 — с1х = — 1п2; 2) / !пяпхс1х = — — 1п2. у !ах 2 ' у 2 о о 1 1 9. Пользуясь тем, что / х 1с1х = — при а > О, вычислить ин- о 415.
Дифференииревание и интегрирование пв параметру збз 1 теграл / х" ~ 1п хе(х, где га Е И. о .~-сс вшах 11. Пользуясь тем, что ~ с1х = о / совах — сов Ьх свх = о — при о > О, доказать, что п(Ь вЂ” а) 2 -~-сс 1 12. Пользуясь тем, что / е *дх = — при о > О, доказать, что о Ь сс — ах — Ьх Ь дх=1п —, а>0, Ь>0. х а о 13. Используя интеграл Эйлера — Пуассона (19), доказать, что: -~-сс ц /',— 1 х";вдх1,~х 1~ ев'/а „> О.
Ь сс /' ( в ) 1 г ввд 1 (о+ 2(г )а — 4оДЬ г'и 2ог Но о>0; -~-сс 㠄— ах „— Дх г 3) / ., с1х=2„гл(,IД вЂ” „го), ег>О 11>О. 4) / е " с1гДхс(х = /~ ез'ДМ о > О. -~-хс 3) / е ('+'~"'~свхсс — е а, о>0. 2 о -~-сс 1 гн 14. Пользуясь тем, что / е * дх = — ~ —, где о > О, дока- 2 о' о -~-сс .= '"-'",г, е "хх "с(х=, —, пбИ. 2пх'ои Н о ' о зать, что 23* Йх и 10. Пользуясь формулой 1 г ',, = — (а > О), вычислить ин- у хг -Ьах 2а -~-сс о г1х теграл . ..
где н Е И. (хг + се)пи г о Зоб Гл. 3. Интегр лы, зависящие ат паралзетра. Интеграл Фурье Вычислить интеграл 115- 19). Хаз 1рхе ' ' У х' о о -газ -~-сю -~-ьс 3) / ' ' йх 4) з йх. 5) з ' йх. х' ',I хг(1 Ч- тр) ',I (1 -Ь хз)з о о о ахг -ь 26х -ь с о -ьх -Ь аз С~К г з 2) / е а в1п Ох —, а>0; 3) 21 хе аг вшОхйх, а>0; о о — г 4) / тоне г сов2ахдх, и е Р4; 5) ~ е хв1пафх — „, а > О; о о 6) / дх., ~ел~ < 1.
о о о — — Лз -~-ес 3) /(е )с)х, а>О, Д>0;4) / х~ 'дх; о 1 -Ььс О) / Г азссяахагс1яДх а с~х, а>0, И>0; о -~- ы О) / '"",+, ) а, >О, И>0;. Зз + хг о +ее 2 3 з 7) / г Их, а>0, Д>О. 11 + х)з о аз'г в/а 13 1) / !пь1 + ассах) 1 ! ) ( 1 2) вхссвьаСвх) 1 а > О совх ' ',/ 13х о о 3) / '"~'+ х) "~'+~*в) а О О О. дх, а>0, 3>О; о 358 Гл. 3. Интегр лы, зависящие от параметра.
Интеграл Фурье 1 доказать, что / е "Го(х) с/х =,, а ) О. Л + и. о 25. Многонлены Чебышева-Эрмита определяются формулами /и Хо1х) = 1, Ни/х) = ( — 1)"ез /е ~ ), и Е /Ч. Доказать, что -зг ) О, если пь ~ и, НвзГх)Ни(х)с ' с/х = ~ 2" и/ 26. Доказать, что если функция Г'(х) абсолютно интегрируема на й, то функция ~ ~с ) — / — г/г//лвз// й 2а оси/,/ — ес ди г дги удовлетворяет уравнению теплопроводности — = аг †,, и началь- д/ дхг ному условию 1пп и/х,/) = Г" (х).
/ — з-ьо 27. Доказать тождество; -~-СС Ел ,/ 1-~-хг У х о Ю , з -ьсе з о о ь/и ./ о о -Ьиз ь 2 28. Доказать, что / е * з|п2бхс/х = е ь ~ е/ с//. о о 29. Доказать, что: -ьх иг -~- бг о -~-вз аг -/- Ьг о -~-св 3) / е ' соз —, дх = — е ~ 'гсоз~сг~т/2; хг 2 о 4) / е ' з1п — с/х = — е ~ 'йга1п~сг~т/2. хг 2 о 22о. Дифференцирование и интегрирование по нвраегетру 459 ОТВЕТЫ 1. 1) 0,51п(Ь/и); 2) 0,51п(п/Ь); 3) 0,5 1п(Ь/а); 4) 1п((а+ 1)/(Ь+ 1)). 2.
1) гг[а[/2; 2) 7Г/2; 3) тг/4; 4) гг/6; 5) 77/4; 6) 7Г/4. 3. 1) (гг/4) я8па; 2) 7Г/4; 3) 37га[а[/8; 4) 37г/16; 5) Згг/16; 6) 5т/32. 4. 1) 5т/32; 2);гаа[/2; 3) я[а[/4, 4) ([,3[ — [а[)р7/2; 5) — гг(а+ 6)/2; 6) (2 — а)т/4, если а < 2; О, осли а ) 2. 5. 1) — 1п ( ); 2) а1па; 3) — 1п ( — ); 4) а(1па — Ц; 5) ([ '[ [ [) 6) О.
) 73 а 6. 1) — 1п (1 + †, ); 2) агсс8 †; 3) агс18 — — пгс18 — : 4) — 1п ', ,; 5) — 1п(а + л/Г+ а2); 6) — (а 3 — 1п(1 + а 3)). 1 62+ Л2 7Г 2 2 агц-Лг ' 2 д 9. '. 10. ( — Цтт! Гг(2п — 1)!! атег ' 2(2н)7! аенгг ' с[а[' 15. 1) — (1 — е 2~ [); 2) — [73[ — л/ла; 3) 4) " (2[ [ 1 + е3 6 ), 5) " (1 + [ [),-», 16. 1) — (ябп(а+/3) + я872(а — /3)); 2) — 1п (1+ — ', ); 1 г' 4Г32 Л 3) д /:-.-УЛ. 4)( 1) Л " (.--2) 4аЧ а 2277 ' 7 ггаео, 5) ГЗагсг8 — — — 1п (1+ —,): 6) — (пссвгпа) .
2/3 а Г 4,32 Л а 4 17 1) н( т — ' — 1). 2) 1п + . З)1 ( +/3)27 4) — (1 + а — Д + а2); 5) — 1п ' ; 6) — 1п(а73 + 1); 7Г 2 2 2 а" /377 2 3) 2т[(а+ 3) 1п(а+ 73) — а1па — /31п73[; 4) — [(а2 —,'32) 1п(а + 3) — ал 1п а + 732 1п 73+ а773[; 5) Ггт([,З[ — [а[), 6) 277 [а,З(а+ 3) + ае 1па+ ф 1пГЗ вЂ” (ал+ /32) 1п(а+ /3)] 3 19.1) )/ — "яп( ' + — ); Зее Гл. 3.
Интегр лн, зависящие от параметра. Интеграл Фурье 3) ./к гйп ~ а + — ); 4),гл сов ~ а + — ); 5) — 1п 23. 1) Нет; 2) нет. 3 16. Эйлеровы и некоторые другие интегралы СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ Интеграл (2) ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1. Вычислить интеграл Эйлера а — ь 1= / йх, 0<о<1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
