1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 63
Текст из файла (страница 63)
е. такое, что если х' = 1(х), у' = 1(у), х Е Л., у Е Х., х' Е Л'., у' Е Х', то р(х;у) = р(х';у') (такие соответствия также называют изометричными). Последовательность точек (хм 1тв;...) метРического пРостранства Х называют сходящейся к ега точке х, если 1шг р(х„;х) = = О. В этом случае пишут 1нп х„= х или х„— > х при и — > оо и к- с~ говорят, что точка х является пределом данной последовательности.
Две метрики р и р на множестве Х называют эквивалентными, если для любой последовательности (хм ..., .х„; ...) точек множества Х условие 1нп р(хк;т) = О выполняется тогда и только тогда, и — эх когда 11ш р (х„; х) = О. и — ~со Сходимость последовательности точек х„Е В(Е), п = 1,2, ..., в пространстве В(Е) ограниченных на некотором множестве Е функ- Гл. Л. Введение в функциональный анализ 380 ций с метрикой р(х;у) = зцр/х(1) — уф( означает равноьчерную схозее димость на множестве Е последовательности функции х„, и = 1, 2, ... (сьь ниже пример 1). Диалзетром ейазпЕ множества Е метрического пространства Х называют величину ейазпЕ = зцр р(х:,у). з,уея Множество, диаметр которого конечен, называют ограниченным. Для всякого множества Е С Х множество Х ~, Е называют его дополнением в пространстве Х.
В метрическом пространстве Х вткрытылз шаром 1у(х;г) с центром в точке х б Х и радиусом е > 0 или е-окрестностью точки х называют множество 1У(х; е) = )у б Х: р(у; х) < е). Множество точек 1у Е Х: р(у;х) < е) называют залзкнутым шаром с центром в точке х и радиусом г. 2. Окрестности.
Открытые и замкнутые множества. Граница множеств. Связные множества. Пусть Х метрическое пространство. Точку х Е Л' называют внутренней точкой множества Е С Х, если у нее сучцествует е-окрестность, содержащаяся в Е, Если каждая точка множества Е с Х внутренняя, то его называют вткрьппым. Всякое открытое множество, содержащее точку х е Х, называют окрестностью этой точки и обозначают Г(х). Точку х б Х называют то ~кой прикосновения множества Е С Х, если каждая окрестность этой точки пересекается с множеством Е.
Совокупность всех точек прикосновения множества Е с Л называют его залзьшанием и обозначают Е. Очевидно, Е С Е. Множество называют замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения. Если у точки х Е Е С Х существует окрестность, не содержащая никаких других точек множества Е, кроме самой точки х, то эту точку называют изолированной точкой множества Е. Точку х е Х называют предельной точкой множества Е с Х, если каждая Окрестность точки х содержит по крайней мере Одну точку множества Е, отличную от х. Точку х б Х называют граничной точкой множества Е С Х, если в любой ее окрестности существуют точки как принадлежащие множеству Е, так и не принадлежащие ему.
Совокупность всех граничных точек множества Е называют его границей и обозначают дЕ. Множество, которое нельзя представить как объединение двух не- пустых непересекающихся замкнутых в их объединении множеств, называют связным. 418. Метрические пространства Связное открытое множество называют областью. Множество Е с Х называют плотным в метрическом пространстве Х, если замыкание Е множества Е совпадает со всем пространством Х: Е = Х. Метрическое пространство называют сепарабелькым, если в нем существует счетное плотное множество.
3. Полные метрические пространства. Компакты. Последовательность (хн ...;х„;...) точек метрического пространства называют фукдалсенталькой (или последовательностью Коши), если для любого г > О существует такой номер пе, что для всех номеров и > п, и т > пе выполняется неравенство р(хп;х ) < г. Метрическое пространство называют полным, если всякая фундаментальная последовательность его точек сходится к его же точке.
Полное метрическое пространство Х* называют пополнением метрического пространства Х, если Х с Х' и Х плотно в Х*. Множество в метрическом пространстве называют компактом, если из любой последовательности его точек можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к его точке. Если замыкание множества в метрическом пространстве является компактом, то такое множество называют предкомаакткым.
Связный непустой компакт называют коктикуумом. Пусть Е подмножество метрического пространства Х и г > О. Множество А С Х называют г-сетью для множества Е, если для любой точки х Е Е существует такая точка р Е А, что р(х;у) < г. Множоство метрического пространства Х называют вполне ограниченным, если для него при любом г > О в пространстве Х существу ет конечная г -сеть. 4. Отображения метрических пространств. Пусть Х и У— метрические пространства.
Отображение 1": Х вЂ” ь 1' называют непрерывным в точке хо Е Х, если для любой последовательности точек х„Е Х, и = 1,2, ..., такой, что 1йп хп = хо, имеет место равенство и — чсо 11пь ~(х„) = ~(хо). В этом случае пишут ,11, й ) = 1(хо). Это определение равносильно следующему (см. задачу 168): отображение 1: Х э У называют непрерывным в точке хо Е Х, если для любой окрестности 1г точки р"(ха) существует такая окрестность Г точки хо, что ((Ц с 16 Отображение г: Х э У называют непрерывным отображекиел~ (пространства Х в пространство У), если опо непрерывно в каждой точке х Е Х.
Гл. Л. Введение е фуннаианальныи" анализ 382 ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1. Доказать, что множество В(Е) всех ограниченных на некотором множестве Е функций, принимающих действительные значения, является метрическим пространством с метрикой р( чд) = р[ (г) — д(с)[ (1) сев А Из формулы (1) сразу следуют свойства 1) и 2) расстояния. Докажем свойство 3).
Если х, у, - Е В(Е), то для любого 2 б Е имеем ]х(С) — зд(А)] = [[х(с) — з(с)] + [2(с) — у(С)]] < ]х(с) — 2(С)] + 2(2) — у(т)], поэтому ]х(1) — у(1)] < зпр]х(1) — 2(С)]+ апр[а(С) — 11(1)], откуда р[х(1) — у(1)] < пр[х(Г) — Ф)]+ Ч ] (т) — д(ГН Это в силу формулы (1) означает, что р(х;д) < р(х; «) + р(2;д).
А Пример 2. Доказать, что множество 1 всевозможных послеДОВатЕЛЬНОСтЕй Х = (Х1, ,Хп;,..) ДЕИСтВИтЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, .ДЛЯ КОТО- рых ~ х„ < +ос, является метрическим пространством с метрикой р(х; у) "='" ~(х. — у.)'; п=1 (2) х = (хз,, х„; ...), у = (у1,,.., уп: ...) Е 12. я Пусть 2 . ь ~ 2 . + ~ 2 п=1 п=1 Отображение 1: Х -+ У называют равномерна непрерывным на Л отображением, если для любого е > О существует такое д > О, что для всех точек х Е Л, х' Е Х, для которых р(х', х) < д, выполняется неравенство р(1(х'); Г(сс)) < е.
Последовательность отобРажений Гп1 Х вЂ” Г 1; и = 1, 2, ..., называют равнолсерна схадлщейся к отображению г" 1 Х вЂ” 2 У, если для любого е > О существует такой номер пе, что для всех номеров и > пе и всех точек х Е Х выполняется неравенство р(Гп(х):Г(х)) < в. Отображение Г" 1 Х вЂ” Ь Х называют слсимающилс, если существует такое число д, О < д < 1, что для любых точек х Е Х, у Е Х выполняется неравенство р(1(х):,Г(у)) < др(х;у).
Если отображение 11 Х вЂ” ь У является биекпией и отображение Г", так же, как и обратное ему отображение 1 1, являются непрерывными, то отобраясение 1 называют замеамарфньм отображением пространства Х на пространство У. 4 !8. Метрические пространства 383 Для любого натурального т выполняется неравенство и а и и т т т ~(Хи — .)'< ~.~.— .)'+ ~(„- и)', и =-1 и.= 1 и=.! так как оно представляет собой неравенство треугольника в пространстве !1~. Перейдя к пределу при т -! оо в этом неравенстве, получим (хи — Уи)з < ~~! (х„— а,)з + ~ (хи — У,)'.
(4) з а и з и 3 и=1 и=1 и=1 Положив здесь хи = О, и = 1, 2, ..., будем иметь ~(хи — у„) < ~х„+ ~у,, а и=! и=1 и=1 Из этого неравенства следует, что определение (2) имеет смысл: если выполняются условия (3), то ряд, стоящий в правой части равенства (2), сходится. Неравенство (4) является, очевидно, неравенством треугольника для л!етрики (2). Выполнение же свойств 1) и 2) метрики непосредственно следует из формулы (2). А П р и м е р 3. Доказать, что множество открыто (замкнуто) тогда и только тогда, когда его дополнение замкнуто (открыто). л Если С --- открытое множество метрического пространства Х, то никакая точка х Е С не является точкой прикосновения его дополнения Г = Х !, С, так как множество С, будучи открытым, является окрестностью точки х и не содержит точек множества Г.
Следовательно, все точки прикосновения множества с' содержатся в нем, что и означает его замкнутость. Если Р замкнутое множество, С = Х !! Е и х Е С, то в силу замкнутости Г точка х не является его точкой прикосновения, а поэтому существует ее окрестность Сс(х), не пересекающаяся с множеством х' и, следовательно, такая, что С!(х) б С. Таким образом, любая точка х Е С явлиется внутренней, а это и означает, что С открытое множество.
Итак, множество С открыто тогда и только тогда, когда его дополнение р' = Х !! С замкнуто. Отсюда сразу следует, что множество г' замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение С = Х !! Е открыто. А Пример 4. Доказать полноту пространства 1з (см. пример 2). А Пусть последовательность точек (иб ( (т1 !т! является фундаментальной последовательностью в пространстве /з.
Следовательно, для произвольно выбранного е > О существует такой Гл. 4'. Введение в функциональный анализ 384 н омер и„ что для всех Й, т > пл выполняется неравенство г (11 (пб) ~( (ь1 (т1)2 < (5) п=1 Поскольку для каждого и Е Ш имеет место неравенство ,(тз, (Ь1! < ~~, » (Ь1 (т1)2 =1 то из (5) следует, что для любого фиксированного п числовая последовательность (х1 ;...;хп 1...) является фундаментальной, а поэтому (т1 (т1 сходится. Пусть 1пп хпт = хп; покажем, что тогда ьп — ! по Х=(Х1,...,Хп;...) Е11 И 1ПП Х =Х.
В самом деле, из (ог) следует, что для любого фиксированного по е Ш и всех Й, т > п, выполняется неравенство пь (х„— х„, ) < е. п=1 Перейдя здесь к пределу сначала при Й -~ со, а затем при по -> сс, получим, что для всех зп > п, выполняется неравенство Е(" -*-' ')2 < ' п=1 Из х( ~ Е 12 следует, что ~ х(„п'1 < + (7) п=1 а поэтому из (6) и (7) получаем (6) < ! (х„— х(пб) + 2 х( 1 <+ос. и=! п=1 ЗАДАЧИ 1. Доказать, что для любых трех точек х, у, 2 метрического пространства Х справедливо неравенство ~Р(х;2) — РЬ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
