1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Множество в метрическом пространстве вполне ограничено тогда и только тогда, когда каждая последовательность этого множества содержит фундаментальную последовательность. 148. Полное вполне ограниченное множество в метрическом пространстве является компактом. 149. Метрическое пространство является компактом тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено и полно. 150. Компакт является ограниченным множеством в любом содержащем его метрическом пространстве. 151.
Для того чтобы подмножество полного метрического пространства было компактом, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым и вполне ограниченным. 152. Гильбертов кирпич (сьь задачу 146) являетсн компактом. 153. Для того чтобы множество, лежащее в полном метрическом пространстве, было предкомпактным, необходимо и достаточно, .чтобы оно было вполне ограниченным. 154.
Компакт является сепарабельным метрическим пространством. 155. Из всякого покрытия сепарабельного метрического пространства открытыми множествами могкно выделить счетное покрытие. 418. Метрические пространства 399 156. Длн того чтобы сепарабельное метрическое пространство являлось компактом, необходимо и достаточно, чтобы любая последовательность непустых замкнутых множеств, последовательно вложенных друг в друга, имела непустое пересечение.
157. Длн того чтобы метрическое сепарабельное пространство было компактом, необходимо и достаточно, чтобы нз любого его покрытия открытыми множествами можно было выделить конечное покрытие. 158. Для того чтобы произведение Х х У метрических пространств Х и 1' (см. задачу 17) было компактом, необходимо и достаточно, чтобы были компактами пространства Х и К 159. Если А и В прецкомпактные множества метрического пространства Х, то множество чисел р(я; у), где з Е А, у Е В, ограничено.
160. Пересечение любой совокупности компактов является компактом. 161. Объединение конечной совокупности компактов является компактом. 162. Пересечение последовательности континуумов, последовательно вложенных друг в друга, является континуумом. 163. Если Ет я = 1,2,..., .. последовательность компактов в метрическом пространстве Х, Е~ З гз З ... ос„ З ...
и е' = П Е„, то п=е для любого е > О существует такой номер п„ что для всех и > пе выполняется включение Г С ~ ( Е ) е ц Г ( т я ) сер 164. Если г"„, и = 1, 2, ..., последовательность компактов в метрическом пространстве Х, Ес З гз З ... З Г„ З ..., то для того, чтобы пересечение Г = П Р, состояло из одной точки, необходимо и доп=с статочно, чтобы 1пп сйаще'„ = О. и-час 165. Если Е,о п = 1,2,..., --.такая последовательность компактов в метрическом пространстве, что пересечение любой конечной совокупности этих компактов непусто, то пересечение всех этих компактов также непусто.
166. Верно ли утверждение: из любого покрытия компакта замыканиями открытых множеств можно выделить конечное покрытие? 16Т. Доказать, что, каково бы ни было покрытие (С„), сс Е 1У, компакта Х открытыми множествами С, существует такое число б > О, что для любого множества Е С Х, диаметр которого меньще д, найдется элемент С, заданного покрытия, содержащий в себе Гл.2. Введение в фуннчионаленези" анализ 400 мнозкество Е; С, ~ Е. В задачах 168"173 Х, У, У --метрические пространстна.
В задачах 168 †1 доказать сформулированные утверждении. 168. Сформулированные выше определения непрерывности отображения 1; Х 4 1л в терминах последовательностей и в терминах окрестностей равносильны. 169. Отображение Г': Х вЂ” ~ 1' непрерывно н точке ха е Х тогда и только тогда, когда для любого е > 0 существует такое б > О, что для любой точки х 6 Х, для которой р(х:хо) < б, выполняется неравенство р®х);д(хо)) < е. 170.
Отображение Г': Х -+ 1' непрерывно на Х тогда и только тогда, когда прообраз каждого открытого в 1' множества является открытым в Х множеством. 171. Отображение Г': Х 4 1' непрерывно на Х тогда и только тогда, когда прообраз каждого замкнутого в 1' множества является замкнутым в Х множеством. 172. Обязательно ли при непрерывном отображении одного метрического пространства в другое: 1) образ каждого открытого множества открыт; 2) оораз замкнутого множества замкнут? 173. Доказать, что композиция д о Г" непрерывных отображений ф: Х -+ 1' и д: 1' -4 Я является непрерывным отображением.
174. Будет ли непрерывным отображение г' пространства С[0; Ц (см, задачу 31) в себя, .если оно задается формулой: 1) Г(х) = дх, где д = дз(г) фиксированная функция из С[0; Ц, а х = х(1) 6 С[0, Ц; 2) Х(х) = х-', х(4) = С[0; Ц? 175. Будет ли непрерывным отображение Г'(х) = хз пространства СЛз[0; Ц (см. задачу 3, 5)) в себя? 176. Пусть Х = (х 6 С'[О; Ц, х(0) = О) (см, задачу 93). Будет ли непрерывно отображение 1: Х вЂ” 4 С[0;Ц, задаваемое формулами д'(х)(1) =, 1 6 (О; Ц, з" (х)(0) = 1пп ? 177. Являются ли непрерывными следующие отображения пространства С[0; Ц (слл. задачу 31) в себя: 1) Г(х)(г) = ~х(в) г?и; 2) Г(х)(г) = / хз(в) ежов; у 18.
Метрические пространства 401 3) ~(х)(1) = / а1п(1 — в)х(е) сйц 1 Е [О; 1]'? а 178. Являются ли непрерывными следующие отображения пространства СЛз[О; 1] (см. задачу 3, 8)) в себя: 1) 7'(х)(1) = р(4)х(1), где сс(4) фиксированная непрерывная на отрезке [О: Ц функция; 2) ~(х)(6) =ха(6); 3) Дх)(т) = /х(в)с?е, 1Е [О;1]? в 179. Будет ли непрерывным отображение Г"(х) = х(1), если оно рассматривается как отображение: 1) из С[0;1] (см.
задачу 31) в ??; 2) из СЛз[О; 1] (см. задачу 3, 8)) в ??? 180. Доказать, что если г" —. непрерывное отображение пространства Х на пространство 1с и Е плотное в Х множество, то )(Е) является плотным в У множеством. 181. Доказать, что если Г': Х 4 У непрерывное отображение Х в У и Х компакт, то 1 является равномерно непрерывным на Х. 182. Буде~ ли непрерывным дифференцирование, рассматриваемое как отображение подпространства, состоящего из непрерывно дифференцируемых функций пространства С[а; 6] (см. задачу 31) в само пространство С[а; 6]? 183.
Будет ли непрерывным дифференцирование, рассматриваемое как отображение пространства Сз[а;6] (см. задачу 93) на пространство С[а; 6] (см. задачу 31)'? 184. Пусть Е плотное в метрическом пространстве Х множество и ?: Е 4 У равномерно непрерывное отображение Е в полное метрическое пространство У. Доказать, что существует и притом единственное отобраскение ?': Х -+ 1; сужение которого на Е совпадает с ?. 185. Привести пример непрерывного отображения, определенного на плотном подмножестве метрического пространства и не имеющего непрерывного продолжения на все пространство.
В задачах 186 — 192 доказать сформулированные утверждения. 186. Для того чтобы последовательность отображений ?: Х вЂ” у 1; п = 1, 2, ..., равномерно сходилась к некоторому отображению Х в 1; где У полное пространство, необходимо и достаточно, чтобы для любого а > 0 существовал такой номер пе, что для всех номеров п > > и„ пз > п, и всех точек х б Х выполнялось неравенство ]1,(х)— -У,".(х)] < ' 187. Если последовательность отображений гн: Х у У равно- 20 Под ред. Л.Д.Кудревиееа, т.З 402 Гл. 4. Введение в функциональный анализ мерно сходится к отображению 1; Х -4 У и все отображения Г"„ непрерывны в точке хо Е Х, .то и отображение 1 непрерывно в этой точке. 188. Сжимающее отооражение д: Л вЂ” ~ Х равномерно непрерьшно на Х.
189. Сжимающее отображение Г" полного метрического прост- ранства в себя имеет и притом единственную неподвижную точку, т. е. такую точку, что Д(х) = х. 190. Если некоторая степень отобразкения полного метрическо- го пространства в себя является сжимающим отображением, .то са- мо отображение имеет и притом единственную неподвижную точку. 191. Если функция Д1) непрерывна на отрезке [а;Ь), функцин ГС(6;в) на квадрате С) = [а:Ь) х [а;61 с= шах[1ь(йв)[,. Л некоеу торов число и А(х) = Л~ К(6; в)х(в) де+ Г(6), то: а 1) отображение А отооражает пространство С[а; Ь) (см.
задачу 31) в себя; 2) для любых функций хз Е С[а,Ь), хз Е С[а;Ь[ и любого 6 Е е [а;Ь) справедливо неравенство [Аа(хз)(6) — А" (ха)(6)[ < шах[хь(6) — ха(6)[. Лае"(6 — а)а и! ~а;Ь1 192. Отображение А(х) предыдущей задачи пространства С[а; Ь) в себя иьиеет единственную неподвижную точку, т. е. уравнение *(6) = Л / Х(6 ) ( ) й + 2 (6) а при любом Л имеет и притом единственное непрерывное решение.
193. Привести пример такого отображения Г" полного метрического пространства Х в себя, у которого для любых двух точек х Е Х, у б Х выполняется условие рЩх); Д(у)) < р(х; 9), но нет неподвижной точки. В задачах 194-203 доказать сформулированные утверждения. 194. Любое непрерывное отобразкение отрезка в себя имеет неподвижную точку. 195. Любое возрастающее отображение отрезка в себя имеет неподвижную точку. 196. Непрерывный образ компакта является компактом. 197. Взаимно однозначное и непрерывное отображение компакта является гомеоморфизмом.
418. Метрические пространства 403 198. Всякая непрерывная функция 1: Х з Я, определенная на компакте Х, ограничена на нем и принимает наибольшее и наименьшее значения. 199. Непрерывный образ связного множества являетсл спивным многкеством. 200. Непрерывный образ континуума является континуумом. 201. Если метрическое пространство явллется непрерывным образом сепарабельного метрического пространства, то оно также являетсл сепарабельным пространством. 202. Множество функций (х; х(1) = Иг, о < Ь < 1) является компактом в пространстве С[О, :Ц.
203. Семейство Е = (х) функций х = х(1) пространства С[а;Ь) (см. задачу 31) называют равномерно ограниченным, если существует такая постоянная с > О, что длн всех х е Б и всех 1 е [а;Ь[ выполняется неравенство [х(с)[ < с. Семейство Б = (х) функций х = = х(1) пространства С[а;Ь[ называют рааностеаенно непрерывным, если для любого г > О существует такое б > О, что для всех х Е Я и всех Ьы 1г Е [а; Ь), для которых [Ьз — 1~[ < Ь, выполняется неравенство [х(1з) — х(1г ) [ < г.
Для того чтобы семейство Б = (х) непрерывных на отрезке [а; Ь) функций х = х(1) было предкомпактно в пространстве С[а; Ь], необходимо и достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным (теорема Арцела). 204. Будет ли компактом в пространстве С[а: Ь) множество всех лзногочленов Р(1) степени не выше данного натурального и: Р(с) = п = ~ ад се, у которых [аь [ < 1, Ь = О., 1, 2, ..., и 2 ь=о В задачах 205--207 доказать сформулированные утнерждения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
