1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 69
Текст из файла (страница 69)
408 Гл. 4. Введение в функциональный анализ Если, кроме того, выполняется условие: 4) если 11х11 = О, то х = О (кевырожденность),. то полунорму называют норлзой а пространство Х вЂ” нормированнылл. Две нормы 11х411ьщ и 11х((щ! в линейном пространстве Х называют эквив лентн ми, если существуют такие постоянные с, > О и сз > О, что для всех х Е Х выполняется неравенство сь1!х11~ ~ < !1х11~ ~ < сз11х11~ ~. Подмножество нормированного или полунормированного пространства называют его подпространством, если оно является линейным подпространством (слз.
и. 1). Произведением Х х У двух полунормированных !в частности, нормированных) пространств Х и !' называют полунормированнов (соответственно нормированное) пространство, являющееся произведением линейных пространств Х и У с полунормой !нормой) и,;ьл= Я',+щр, х, „х Подмножество Е полунормированного (нормированного) пространства называют ограниченным по полунорме (норме), если существует такая постоянная с > О, что для всех х б Е выполняется неравенство ~~х(~ < с. Последовательность (хм ..Л хо;...) элементов полунорглированного (нормированного) пространства Х называют сходящейся ао полунормв (норльв) к элементу х Е Х, если предел 1пп !1х„— х11 = О.
В этом о — ьсс случае пишу т !пп х„= х. в 'ьь Отображение 1: Х вЂ” з У полунормированного (нормированного) пространства Х в полунормированное (нормированное) пространство У называют непрерывным в точке хо Е Х, если для любой послеДОВатЕЛЬНОСтн (Хз,,Хо; ...), СХОДЯЩЕЙСЯ К Хо ПО ПОЛУНОРМЕ (НОРМЕ) пространства Х: 11пь х„ = хе, последовательность )1(х„)) сходится в — ььь к Д!хо) по полунорме !норме) пространства У: 11гп з !х ) = з (хе) Взаимно однозначное отображение 1: Х вЂ” ~ У нормированного пространства Х на нормированное пространство У, сохраняющее линейную операцию (т.
е, изоморфно отображающее линейное пространство Х на линейное пространство У) и норму (для всех х б Х выполняется условие Щх)11г = 11х11х ), называют изоморфныль отображением или изоморфизмом нормированного пространства Х на нормированное пространство 1'. Аналогичное определение имеет место и для полунормированных пространств. В нормированном пространстве Х функция р1х;у) =11х — у11х, х б Х, у Е Х, й 49. Нормированные и полунормированные пространства 409 является метрикой, называемой метрикой, порожденной норлсой пространства Х. Таким образом, на нормированные пространства (как на частный случай метрических) распространяются все понятия, введенные в 018 для метрических пространств. Полное нормированное пространство называют йанаховым пространством.
Систему элементов 1л„), сг е 11 (Ю некотороо множество индексов), полунормировашюго пространства Х называют полной в этом пространстве, если для каждого элемента х Е Х и любого в > О существуют такие элементы х„,.....,х „данной системы и такие числа Лы ..., Лв, что выполняется неравенство (!л — (Л1ш„, + ... + Лохм„)!! < е. Полунормированное пространство Х называют вложенным в полунормированное пространство 1», если; 1) ХсУ: 2) существует такая постоянная с > О, что для каждого х Е Х выполняется неравенство Если пространство Х вложено н пространство У, то пишут Х С, У. 3. Линейные и полилинейные операторы.
В дальнейшем в этом параграфе Х, У и Я линейные нормированные пространства. Поскольку нормы порождают метрику, то для нормированных пространств определено понятие непрерывного (по норме) отображения одного из них в другое. Отображения нормированных пространств называют обычно операторами. Операторы, отображающие данное нормированное пространство во множество действительных или, более общо, комплексных чисел, называют фуняциоиалалш над данным пространством. Пусть А: Х вЂ” э У. Положим !!А!! = р !!АМ)!! Ж 0»алас Оператор А называют ограниченным, если !!А!! < +ос. Для линейных операторов это условие равносильно тому, что существует такая постоянная с > О, что для всех л Е Х выполняется неравенство !!»1(ш)(!г < с!!х!!х. Для линейных ограниченных операторов величину (1) называют их нормой. Множество всех ограниченных линейных операторов, отображающих пространство Х в пространство 1; обозначают У'(Х;1 ).
Билинейное отображение ~: Х х У 4 г, (сьь п. 1) называют ограниченным, если существует такая постоянная с > О, что для любых х Е Х и у Е У выполняется неравенство !!) (л; у) !!г < с!!л!!х!!у!!х 410 Гл. 4. Введение в функциональный анализ Аналогичным образом вводится понятие ограниченного полилинейного отображения. 4. Дифференцируемые отображения нормированных пространств. Пусть Х и 1' нормированные пространства, С открытое в Х множество и хв Е С. Отображение ои С -4 1' называют бесконечно малылз по сравнению с функцией [[х — хо[[" и пишут о = оНх — хо)"), х -4 хв, если существует такое непрерывное в точке х = хв отображение в: С -+ 1; что о(х) = в(х) [[х — хе[[", в(О) = О. Отображение г' открытого множества С нормированного пространства Л в нормированное пространство У называют дифференцируемым или сильно дифференцируемым в точке х Е С, если существует такой линейный ограниченный оператор А: Л -+ У; что 1(х+ 6) = 1(х) + А(6) + о(Ь), 6 ь О.
В этом случае линейный оператор Л называют дифференциалом отобрахчекия 1" в точке х и обозначают Рд(х) (или (РГ)(х) ), а также г"'(х). Его часто называют сильным дифференциалом или сильной производной, а иногда дифференци лом или производной Фреше. Если хо Е Х и х Е Л, то множество всех точек пространства Х вида (1 — 4)хо 4- гх, 0 < 1 < 1, называют отрезком [хо,х], множество всех точек вида (1 — 1)хо -~-гх, 0<1< 1, интервалом (хо,х) вэтом пространстве, а число [[х — хо[[ их длиной. Точки хв и х называют концами указанных отрезка и интервала. Пусть х Е Е с Л, 6 Е Х, Ь ф О, множество Е таково, что оно содержит все точки вида х+ 66 при достаточно малых Г > 0 (т.
е. содержит некоторый отрезок положительной длины с концом х в направлении вектора 6) и Г': Е -4 У. Отображение Г" называют дифференцируемым в точке х по направлению вектора Ь, если существует такой элемент (Рь1)(х) Е У, ~(х+ Грь) = ~(х) + (РьЯ(х)Г+ о(Г), Г -4 О. (2) Элемент РьГ"(х) = (Рь1)(х) называют производной ло направлению Ь или производной Гата по этому направлению. Производная Фреше Р)(х) и производная Гата РьГ(х) имеют разную природу: РЗ'(х) Е.У(Х;1 ), а РьЗ(х) Е 1'.
Если отображение Г": С вЂ” > 1з, С открытое в пространстве Х множество, имеет в точке х Е С производную (Рьг)(х) по любому направлению и существует такой линейный ограниченный оператор (Ре„1)(х): Х вЂ” ~ К что (Р-1Нзз)(6) = (Рз й(х) то этот оператор называют слабым дифференциалвлз или слабой производной, а также дифференциалом или производной Гата. В этом случае 1(х+ 16) = 1(х) + $Р,,1(х)(6) + о(1), 1 -4 О, 6 е л'. гЖ Нормированные и полрнормированные пространства 411 Если отображение г": С вЂ” ь У открытого в пространстве Х множества С дифференцируемо во всех точках х е С, то его производная ~'(х) е К(Х;1') задает отображение 1', х — ь ~'(х) леножества С в линейное нормированное пространство х'(Х; 1').
Если это отображение в свою очередь дифференцируемо в точке хо Е С, то его производную (Г"')'(хо) обозначают Го(хо) и называют второй производной отображения 1 1в точке хв). Она является элементом пространства ь(Х, х'(Х; 1')). Вторая производная может быть рассматриваема как билинейная форма, определенная равенством г'"(х)(а; й) = 1г "(х)Ь)И, .Ь е Х, И е Х. Производная любого порндка и Е Й определяется по индукции (как обычно, Р~з(х) = 11х)). При фиксированном х Е С производная ~1"1(х) явлнется линейным ограниченным оператором из пространства Х в пространство К(Х;...; х'1Х;У) ...), т.
е. п — 1 раз 11"1(х) Е г (Х; г'1Х; ..4 х'(Х;У)...)). и-~-1 раз Производную ~'и1(х) можно рассматривать как н-линейную форму, определяемую равенством у1"1~ )Н1И; ..дйи) = (...у1"1( )рц)...)Би,. В случае, когда 61 — — Ьг = ... = ь„= 6, вместо гбб1х)1и; ...; 6) питут ~1и1(х)дп 5. Интегрирование векторнозначных функций.
Пусть функ- ция х = хф отображает отрезок 1си1Б] С Я в линейное нормиро- ванное пространство Л, т = 1се)',:~ разбиение отрезка 1об1 Б], Ы1 =11 — й 1, С1 и [1, 11й], 1 = 1,2,...,1,, ]т] = п1ах ]Лй] (ыел=1д...,з. кость разбиении т), о, = а,(х;~1,,С1.) = ~ ~х1д1)Ы,. 1=1 Интегралом / х11) 111 (подробнее интегралом Римана — Бохнера) от функции хЯ по отрезку 1о;3] называют предел 1пп а„т. е. ~.(-~0 х(1) сМ = 1цп а„, )и( — ао а где предел интегральных сумм определяют аналогично случаю числовых функций: элемент а Е Х называют пределом 1пп а„если (~ !-ав Гл.
4. Введение в функциональный анализ 412 для любого е > О существует такое б > О, что для всех разбиений т мелкости [г[ < б выполняется неравенство [[а, — а[[у < е. Если интеграл [3) существует, то функцию х: [обД] -ь Х называют интегрируемой на отрезке [об )з). ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1.
Доказать, что если каждый из т линейно независимых векторов нвляется линейной комбинацией п линейно независимых векторов, то т < п. а Пусть системы векторов хы ..., х„и уы ..., у,„линейно независимы, и пусть у~ = Лзьхз + . + Лгахп) ь = 1~21 ";пь. ТогДа сРеДи чисел Лы, Льз, ..., Лз „найлетсЯ по кРайней меРе оДно число, отличное от нуля: в противном случае уз — — О и система уы ..., у„ была бы линейно зависима. Перенумеровав, если в этом есть необходимость, векторы хы,.,,х„„всегда можно получить, что Лы у= О. В этом случае вектор хь можно представить в виде линейной комбинации векторов ум ха, ..., ха.
Подставив эту линейную комбинацию в выражение для вектора уа, получим, что вектор уз будет линейной комбинацией векторов уз, хз, ..., х„. Продолжив этот процесс, через Й шагов [быть может, меняя нумерацию) получим, что вектор ул рз будет представлен как линейная комбинация векторов уы ..., уь, тл ы ..., х„„причем среди коэффициентов этой линейной комбинации у векторов хары ..., ха по крайней мере один не равен нулю; в противном случае вектор уьр~ оказался бы линейной комбинацией векторов уы ..., уь, что противоречило бы линейной независимости системы уы " ут.
Если бы за > н, то при й = н получилось бы, что вектор у„р, являлся линейной комбинацией векторов уы ...,у„, что противоречило бы линейной независимости векторов уы ...,у . А П р и м е р 2. Пусть ВТ и[а; Ь), — оо < а < Ь < +со, 1 < р < +оо, .-- множество всех функций х[ь), определенных на отрезке [а; Ь)., для ь которых конечен интеграл Римана / [х[ь)[Р еЬь. а Доказать, что множество ЛТр[а; Ь~ является полунормированным пространством с полунормой ь цхцр —— ( / х[ь)[рйь) [4) и что, если 1 < р < у < +со, то ПГ,а[а; Ь) с, й1,р[а; Ь). [5) Для удобства обозначение [[х[[р применяют и в том случае, когда интеграл, стоящий в правой части равенства [4), равен бесконечности. »Ж Нормированные и нолрнормированные нространства 413 Л Прежде всего, из линейности интеграла и неравенства Минковского [см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
