1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 72
Текст из файла (страница 72)
96. Если 1 < р < д < +со, то множество ХАа~а; Ь) является плотным подпространством пространства ЯЕ [а; Ь) (см. пример 2). 97. Всякое и-мерное нормированное пространство изоморфпо с Яв (см. задачу 60). 98. Пусть Х полунормированное пространство. Элеьзепты х Е 6 Х и у 6 1' называют энвивалентнььии, если ~~х — уу = О. Обозначим через Л множество, элементами которого являются классы эквивалентных элементов пространства Х. Пусть х 6 х Е Х, д 6 у 6 Х, Л вЂ” число.
Определим х+ д как элемент множества Х, содержащий х+ у, а Лх как элемент из Х, содержащий Лх. Положим ))х(( — = ()х)(л. Данные определения корректны, т. е. не зависят от выбора элементов х 6 х, у Е у и множество Х является линейным нормированным пространством с нормой ах(~-. 99. Нормированное пространство Х является метрическим пространством с метрикой р(х; у) = йх — д()л. 100. Привести пример метрического пространства, в котором метрика но порождается нормой. 101. Будет ли в линейном пространстве всех числовых последовательностей метрика задачи 18.14 порождаться какой-либо нормой? В задачах 102-.127 доказать утверзкдения. 102.
Множество в нормированном пространстве ограничено по норме тогда и только тогда, когда оно ограничено как множество метрического пространства в смысле метрики, порожденной этой нормой. 103. Метрики, порожденные двумя нормами линейного пространства, эквивалентны между собой (см. 2 18, п. 1) тогда и только тогда, когда эквивалентны порожденные ими нормы.
104. Норма является непрерывной функцией в смысле метрики, порожденной этой нормой. 105. Если я нормированном пространстве хв — 4 х и у, — ~ у, то 'цх„— у„'ц — ь !)х — у)(, п — > сю. 106. Если в нормированном пространстве х„-4 х, уа — 4 д и в Я Ла — Ь Л, Рн -4 Р, то Лоха+ 4лвдо — > Лх+Рд, п -4 оо. 107. Если по крайней мере одно из множеств Е, и Ез нормированного пространства открытое, то и их алгебраическая сумма Е1 + Ез является открытым множеством. 108. В любом нормированном пространстве существуют два не- Э 10. Нормированные и пвлрнврмирвввнные првстранства 42з пересекающихся открытых множества, которые не содержатся ни в каких непересекающихся замкнутых множествах.
109. Всякое нормированное пространство содержится и плотно в некотором банаховом пространстве (это пространство называют пополнением исходного). 110. Все пополнения данного нормированного пространства (см. задачу 109) изоморфны между собой. 111. Произведение банаховых пространств (см. задачу 80) также является банаховым пространством. 112. Система (х ), о Е 11, элементов полунормировапцого пространства Х полна тогда и только тогда, когда множество конечных линейных комбинаций ее элементов, т.
е. ее линейная оболочка, образует плотное (см. задачу 95) в Х множество. 113. Система (ха), о 6 Б, элементов нормированного пространства полна тогда и только тогда, когда замыкание ее линейной оболочки (в смысле метрики, порожденной нормой) совпадает со всем пространством. 114. Нормированное пространство сепарабельно (в смысле метрики, порожденной нормой) в том и только том случае, когда оно содержит счетную полную систему. 115. Система степеней 1, г, г', ..., г", ... полна в пространстве С[а; Ь] (см, задачу 8).
116. 1) В подпространстве С*[ — я;я] пространства С[ — х;я] (см. задачу 8)., состоянием из таких функций х(~), что х( — я) = х(я), система (1;созх;япх; ...; совах;ашпх; ...) полна, а система (1; сов х; сов 2х; ...; сових: ...) не полна; 2) в подпространстве пространства С[0;я/2] функций, удовлетворяющих условию ((О) = О, система (яп х; яп Зх; ...; яп(2п + 1)х; ...) полна. 117. Имеют место следующие вложения: 1) СЛр[а;д] С, КЕр[а; 6], 1 < р < +со (см. пример 2 и задачу 66); 2) С[а; 6] С, СЕр[а; 6], 1 < р < +ос (см. задачу 8): 3) Си[а; Ь] С, С[а; д], и = О., 1,2, ...
(см. задачу 69). 118. Если система (х ), о 6 11, полна в полунормированном пространстве Х, которое вложено в полунормированное пространство У; и множество Х плотно в пространстве У по полунорме этого пространства, то заданная система полна в пространстве 1.
119. Система степеней 1,г,Гз.....,г",... полна в пространстве СЬр[а;6] (см. задачу 66). Гл. 4. Введение в функциональный анализ 424 120. Система многочленов Лежандра (см. задачу 28) полна в пространствах С[а; Ь) (см. задачу 8) и СЕр[а: Ь), 1 < р < +ос (см. задачу 66).
121. 1) Система (1:,соах;ашх;..бсозпх;зшпх; ...) полна в пространстве ЯЕ [ — я; я], 1 < р < +ос (см. пример 2); 2) система (соа х: соа Зх; ...; соа(2п + 1)х; ...) полна в пространстве ЛТа[0; я/2). 122. Пространства С[а; Ь) (см. задачу 8) и СТр[а; Ь), 1 < р < +со (слз. задачу 66) сепарабельны. 123.
Пусть Х нормированное пространство. Тогда: 1) если х„б К, и = 1, 2, ..., Л число и ряд ~ хп сходится, то п=1 сходится и ряд ~ Лтп, причем ~ ~Лхп = Л ~ х„; п=1 п=1 п=1 2) если х„бХ, у„бХ, п=1,2,..., и ряды ~х„и ~ у„ п=1 п=1 ж сходятся, то сходится и ряд ~ ~(хп + уп), причем ~~~ (хп + уп) = — тп + Х~' уп. п=1 п=1 124. ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ ЭЛЕМЕНТОВ (Е1, ..., .Еп; ...) НОрМИраааННО- го пространства Х называют (счетным) базисам, если, каков бы ни был элемент х 6 Х, существует и притом единственная последовательность чисел Лп, п = 1,2,..., такая, что х = ~п Лпеп.
Если сиса=1 тема элементов образует базис нормированного пространства, то она линейно независима. 125. Если нормированное пространство имеет базис, состоящий из конечного или счетного множества элементов, то это пространство сепарабельно. 126. Система степеней 1,4,1з,...,г",... не является базисом в пространстве С[а:Ь), †< и < Ь < +со (см. задачу 8).
127. Тригонометрическая система 1, созх, япх, ..., созпх, яппх, не явлнется базисом в пространстве С'[ — я, я) (см. задачу 115). В задачах 128-139 доказать сформулированные утверждения. 128. Если Х двумерное линейное пространство векторов х = = (хз,.хз) с полунормой [[х[[ = [х1[, то линейная функция ((х) = хз не является непрерывной на Х.
рЖ Нормированные и нолрнормированние нространства 425 129. Линейнан функция г", ставящая в соответствие каждому многочлену Р 6 Р (см, задачу 6) его значение в точке г = 4, т. е. ?(Р) = Р(4), не является непрерывной функцией на нормированном пространстве Р всех многочленов с нормой ]]Р]] = шах]Р(т)]. (в:ц 130. В конечномерном нормированном пространстве вслкая линейная функция непрерывна относительно нормы.
131. Оператор А(х) = (х~, .х~~: х'; ..4 х„"; ...), х = (хы ..., х„; ...) 6 4 (см. задачу 62), отображает (а в (ш непрерывен в каждой точке и неограничен на любом шаре Г(0; г), г > 1. Будет ли оператор А линейным? 132. Линейный оператор Х вЂ” > У непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен в нуле пространства Х. 133. Линейный оператор Х вЂ” ь У ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен.
134. Если А: Х в У линейный оператор, то ]]А]] „,, ]]А(х)]] еео ]И] 136. Если А: Х вЂ” > У линейный оператор, то ]]4]] = зп 136. Линейный оператор А: Х вЂ” ~ 1' ограничен тогда и только тогда, когда существует такая постоянная с > О, что для всех х 6 Х выполняется неравенство ]]А(х)]]л < с]]х]]и. 137.
Длн линейного оператора А; Х -ь У величина ]]А]] равна нижней грани таких постоянных с > О, что для любого х 6 Х выполняется неравенство ]]А(х)]] < с]]х]]. 138. Линейный оператор Х вЂ” ~ Е ограничен тогда и только тогда, когда он любое ограниченное в Х множество отображает в ограниченное в У множество. 139. Если А; Х у Е -- линейный оператор, то для любого х 6 Х выполняетсл неравенство ]]А(х)]] < ]]А]]]]х]].
140. Являются ли линейными следуюшие функционалы над пространством С(0; 1] (см, задачу 8): 1 1) .4(х) = ~хЯ51пйЖ; 2) А(х) = х(ао), Св 6 ]О;1]; в 1 ! 3) А(х) = ~х(та) с?с; 4) А(х) = ~ад(с) с(с; 5) А(х) = шаих(~)? ~о,ц в о 141. Какие из функционалов в задаче 140 линейны и непрерывны на пространстве С[0; Ц? Вычислить их нормы. Гл. 4. Введение в функциональный анализ 142. Доказать, что оператор .4: С[0., Ц вЂ” з С[0; Ц (см.
задачу 8) ограничен, и найти его норму, если; 1) А(х) = ( х(л) еЬ; 2) А(х) = 1ах(0); 3) А(х) = х(га); о 4) А(х) = ьофх(1), зо(С) 6 С[0, Ц; 1 5) А(х) = / гйпл(1 — в)х(в)сЬ; 6) А(х) = /е' 'х(в)6в. о о 143. Доказать, что оператор А: С'[О; Ц вЂ” ь С[0: Ц (см. задачи 8 и 11) непрерывен, и найти его норму, если: 1) А(х) = х(г); 2) А(х) = х'(1).
144. Доказать, что если узь 6 С[о;6] (см. задачу 8), 1=0.,1,2,.,.,в, то оператор А: С" [а; 6] — > С[а; Ь], А(х) = ~ узл фх~ ~ ф, ь=о ограничен. 145. Для каких о > 0 оператор А: С[О,.Ц вЂ” «С[0; Ц (см, задачу 8), А(~) = х(~ ), линеен и непрерывен? Найти его норму. 146. При каких оыоз, ...,о„, ... оператор А: 1з — з 1а (см. задаЧу 62), А(Х) = (аЗ ХЫ ОЗХа, ..., пата; ...), Х = (ХЗ, ..., Х„; ...) 6 1а, НЕПрЕ- рывен7 Найти его норму.
В задачах 147 — 154 доказать сформулированные утверждения. 147. Ядро ограниченного линейного оператора А: Х вЂ” ~ У является замкнутым подпространством пространства Х. 148. Если Лз линейное пространство, плотное в нормированном пространстве Л', а 1 полное нормированное пространство, то всякий линейный ограниченный оператор Аз. Хз — ~ У можно и притом единственным образом продолжить в непрерывное отображение А: Х вЂ” > К Это отображение А линейно и ][А]].К(х тй ]]'4']] К(х„н) ' 149. Множество ограниченных линейных операторов ел'(Х; У) образует надпространство линейного пространства всех линейных операторов Е(Х; У). 150.
Множество ограниченных линейных операторов 2'(Х; 1 ) является нормированным пространством, н котором функционал (1) являетсл нормой. 151. Если пространства Х и У конечпомсрпы, то .2'(Х; У) = = Е(Х; У). 152. Если У бацахово пространство, то пространство К(Х;У) также банахово. р 70. Нормированные и полунормированные пространства 427 153.
Любое нормированное пространство Х изоморфно с пространством .х'(ге; Х). 154. Композиция линейных ограниченных операторов А и В также является линейным ограниченным оператором и выполняется неравенство !(ВА!! < !!В!!!!.4!!. 155. Привести пример нормированного пространства Х и таких линейных ограниченных операторов А: Л вЂ” ~ Х и В; Х вЂ” ь Л', что АВ ф ВА. В задачах 156.162 доказать сформулированные утверждения. 156. Если А: Х х У 4 Х линейный ограниченный оператор, то существуют и притом единственные такие линейные ограниченные операторы Аь . Х вЂ” ь У и Аа: У 4 Е, что для любого элелеента (т; у) е Х х У имеет место равенство А(л;у) = А7( )+-4 (у). Для норм операторов А, Аь и Аа выполняются неравенства !! 47!! < !!А!!, !!А !! < !!А!!.
157. Если А7 . .Х + У, и .47. .У вЂ” > Я линейные ограниченные операторы, то оператор А(т,: у) =,47(л) + Аз(у) является линейным ограниченным оператором из Х х У в Я, и для его нормы выполняется неравенство !!А(! < !(А1!(+ !)Аз!!.
158. Множество ограниченных билинейных отображений 7': Х х х У -ч л образует надпространство линейного пространства всех билинейных отображений Х х У вЂ” ~ Я. 159. Множество 2'з(Х, У; Я) ограниченных билинейных отображений 1': Х х У вЂ” ь Е является нормированным пространством с !(7!! = 1пЦс: !!~(и,у)(!л < с!(л!!х!!у!(у). 160. Для всякого ограниченного билинейного отображения 7"; Х х х У ь Я и любых л 6 Х, у б У выполнлется неравенство !!У(л у)!!л < !!7 !!!! !!х!!у!!к.
161. Для того чтобы билинейное отображение произведения нормированных пространств было ограничено, необходимо и достаточно, чтобы оно было непрерывным. 162. Если пространство Я банахово, то пространство .2'з(Х, У; Я) ограниченных билинейных отображений также банахово. 163. При фиксированном злементе х Е Х билинейное отображение 7; Х х 1' — ь Я задает линейное отображение 7е: У вЂ” ~ Я по формуле Х*(у) =' Пз;у) Если 7 ограниченное билинейное отображение, то !!7,!! < !!Д!!л!!. Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
