1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 76
Текст из файла (страница 76)
задачу 11); 2) СЦ[Огя] (сы. задачу 36). В задачах 38 — 55 доказать сформулированные утверждения. 38. Имеет место вложение [сн|. 2 19, п. 2) С[а; 6] С, Аз[а; 6] [см. задачу 35). 39. Пространство Ли[а; 6] [см. задачу 35) сепарабельное. ь 40. Если 1пп / [х® — ха[1)]2 дй = О, то последовательность функций (х„[4)) называют сходящейся в смысле среднего квадратичного на отрезке.
[а; Ь] к функции х[г). Функция х[4) = 1/ьЛ не является пределом в смысле среднего квадратичного на отрезке [О;1] последовательности непрерывных функций. 4 г0. Галълвртовы пространства 442 41. Пространство 12 (см. задачу 15) гильбертово. 42. Если система (х ), о б 11, элементов линейного пространства с почти скалярным произведением ортогональпа и [[х [[ ф 0 для всех св Е 12, то она линейно независима.
43. Если элементы 21,хз,... и уг,ув,... линейного пространства с почти скалярным произведением таковы, что ][ 1 при 2 [ О при вы=у (такие системы называют биортогональными), то каждая из этих систем линейно независима. 44. Для того чтобы система элементов х1,хьч,.,,хп линейного пространства со скалярным произведением была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Грача (Х1, Х1) (Х1, Х ) ...
(Х1, Хп) (х2;х1) (х2 .12) " (х2 хп) ~(Х1~Х2~" >Хп) = (Хп~ Х1) (Хп~ Х2) " (Хп Хп) равнялся нулю. 45. Если (е„), о Е ТУ, — — ортонормированная система в линейноьл пространстве со скалярным произведениеьл, то для любых сг Е Ю и ,3 Е 11, сг ф 8, имеет место равенство [[е — с11[[ = у'2. 46. Если линейное пространство со скалярным произведением сепарабельпо, то всякая его ортопормированпая система не более чем счетная. 47.
Тригонометрическая система функций 1, сов1, вгп1, ..., совп1, гйп 111, ... ортогональна в пространстве 52[ — л;л] (см. задачу 35), и соответствующая ортонормированная система имеет вид 1 сов с в1п1 сов п1 в|п пг зг2~г згл ъЯ ' згл ' ул 48. 51ногочлены Лежандра Р (2), и = О, 1,2, ...
(см, задачу 28 из 219) являются ортогональной системой в пространстве Ьг[ — 1; 1] (см. задачу 35). 49. Для любого отрезка [а; Ь], многочлецы Лежандра Р„Я, и = = О, 1,2, .. (см. задачу 28 из 2 19) образуют полную систему в пространстве Ь2[а; 5] (см. задачу 35). 50. Система функций (евп'), и = О, т1, т2, ..., образует полную ортогональную систему в пространстве комплекснозначных непрерывных на отрезке [ — л; л] функций со скалярным произведением (см. задачу 13) (х, 9) = / х(1)9(1) 111. — л Гл. 4.
Введение в фуннниональньзи" анализ 444 51. Последовательность функций яп(2п — 1)1/2, и = 1, 2, ..., образует ортогональную систему в пространстне Ез(О; я] (см. задачу 35). 52. Функции яп1, выл 31, яп51, яп71, яп91 линейно независимы. 53. Если хы хг, ..., ха - - ортогональная система в линейном пространстве со скалярным произведением и х = хз + хз + ... + ха, а то !)хй = ~ Охь(! . ь=з 54. Если хы ха, ..., ха, ...
ортогональная система в гильбертовом пространстве, то ряд ~ х„, сходится в этом пространстве тогда и и=! только тогда, когда сходится числовой ряд ~ ~~х„'й . 55. Если х„, и = 1,2,..., линейно независимая система элементов линейного пространства Х со скалярным произведением, то существует такая ортогональная система элементов д„, у„ .е О, п = = 1,2,..., этого пространства, что уа = жгзхз + оагхз +" ь опахп езпп з-- О (здесь о„ь действительные числа, если рассматриваемое линейное пространство действительное, и комплексные, если оно комплексное).
ПостРоение системы (ВЕ ...,9„; ...) по системе (хм ..Охи; ...) называется оргаогонализацией последней. 56. Провести ортогонализацию системы функций хв(1) = 1, хз(1) =1, ха(1) = 1'-', хз(1) =1 в пространстве: 1) Тз( — 1; Ц; 2) Ьз(О; Ц (см. задачу 35). В задачах 57 — 74 доказать сформулированные утверждения. 57. Если в условиях задачи 55 (ез, ,г„,...) -.
ортогональная система и ги =,Зазхз + ... + даахп., то Уп и за отличаютсл ДРУГ от ДРУга скалярным множителем: г„= Л„ра, п = 1, 2, ... 58. В результате ортогонализации (см. задачу 55) системы степеней 1,1,1-', ..., гз, ... в пространстве Ез[ — 1; Ц (см. задачу 35) получатся многочлены, которые лишь числовыми множителями могут отличаться от многочленов Лежандра (см.
задачу 28 из ~ 19). 59. Пусть еь, й = 1,2,...,п, конечная ортогональная система элементов линейного пространства Х со скалярным произведением и 2а(ез, ..,.еа) линейная оболочка этих элементов. Тогда элемент наилучшего приближенин элемента х Е Х в подпространстве .2а(ез, ...,.е„) имеет вид та = ~аьеь, где аь коэффициенты ь=з р Ла. Гплъбвртовы пространства Фурье элемента х по системе (еь), й = 1, 2, ..., и. При этом п з п (х — ~арен( = )(х(! — ~аь)(еь(! . п 60. Элемент хо — — ~сг е, явлнется элементом наилучшего прио=1 ближенин элемента х Е Х в подпространстве,х."(еш ..., е„) Е Х тогда и только тогда, когда элемент х — хо ортогонален ко всем элементам из .К(еы ..., еп), что записывается в виде х — хо 1..2'(ем ..., еп).
(Обобщение этой задачи на случай бесконечного множества 1еп) см. в задаче 91.) 61. Если е„С, Л, и = 1,2, ...,х Е Х и Е„(х) наилучшее приближение элемента х к пространству К(ем ел, ...,е„), то Ь„.ьг(х) < < а'„(х). 62. Если е„ Е Х, е„ ~ О, и = 1,2,..., ортогональная система в линейном пространстве со скалярным произведением Л, то частичные суммы в„= ~ аьеь ряда Фурье элемента х являются элемень=1 тами его наилучшего приближении в пространстве .К(еы ез, ..., е„). 63. Если в„- частичные суммы рада Фурье элемента х линейного пространства со скалярным произведением Х по ортогональной системе е„ Е Х, е„ р': О, и = 1,2,..., то числовая последовательность 1)(х — е )!) убывает. 64. Для коэффициентов Фурье а„элемента х линейного пространства со скалярным произведением Х по ортогональной системе е„ Е Х, еп ~ О, и = 1,2,..., выполняется неравенство ~.-а„1~с.~! < !И!з (неравенство Бессели).
65. Если существует такая постоянная с > О, что длл всех элементов ортогональной системы е„, и = 1,2,..., линейного пространства со скалярным произведением Х выполннются неравенства йе„'д > с. (в частности, если эта система ортонормированная), то коэффициенты Фурье каждого элемента х Е Х по данной системе стремятся к нулю при и — > оо. 66. Если пространство Х гильбертово, то ряд Фурье ~~ а„е„ п=г каждого элемента х Е Х по любой ортогональной системе е„ Е Х, е„ р':О, и = 1,2,..., сходится в пространстве Х. Если хо = ~ а„е„ п=1 сумма этого ряда, то элемент х — хо ортогонален ко всем элементам Гл. 4.
Введение в функциональный анализ системы (ез, ..., еп; ...). 67. Ряд Фурье элемента х линейного пространства со скалярным произведением Х по ортогональной системе еп 6 Х, е„ф О, п = = 1, 2, ..., сходится к этому элементу тогда и только тогда, когда выполняется равенстно се ((хй = ~ а„йе„(! п=1 (10) (равенства Парсеваля), где ап коэффициенты Фурье элемента х по системе (ем ..., еп; ...). 68. Рнд Фурье по ортогональной системе каждого элемента линейного пространства со скалнрным произведением сходится к самому этому элементу тогда и только тогда, когда данная ортогональная система является полной. В задачах 76-86 доказать сформулированные утверждения.
76. Элементы еп = (хз;...;х;...), хп = 1, х = 0 при (пз Ойз (пз (пз 69. Для того чтобы ортогональная система была полной в линейном пространстве со скалярным произведением, необходимо и достаточно, чтобы для любого элемента пространства выполнялось относительно этой системы равенство Парсеваля (10).
70. Если ортогональная система полная в линейном пространстве со скалярным произведением, .то элемент пространства, у которого все коэффициенты Фурье по этой системе равны нулю, сам равен нулю. 71. Из равенства всех коэффициентов Фурье у двух элементов линейного пространства со скалярным произведением по полной ортогональной системе следует равенство этих элементов. 72.
Если в линейном пространстве со скалярным произведением Х для элемента х Е Х существует его представление в виде х = ~ Л„еп, где сп с Х, еп ~ О, и, = 1,2,..., ортогональная систеп=з ма, то зто представление единственно и коэффициенты Лп являются коэффициентами Фурье элемента х по системе (еы ..., .е„; ...). 73. Всякая полная ортогональная система еп Е Х, еп ф О, п = = 1,2,..., является базисом в линейном пространстве со скалярным произведением. 74. В гильбертовом пространстве Х ортогональная система еп Е Е Х, еп ф О, п = 1,2,..., является полной тогда и только тогда, когда она замкнутая. 75.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
