1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Заметив, что Е(1) = дмс2к (см. пример 4), в силу второй формулы Г(х) = Г(х 1) =1ГМ(1) =увал Б'. А ЗАДАЧИ В задачах 1-13 доказать утверькдения. 1. Метрическое пространство является хаусдорфовым топологическим пространством, если под его топологией понимать совокупность всех его открытых множеств, определяемых с помощью метрики.
456 Гл. 4. Введение в функциональный анализ 2. Если Р - база топологии 1) топологического пространства Х и зз с злз с 11, та злз также является базой топологии этого пространства. 3. Если Х вЂ . топологическое пространство с топологией 11 = 1С) и Е с Х, то множество Е является тапологическим пространством с топологией 1)я = 1С П Е), С й РЕ Топологию йя называют тополоеией, индуцированнай топологией й пространства Х на его подмножестве Е. 4. В метрическом пространстве базой его топологии (сьь задачу 1) является совокупность всевозможных в-окрестностей всех его точек. 5. В метрическом пространстве базой его топологии (см.
задачу 1) является совокупность всевозможных е-окрестностей всех его точек, где г — рациональное число. 6. В сепарабельном метрическом пространстве существует счетная база его топологии (см. задачу 1). 7. Для любой точки метрического пространства ее локальную базу топологии образуют все в-окрестности этой точки, где г = Цзь, п=1,2,... 8. Объединение локальных баз топологии всех точек топологического пространства образует базу топологии этого пространства.
9. Объединение двух топологий одного и того зке мнозкества может не быть его топологией. 10. Объединение конечной совокупности и пересечение любой совокупности замкнутых множеств является замкнутым множестном. 11. Замыкание любого множества в тополагическом пространстве является замкнутым множеством. 12. Замыкание любого множества в топологическом пространстве содержится в каждом замкнутом множестве, содержащем данное множество, т.
е. замыкание множества является минимальным содержащим его замкнутым множеством. 13. В хаусдорфовом топологическом пространстве каждая точка является замкнутым множеством. 14. Привести пример неотделимого топологического пространства, в котором каждая точка является замкнутым множествам. 15. Доказать, что если Х бесконечное множество и топология на Х состоит иэ дополнений ьо ноем конечным подмножествам множества Х, то любое бесконечное множество плотно в Х, 16. Доказать, что в хаусдорфовом топологическом пространстве последовательность точек может иметь только один предел.
17. Пусть Х "- множество всех функций л; ~0; Ц вЂ” в В. Окрестности точки ло Е Х определим следующим образом; зададим про- уст. Топологические пространства. Обобщенные функции 457 извольно е > 0 и выберем какое-либо конечное множество точек 1ь Е [О: Ц, 74 = 1,2,...,п. Окрестность 17[хо,е;ул,1з,,1ь) точки хо определим как совокупность всех таких функций х Е Х, что для всех й = 1,2,...,п, выполняется неравенство [х[уь) — хо[1ь)[ < " Получившееся топологическое пространство обозначиьл ЛХ[0: Ц. Доказать, что для того чтобы в этом пространстве 1пп х„ = х, необхои-э ос димо и достаточно, чтобы для каждой точки 1 Е [О; Ц имело бы место 1ллп хи [т) = хе [г) [иначе говоря, сходимость последовательности функций в построенном пространстве ЛХ[0:, Ц означает поточечную сходимость этой последовательности).
18. Доказать, что если Х топологическое пространство, Е с Х, х„Е Е, и = 1,2, ..., и хо = 1лш х„, то то Е Е. и — лес 19. Привести пример топологического пространства, его подмножества Е и точки хо Е Е, для которых не существует такой последовательности х„Е Е, и = 1,2, ..., что 1цп х„= хо. и — лес 20.
Доказать, что в топологическом пространстве ЛХ[0; Ц [см. задачу 17) плотно множество непрерывных функций х; [О; Ц -э 17. 21. Доказать, что в топологическом пространстве ЛХ[0; Ц [сьл. задачу 17) це всякая функция из этого пространства является в нем пределом последовательности непрерывных функций. 22. Описать все сходящиеся последовательности топологического пространства, точками которого являются действительные числа, а база топологии состоит из следующих множеств: 1) всех одноточечных множеств (дискретная топология); 2) всех интервалов; 3) всех полуиитсрвалов, открытых слева; 4) всех открытых полупрямых [1:+ос); 5) всех замкнутых полупрямых [й+оо); 6) всех полуинтервалов вида [и:и -~- 1), п Е х.
23. Доказать, что пересечение любой конечной совокупности множеств, принадлежащих некоторому фильтру, не пусто. Проверить, что множества, перечисленные в задачах 24-27, образуют фильтры. 24. е-окрестности [ха — в;хо+ в) па числовой прямой К заданной точки хо Е Й. 25. Проколотые в-окрестллости [хо — щ хо) со (хо, хо + е) на числовой прямой заданной точки хо Е Й. 458 Гл. 4. Введение е функциональный анализ 26. Интервалы вида (1; В), Д ) 1. 27. Подмножества А„= (и + 1; и + 2; ...) множества натуральных чисел И (этот фильтр называют натуральным фильтром и обозначают Гн). Проверить, что мнозкества, перечисленные в задачах 28-30, образуют полные фильтры (Х вЂ” заданное множество).
28. ф = (.4/ ш Е А с Х), где л --. фиксированный элемент множества Х, 29. ф = (В / Л с В с Х), где Л "-. фиксированное подмножество мнозкества Х. 30. Дополнения в множестве натуральных чисел И до всевозможных конечных подмножеств (этот фильтр называют фильтром Фреше и обозначают 7н). В задачах 31-.44 доказать сформулированные утверждения.
31. Фильтры в задачах 24-27 не являются полными. 32. Локальная база топологии любой точки топологического пространства является фильтром. 33. Если Х топологическос пространство, т его предельная а точка, '0(ш) . — локальная база топологии в этой точке, а Р(зз)-- о о множество всех проколотых окрестностей 17(ш) этой базы: ьь(з) = о = С(ш) ~ь (к), то Р(х) образует фильтр. 34. Фильтры в задачах 27 и 30 эквивалентны. 35. Если '0(к) локальная база топологии точки ш метрического пространства, состоящая из всех ее в-окрестностей, а Ро(х) ее лОкальная база топологии, состоящая тОлькО из е-Окрестностей радиуса в = Цп, и = 1,2,..., то фильтры Р(х) и РО(ш) эквивалентны, причем фильтр Х>о(а) является базой фильтра Р(з).
36. Натуральный фильтр гн (см. задачу 27) явлнется базой фильтра Фреше (см. задачу 30). 37. Всякий фильтр является базой некоторого полного фильтра. 38. Если Гз фильтР на множестве Хы Гз фильтР на множестве Хз и ф = (С = А х В ~ А е гы В е фз), то ф нвляется фильтром на произведении Хз х Хз множеств Хз и Хз. (Фильтр ф называют произведением фильтров Гы дь и пишут Г" = Г, х Гз.) 39. Если Х = И . множество натуральных чисел с дискретной топологией (каждая точка является открытым множеством), то натуральный фильтр Гк (см.
задачу 27) не имеет предела в И. 40. ЕслиХ = И Ьд (+ос) и локальная база топологии Р(+ос) состоит из всевозможных множеств Л„, введенных в задаче 27, а ло- у Р и Топологии вские пространства. Обобщенные функции 459 кальная база с(п), и, Е И, состоит из одной точки п, то натуральный фильтр Гн имеет предел: 1пп Ен = +ею.
41. Для того чтобы любой фильтр топологического пространства имел не более одного предела, необходимо и достаточно, чтобы пространство было хаусдорфовым. 42. Для того чтобы точка х топологического пространства являлась пределом некоторого фильтра зтого пространства, необходимо, чтобы зта точка являлась пределом каждой базы фильтра, и достаточно, чтобы она являлась пределом по крайней мере одной его базы. 43.
Если Х = И, У вЂ .- топологическое пространство, Гн -- натуральный фильтр (см. задачу 27), то предел !нп Т"(и) отображения рн 7(п) = уп Е !' совпадает с пределом последовательности (ум ,у„;...) в пространстве У 44. Если Х = И х И, У --. топологическое пространство, Ян-- натуральный фильтр (см. задачу 27), Т" = Ен х Ен (см, задачу 38), И х И вЂ” ~ 1; Т(ю;и) = до„, то предел 1шзуЯ(т:и) совпадает с пределом двойной последовательности 1нп ут„в пространстве К 1тлб — >ж 45. Построить множество Х, отображение Т": Х вЂ” ~ 17 и фильтр Т" на множестве Х так, чтобы предел интегральных сумм Римана функции ср: К вЂ” г Й на заданном измеримом по Жордану множестве Е С Й" (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
