1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Привести пример замкнутой системы в некотором линейном пространстве со скалнрным произведением, которая це является полной. Существуют ли полные системы, не нвляющиеся замкнутыми'? 220. Гнлълертови пространства 447 ьч ~ п, и = 1,2, ..., образуют ортонормированный базис в пространстве 1з (см задачу 15).
77. Многочлены Лежандра (см. задачу 28 из З 19) образуют ортогональный базис в пространстве 1 [ — 1:1[ (см. задачу 35). 78. Тригонометрическая система 1, соа1, ефп4, ..., соап1, згпп1, ... образует ортогональный базис в пространстве Т,з[ — я:я[ (см. задачу 35). 1 Г 2пгп(4 — а) З 79. Функции ехр 4 ' 7, в = О, 1, 2, ..., образуют уЬ а Ь-а ортонормированный базис в пространстве, являющемся пополнением (см. задачу 3Ц пространства непрерывных на отрезке [а, Ь[ комплекснозначных функций со скалярным произведением (9). 80.
Функции ° 7г27гязгггггт, и = 1,2, ..., образуют ортонормированный базис в пространстве Аз[0;я[, а в пространстве Лз[ — я;я[ (см. задачу 35) являются ортогональной системой, но не базисом. 2юй,à — а) 2пгг(à — а) 81. Функции 1, згп, соз, я = 1, 2, ..., ортого- Ь вЂ” а Ь вЂ” а нальны в пространстве СЕ![а; Ь[ (см. задачу 36). 82. Каждан функция х 6 ЛЛа[ — я; я] (см. задачу 10) раскладывается в ряд Фурье по тригонометрической системе функций сходящийся в смысле среднего квадратичного (см. задачу 40): х(4) = — + ~(авсо, и+Ьвз! 1), 2 п=! причем имеет место равенство Парсеваля Оо — [[х[[ = — + ~(а + Ь„). п.=! 83. Если у функции х Е ВТ,з[ — я; я[ (см.
задачу 10) все ее коэффициенты Фурье по тригонометрической системе равны нулю, то она эквивалентна нулю (см. задачу 88 из 219). 84. Во всяком сепарабельном линейном пространстве со скалярным произведением существует ортонормированный базис. 85. Пространство 12 (см. задачу 15) сепарабельно. 86.
Все сепарабельные бесконечномерные пространства изоморфны между собой. В дальнейшем в этом параграфе под пространством всегда понилзается линейное пространство со скалярным произведением. В задачах 87-97 доказать сформулированные утверждения. 87. Если надпространство л пространства Х является ортогональным дополнением надпространства У того же пространства, то 448 Гл.
4. Введение в функциональный анализ и У является ортогональным дополнением надпространства Х. 88. Если множества У и л нвляются замкнутыми подпространствами пространства Х, то и их сумма [схл. 8 19, и. 1), У + Х является замкнутым подпространствам пространства Л. 89. Для того чтобы надпространство У пространства Х было плотно в этом пространстве, необходимо и достаточно, чтобы из условия х л У [т.
е, [х, у) = 0 для всех у е У) следовала, что х = О. 90. Если У замкнутое надпространство гильбертова пространства Х и хо й Х, то сугдествует единственный элемент уо б У такой, что [[хо — уо[[ = 1[[хо — у[[ уЕУ [элемент уо называют ортогональной проекцией элемента хо в пространство У). 91. Для того чтобы элемент уо был ортогональной проекцией элемента хо гильбертова пространства Л в его замкнутое надпространство 1' [см. задачу 90), необходимо и достаточно, чтобы для всех у 6 1 выполнялось условие [хо — уо,у) = О. 92. Если У~ — ортогональное дополнение замкнутого подпространства У гильбертова пространства Л, то Х = У рад У~, причелз, если хо = уо+ зо е Х, уо и У, зо й У-, то зп1 [[хо — у[[ = [[х — ее[[ = [[уо[[.
уЕУ 93. Для того чтооы элемент х пространства Х был ортогонален надпространству У С Х, необходимо и достаточно, чтобы для любого элемента у Е У выполнялось неравенство [[х[[ < [[х — у[[. 94. Для любого подмножества Е пространства Х множество Е~ является замкнутым подпространством Х. 95. Если Е подмножество пространства Х со скалярнызн произведением, то имеет место включение Е с [Ез.)и.
Воззножцо ли здесь строгое вклзачение? 96. Для подмножества Е пространства Х равенство [Е~)~ = Е выполняется тогда и только тогда, когда подмножество Е является замкнутым подпространством пространства Х. 97. Если Ез С Ео С Х, то Еь~ З Ез-'. 98. Если Х гильбертово пространство и Х = Убзг,, то следует ли отсюда, что л = У~? А в случае конечномерного пространства? В задачах 99 — 105 доказать сформулированные утверждения.
99. Если У = 1х Е СЕз[ — 1; Ц [ х(т) = 0 для всех 1 Е [О; Ц) [см. задачу 14), то У надпространство пространства САз[ — 1; Ц. Описать пространство У-'. Ьудет ли справедливо разложение СЕз[ — 1; Ц = 9 вО. Гплъбвртовы пространства 449 =УЕУ42 100.
Ъ|ножество У = )х(1) 6 СЦ[а:5[ /д.(т)с1т = 0) является а подпространством пространства СЛ,'[а; Ь[ (см. задачу 36). Найти У'-. 101. Если У = (х = (х„) Е 79! х = (хыО;хз',О;хд,'О; ...), Я = [х = (и„) 6 ~з! х = (хд, .хм ха, .хз/3; хв; хд/о; ...), то У+ 2' = 19, но У+ Я р'= 19, и поэтому У + Я не является замкну- тым подпространством пространстна 19. 102. Для всякого линейного ограниченного функционала 1 дейст- вительного (комплексного) гильбертова пространства Х существует и притом единственный элемент а 6 Х такой, что для всех т 6 Х выполняется равенство у" (х) = (х,а), пРичем )[Д = ~~4. 103. Если А - линейный ограниченный оператор в линейном пространстве Х со скалярным произведением, то [)А)[ = впр дех И!Щ~ пало.рФо 104.
Если А --- линейный ограниченный оператор в линейном пространстве Х со скалярным произведением, то функция 1(х,у) = = (Ах,р) является билинейным функционалом и ~~Д = 'РА~~. 105. Для всякого ограниченного билинейного функционала 1 в гильбертовом пространстве Х существует единственный линейный ограниченный оператор А такой, что Г" (х;у) = (Ах, 9) для всех х 6 Х, РАЯХ.
ОТВЕТЫ 19. л/2, л/3, л/6. 36. 1) Да; 2) нет. зсъ) ~ = '6Ь; 2) ~ =~,зд ъъ). 56. 1) уо(1) = 1, рд(т) = Г, рз(Г) = 31~ — 1, рз(4) = 51з — Зй 2) ро(1) = 1, рн(т) = 2ъ — 1, рд(1) = 65 — 61+ 1, дз(т) = 20ъ~— — 3019 + 121 — 1. 75. Нет. 95. Да (например, когда Е плотное в Х множество). 98. Нет, нет. 99.
У~ = (х(ъ)~х(4) = О для всех 4 Е [ — 1; О[), пет. 100. У~ состоит из одномерного надпространства всех постоянных функций. 29 Под род. Л.д.кудрввнева, т.З Гл. 4. Введение в функциональный анализ 450 2 21. Топологические пространства. Обобщенные функции СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Топологичоские пространства.
Множество Х называют топологическим пространством, если в нем задана система Й = 11з) его подмножеств, удовлетворяющаи следующим условиям: 1) пересечение любой конечной совокупности множеств системы Й принадлежит этой системе; 2) объединение любой совокупности множеств системы Й принадлежит этой системе; 3) ХЕЙ, юЕЙ. Систему Й называют топологией топологического просгпранства Х, а множества системы Й его открьатыми множествами. Для каждой точки х Е Х всякое содержащее ее множество С Е Й называют ее окрестностью. Если у любых двух точек топологического пространства существуют непересекающиеся окрестности, то пространство называют хаусдорфовым или атделимььм.
Множества, дополпительныо к открытым, называют замкнутыльи. Всякую подсистему Ю системы Й открытых множеств топологического пространства называют его базой топологии, если любое открытое множество пространства явллется объединением некоторой совокупности мнозкеств из зз. Систему зз(х) окрестностей точки х топологического пространства Х называют локальной базой топологии в этой точке, если, какова бы ни была окрестность 1г точки х в пространстве Х, существует такая окрестность сз Е 'ез(х), что Сь С 1з.
Точку х Е Х называют точкой прикосновения множества Е С Х, если любаи окрестность точки х содержит точки множества Е. Точку х Е Х называют предельной точкой множества Е с Х, если любая окрестность точки х содержит по крайней мере одну точку множества Е, отличную от х. Совокупность всех точек прикосновения множества Е С Х называют его замыканием Е.
Множество Е называют плотным в пространстве Х, если Е = Х. Последовательность точек х„Е Х (и = 1,2, ...) называют сходящейся в пространстве Х, если существует такая точка х Е Х, что для каждой ее окрестности 1з'1х) существует такой номер по, что для всех номеров и > по выполняется включение х Е 1з'(х). В этом случае точку х называют пределом последовательности (зп, ...,.х; ...) и пишут 1пп ха = х.
В следующем пункте будет дано обобщение понятия п- ое предела последовательности точек топологического пространства. УУД Топологичесние пространства. Обобщенные функции 45! 2. Фильтры. Предел по фильтру. Пусть задано множество Х; через В = В(Х) будем всегда обозначать множество всех его подмножеств. Если Х непустое множество, то множество ф С В(Х) называют фильтром или, подробнее, фильтром на мнозкестве Х, если: 1) для любых А' Е Т" и А" Е Т" существует такое А Е Т', что А С С А'ПА"; 2) Яу~, з.ри.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
