1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Фильтр Т1 — — (А) на множестве Х называют фильтром, который сильнее фильтра Тз — — (В) на том же мно1кестне Л, если для лнзбого множества В Е Тз существует такое А б Т1, что А С В. Если фильтр ф1 сильнее фильтра Тз, а фильтр фз сильнее ф1, то фильтры Т1 и фз называют эквивалентными.
Фильтр ф1 называют подфильтром фильтра Тз, если каждый элемент фильтра ф1 является и элементом фильтра Тз, т. с. если Т1 С Тз. Каждый подфильтр фильтра, эквивалентный самому фильтру, называют его базой. Фильтр Т" на множестне Л называют полным, если из условий А е с ф и А С В С Х следует, что В с з. Если Х и У -- некоторые множества, г": Х вЂ” ь У . отображение Х н У и Т" = (А) - фильтр на множестве Л, то совокупность всех образов Г" (А) множеств А Е Т' ннляется фильтром на множестве У и обозначается Т" (Т"). Фильтр Г"(Т) называют образом фильтра Т" при отображении Г'. Если Л -- топологическое пространстно, х, е Х и ф . — фильтр на Х., то точку х называют пределом фильтра ф или его предельной точкой, если фильтр Т сильнее фильтра '0(х), являющегося локальной базой топологии в этой точке.
Если точка х янляется пределом фильтра Т", то пишут х = 1пп Т". Если 1: Х ь У отображение некоторого множества Х в топо- логическое пространство У и Т вЂ” фильтр на Х, то точку Ь е У называют пределом отображения Т" по фильтру Т" и пишут !!те Г(х) = Ь, если фильтр 1(Т) имеет своим пределом и пространстве У точку Ь: Ь = 1!иле ((х) =!нп 1(Т).
Если Х и У топологические пространства, Г": Х 4 г; хо Е Е Х и Р такой фильтр на Х, что 11ш Т" = хо, то предел 1!п1е Д(х) называют пределом отображения по фильтру )' в точке хв. В этом случае вместо 1!п1у Г(х) пишут также 1пп Т" (х). н — ель е Фильтр и метрическом пространстве называют фильтром Лосин, если он содержит сколь угодно малые по диаметру множества. 3. Обобщенные функции. Пространством основных функций Р называют множество всех бесконечно дифференцируемых финитных 29* Гл. д. Введение в функциональный анализ 452 функций р; П вЂ” ь С со следующим определением сходимости последовательностей: последовательность цза е Р называют сходящейся к функции цз е Р, если существует такой отрезок [а; 6], что зцрр ао„с С [а;6], а = 1,2,..., впррьр С [а;д] и на этом отрезке последовательность функций ьо„ и последовательности всех их производных ьр„, 1ь1 и = 1,2,..., равномерно сходятся соответственно к функции р и к ее производным цоььь, 14 = 1, 2, ...
В этом случае пишут 1нп р„= ьр в Р. и — ьои Функции, задаьшые на пространстве основных функций, называют обычно функционалами и вместо Х(цз) пишут (Х, ьр). Функционал Х; Р— ь В называют линейнььль, если для любых ьр е Е Р, ф Е Р и любых Л, р Е С выполняется условие (Х, Ау+ 144Я = Л(Х.,ьр) + р(Х,фз). Функционал Х: Р— ь С называют непрерывным, если из условия 1ьт ьр„= ьр в Р следует, что 1шь (Х,ьра) = (Х,ьр). п — ее и — зы Всякий линейный непрерывный функционал Х, заданный на пространстве основных функций Р. называют обобщенной функцией (на Р), и их совокупность обозначают ХУ'. Функцию Х: П вЂ” ь С называют локально интегрируемой, если она абсолютно интегрируема на любом конечном отрезке.
Обобьценную функцию У ~р) = / У(х)р(х)« называют обобщенной функцией, порожденной локально интегрируемой функцией Х: П вЂ” ь Я. Другим примером обобщенной функции является д-функция д(х) (б, цз) = ьр(0),,р Е Р. Сдвинутой б-функцией д(х — хо) называют обобщенную функцию, ставящую в соответствие каждой основной функции д число у(хо). Можно показать, что б-функция не порождается никакой локально интегрируемой функцией. Последовательность обобщенных функций Х„ Е Р', а = 1,2,..., называют сходящейся к обобщенной функции Х Е Р', если для любой функции цо е Р выполняется условие а11 (У.
р) = У:'р). Производной обобщенной функции Х называют функционал на Р, обозначаемый Хи и определяемый равенством (Х', 1о) = — (Х, ьр'), ьо Е Р. (2) Производные порядка а = 2, 3, ... определяют по формуле у1зй (лье — 11)ь В Р и Топологичвскив пространства. Обобщенные функции 453 Из этих определений следует, что ()ЦЩ о) ( 1)пу ср1п1) й в Р ~1о1 Т" и Для любой обобщенной функции из Р' любая ее производная также обобщенная функция из Р'. Таким образом, обобщенные функции имеют производные любого порядка. 4. Преобразование Фурье обобщенных функций. Пусть Я линейное пространство всех бесконечно дифференцируемых на всей числовой оси й функций д: й -4 С, которые вместе со всеми своими производными стремятся к нулю при х -+ хоо быстрее любой степени 1/х, т. е.
таких функций со, что при любых а,т = О, 1,2, ... имеет место равенство Последовательность ссь Е Я, й = 1, '2, ..., называют сходящейся в Я к функции ус Е Я, если для всех п, т = О, 1,2, ... каждая последовательность х"ус„т (х)., й = 1,2,..п равномерно на всей оси сходится к функции хпусс 1(х). В этом случае пишут 1нп ссь = со в Я.
Пространство Я обладает тем свойством, что преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье отображают Я на себя. Непрерывность функционала Т: Я вЂ” ь С означает, что из того, что 1пп соп = Ус в Я, следУет, что и 1цп (Т', Усп) = (Т', со). и — ьос и-ь ос Линейный непрерывный функционал, определенный на пространстве Я, называют обобщенной функцией лсвдлвнного роста, а множество всех таких функционалон пространстволс обобщенных функций медленного роста и обозначают Я'.
Примером обобщенной функции медленного роста является б-функция б(х), определяемая равенством (б, ус) = ус(О), со Е 5. Как и в случае обобщенных функций Т" Е Р' для обобшенных функций г Е У, произноднаи Тспб порядка н функции Т определяется равенством ф'о, ~р) = ( — ц" (Т', р1Щ), д Е 5. Преобразованием Фурье обобщенной функции г" Е Я' называют функционал Е(Т), определяемый формулой (Р(Д,~р) = (1., р(~р)), ьо Е Я. Преобразование Фурье г(Т") функции Г' (основной или обобщенной) обозначают также и символом ГС Обратное преобразование Фурье г 4 обобщенных функций 1" Е У определяют формулой (Г '®,Т) = У Р' '(Р)). Пусть ф = й — > С такая бесконечно дифференцируемая функция, что для любой ее производной ууш, и = О, 1,2, ..., сушествуют такие постоянные Сп и С„', что для всех х Е гс выполняется нера- Гл.
4. Введение в функциональный анализ яенство ]фрб(Х)] < Г а (1 + И)И. (3) Если 1 Е В', а функция зр удовлетворнет условию (3), то произведение уз1 определяют формулой (1ЬУ,у) =(у,фь) (если уз Е 5, то узуз Е 5). Для преобразования Фурье производной и производной преобразования Фурье обобщенных функций медленного роста имеют место формулы В'(УЬа)) — ( ) В'У) Вбз) = ( — ь)зьр(кзь)-') (4) ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1. Доказать, что если Х и У некоторые множества, Г: Х вЂ” ~ У -- отображение Х в У и Г = (.4) -- фильтр на множестве Х, то совокупность всех образов 1(А) множеств А фильтра Г является фильтром на множестве 1'. я Обозначим 1(Г) множество всех мнозкеств вида Г(.4), где А Е е Г".
Пусть Вз е 1(Г) и Вз е г"(Г). Тогда существуют такие Аз е Г" и Аа Е з', что Вз = з (Аь), Вз = т" (Аа). Из определения фильтра следует, что существует такое А Е З", что А С Аь Г1 Аа, а тогда т"(А) С т"(Аь Г1 Г1 Аа) С Г(Аь) Г1 Г(Аа) = Вз О Вз и В = З"(.4) Е ф®. Таким образом, первое условие определения фильтра выполнено.
Далее, если В Е Г(у), т. с. В = 1(А), А Е д, и поскольку А ~ И, то и В ф И. Наконец, из того, что Г ф И, следует, что 1(Г) ф И. я Пример 2. Доказать, что если 1 локально интегрируемая функция, то функционал (1) нвляется обобщенной функцией на Р. я Прежде всего, определение (1) имеет смысл для любой функции ьо Е Р: осли ьз Е Р, то существует отрезок [а: Ь] З зпрр ьо, причем функция уз, будучи непрерывной, ограничена на [а;Ь], т.
е. существует такая постоянная с ) О, что для всех т Е [а;Ь] выполняется неравенство ]Г'(л)[ < с. Поэтому на [а.,Ь] верно неравенство ]Г(л)зз(а)] < с]1(в)], а значит /]З(х)уз(х)]е!к сходится Нне [о; Ь] имеа Ьао ь см [.((в)зз(в)] = О, поэтому / ф(к)ьо(х) е1в совпадает с / ]((л)] еЬт а Следовательно, он абсолютно, а потому и просто сходится. Линейность функционала (Ц следует из линейности интеграла. Докажем непрерывность этого функционала.
Пусть !нп ьо„ = Ьо в Р. Тогда и — заа существует такой отрезок [а; Ь], что для всех я = 1, 2, ... имеют место включения зцррьо„С [а: Ь] и зпрруз С [а, Ь]. Следовательно, в силу 4 я 0 Топологические пространства. Обобщенные функции 455 равномерной сходимости ср„=4 р имеем а-сс (а,ь) )(ф, ср) — (ф, уо„) ( < / (ф(х) ) (ср(х) — ср„(х) ) Йх = ь — аа ь У а ~ ' 1 а и — аж Пример 3. Найти производную функции Хедисаяда В( ) ) 1с если х>0, '(О, если х < О. А Функция В(х) локально интегрируема и потому может рассмат- риваться как обобщенная функция (см, пример 2 ). Поэтому, исполь- зуя определение (2), получаем -~-са (В', со) = — (В, со') = — / В(х)со'(х) дх = = — / Ьо'(х) дх = ср(0) = (д,уа), ср е Р, т.
е. В' = д, а о П р и м е р 4. Найти преобразование Фурье единицы. а Ь(1,со) = (1,ср) са 1 с1у I ср(х)е 'сидх сс / ~/2~г / 4са 4. к = 42к [ — / Ну /,р(х)е'ир ~с(х! ~ = тУ2яЕ ~(Е(р))~, „= — чс2яср(1) !с=о тссйк куб(0) Л~ (о ср). Таким образом, 1 = ъ'2яд. а Пример 5. Найти преобразование Фурьо функции Т"(х) = х. а Здесь речь может идти только о преобразовании Фурье функции Т" (х) = х, рассматриваемой как обобщенная функция, так как к этой функции неприменима формула классического преобразования Фурье.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
